（人教A版）必修二高一数学高一下学期同步考点讲练专题8.1 基本立体图形（原卷版）

专题8.1基本立体图形（重难点题型精讲）1．空间几何体的有关概念(1)空间几何体的定义

对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.

例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体.(2)定理的实质多面体及其相关概念

①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.

②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等.

③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等.

④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等.(3)旋转体及其相关概念

①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.

图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的.

②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴.2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体.4．简单组合体的结构特征(1)简单组合体的定义由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.

(2)简单组合体的构成形式

①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示.②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示.

(3)常见的几种组合体

①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到.②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到.

③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成.5．正方体的截面形状的探究通过尝试、归纳，有如下结论.

(1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形.

(2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行.

(3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是正五边形.

(4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形.

对应截面图形如图中各图形所示【题型1简单几何体的识别】【方法点拨】(1)掌握简单几何体的结构特征；(2)判断是多面体还是旋转体；(3)得到几何体的名称.【例1】以下各几何体中，是棱柱的是（

）A． B． C． D．【变式1-1】下列几何体中为台体的是（

）A． B． C． D．【变式1-2】观察下图中的四个几何体，其中判断正确的是（

）A．（1）是棱台 B．（2）是圆台C．（3）是棱锥 D．（4）不是棱柱【变式1-3】下列几何体中是棱锥的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【题型2棱柱、棱锥、棱台的结构特征】【方法点拨】结合具体条件，根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征，进行分析求解.【例2】下列命题是真命题的是（

）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共项点的三角形的几何体叫棱锥【变式2-1】下列命题中，正确的是（

）A．底面是正方形的四棱柱是正方体B．棱锥的高线可能在几何体之外C．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥【变式2-2】下列说法正确的是（

）A．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台B．棱柱的侧面可以是三角形C．直棱柱的底面是正多边形D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形【变式2-3】以下四个命题中，真命题为（

）A．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥B．底面是矩形的四棱柱是长方体C．正三棱锥是正四面体D．棱台的侧棱延长后必交于一点【题型3旋转体的结构特征】【方法点拨】通过旋转体的结构特征，进行分析，即可得解.【例3】下列说法正确的是A．通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线B．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥C．圆柱的上底面下底面互相平行D．五棱锥只有五条棱【变式3-1】有下列命题，其中错误命题个数是（

）①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②过圆锥顶点的截面是等腰三角形；③以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥；④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式3-2】下列说法正确的是（

）A．圆柱上下底面各取一点，它们的连线即为圆柱的母线B．过球上任意两点，有且仅有一个大圆C．圆锥的轴截面是等腰三角形D．用一个平面去截球，所得的圆即为大圆【变式3-3】有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【题型4简单组合体的结构特征】【方法点拨】掌握常见的几种简单组合体，结合具体问题，进行求解即可.【例4】如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（

）A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台【变式4-1】太阳能发电是我国大力提倡的一种新能源发电形式.如图所示，某型号的矩形太阳能电池板用四根垂直于地面的立柱支撑，点A1，B1，C1，D1均在同一水平面内，且其中三根立柱AA1，BBA．100cm B．150cm C．200cm D．250cm【变式4-2】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体：①有12个顶点；②有14个面；③表面积为3；④体积为56A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【变式4-3】如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰好与四面体四个面都相切的球O1；顶部为球O2，其直径与正四面体的棱长a相等，若这样设计奖杯，则球O1与球O2的半径之比A．1:6 B．1:6 C．1:3 D．【题型5几何体的截面问题】【方法点拨】根据对几何体的截面形状的研究，结合具体问题，进行求解即可.【例5】圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（

）A．B．C．D．【变式5-1】图中的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤【变式5-2】已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别是A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【变式5-3】已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为A1A．22 B．25 C．310【题型6平面图形旋转形成的几何体】【方法点拨】对于平面图形绕轴旋转问题，首先要对原平面图形进行适当的分割，一般分割成矩形、三角形、梯形或圆(半圆或四分之一圆周)等基本图形，然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析.【例6】铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（

）A．一个球B．一个球挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球挖去一个正方体【变式6-1】已知长方形ABCD中，AD=2，AB=4，点E为CD的中点，现以AE所在直线为旋转轴将该长方形旋转一周，则所得几何体的体积为（A．102π B．2823π 【变式6-2】能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（）A． B． C． D．【变式6-3】如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是()A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B．该组合体仍然关于轴l对称C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D．该组合体中的球和半球只有一个公共点专题8.1基本立体图形（重难点题型检测）一．选择题1．下列图形所表示的几何体中，不是棱锥的为（

）A． B． C． D．2．如图是由哪个平面图形旋转得到的（

）A．B．C．D．3．下列命题中正确的个数是（

）①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；②由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥.A．0 B．1 C．2 D．34．下列说法正确的是（

）①圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成；②用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆面；③以半圆的直径为轴旋转半周形成的旋转体叫做球；④圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交．A．①② B．②③ C．①③ D．②④5．在古代，斗笠作为挡雨遮阳的器具，用竹篾夹油纸或竹叶棕丝等编织而成，其形状可以看成一个圆锥体，在《诗经》有“何蓑何笠”的句子，说明它很早就为人所用.已知某款斗笠如图所示，它的母线长为22，侧面展开图是一个半圆，则该斗笠的底面半径为（

A．4 B．42 C．2 6．如图，正三棱锥A−BCD中，∠BAD=20∘，侧棱长为2，过点C的平面与侧棱AB,AD相交于B1,A．22 B．23 C．4 7．如图，圆锥O的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧AB上的一点，∠CPB=45°，E为线段PB上的动点，则CE+OE的最小值为（

）A．2 B．3 C．2 D．28．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有面的个数及棱长分别为（

）A．26，2−1 B．24，2−2 C．26，2−2二．多选题9．下列说法不正确的是（

）A．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台B．绕直角三角形任一边旋转所得几何体为圆锥C．用任何一个平面截球面，得到的截面都是圆D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱10．下列说法正确的是A．以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥B．以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径11．从正方体的8个顶点中任选4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成空间几何体．这个空间几何体可能是（

）A．每个面都是直角三角形的四面体；B．每个面都是等边三角形的四面体；C．每个面都是全等的直角三角形的四面体；D．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．12．已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1DA．所得的截面可以是五边形 B．所得的截面可以是六边形C．该截面的面积可以为33 三．填空题13．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆雉母线在圆台中的部分）长为9，则原圆锥的母线长．14．在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是正方形ABCD、正方形BB1C15．如图，一个矩形边长为1和2，绕它的长为2的边旋转一周后所得如图的一开口容器（下表面密封），P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P处取得米粒，则它所需经过的最短路程为．16．下列命题中，正确的是．（填序号）①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周所得到的旋转体是圆锥；②以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体是圆柱；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，将等腰三角形旋转一周形成的几何体是圆锥；⑤用一个平面去截圆柱，得到的截面是一个圆面或者矩形面．四．解答题17．指出如图（1）（2）所示的图形是由哪些简单几何体构成的．18．如图，将平面图形ABCDEFG绕AG边所在的直线旋转一周，作出由此形成的空间图形，并指出该空间图形是由哪些简单空间图形构成的.19．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得小圆锥SO'与圆锥SO底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆锥20．如图在一个长方体的容器中，里面装有一些