（人教A版）必修二高一数学高一下学期同步考点讲练专题10.1 随机事件与概率（原卷版）

专题10.1随机事件与概率（重难点题型精讲）1．有限样本空间(1)随机试验

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：

①试验可以在相同条件下重复进行；

②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.

(2)有限样本空间

我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.

一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果，，，，则称样本空间={，，，}为有限样本空间.2．事件(1)随机事件

一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.

(2)必然事件

A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件.

(3)不可能事件

空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件.3．事件的关系和运算(1)两个事件的关系和运算事件的关系或运算含义符号表示图形表示包含A发生导致B发生并事件（和事件）A与B至少一个发生或交事件（积事件）A与B同时发生或互斥（互不相容）A与B不能同时发生互为对立A与B有且仅有一个发生，(2)多个事件的和事件、积事件

类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，，A∪B∪C∪(或A+B+C+)发生当且仅当A，B，C，中至少一个发生，A∩B∩C∩(或ABC)发生当且仅当A，B，C，同时发生.4．样本空间中样本点的求法(1)列举法

列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏.

(2)列表法

对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法.(3)树状图法

树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法.5．用集合观点看事件间的关系符号概率角度集合角度必然事件全集不可能事件空集试验的可能结果中的元素事件的子集的对立事件的补集事件A包含于事件B集合A是集合B的子集事件A等于事件B集合A等于集合B或事件A与事件B的并（和）事件集合A与B的并集或事件A与事件B的交（积）事件集合A与B的交集事件A与事件B互斥集合A与B的交集为空集，且事件A与事件B对立集合A与B互为补集6．古典概型(1)事件的概率

对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.

(2)古典概型的定义

我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

①有限性：样本空间的样本点只有有限个；

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

(3)古典概型的判断标准

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.

下列三类试验都不是古典概型：

①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能;

②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；

③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.7．古典概型的概率计算公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.8．概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P（A）≥0.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（）=1，P()=0.性质3如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）.推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=1P（A），P(A)=1P(B).性质5如果，那么P（A）≤P（B）.性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B）P（）.【题型1事件的分类】【方法点拨】根据随机事件、必然事件与不可能事件的定义，进行求解即可.【例1】以下事件是随机事件的是（

）A．标准大气压下，水加热到100°C，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯C．长和宽分别为a,b的矩形，其面积为ab【变式1-1】下列四个事件：①明天上海的天气有时有雨；②东边日出西边日落；③鸡蛋里挑骨头；④守株待兔．其中必然事件有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式1-2】下列事件中，是随机事件的是（

）①经过有交通信号灯的路口，刚好是红灯；②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14；③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上；④13个人中至少有2个人的生日在同一个月.A．①③ B．③④ C．①④ D．②③【变式1-3】已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（

）A．事件“都是红色卡片”是随机事件B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件【题型2事件与样本空间】【方法点拨】求试验的样本空间主要是通过观察、分析、模拟试验，列举出各个样本点.对于样本点个数的计算，要保证列举出的试验结果不重不漏.写样本空间时应注意两大问题：一是抽取的方式是否为不放回抽取；二是试验结果是否与顺序有关.【例2】一个家庭有两个小孩，则样本空间为（

）A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}B．{(男，女)，(女，男)}C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}D．{(男，男)，(女，女)}【变式2-1】体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同，分别标有号码0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球．记“摇到的球的号码小于6”为事件A，则事件A包含的样本点的个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【变式2-2】先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为（

）A．正面，反面B．｛正面，反面｝C．｛（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）｝D．｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝【变式2-3】在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件A=“至少命中6次”，则下列说法正确的是A．样本空间中共有10个样本点B．事件A中有6个样本点C．样本点6在事件A内D．事件A中包含样本点11【题型3事件的关系及运算】【方法点拨】根据事件之间的关系，结合具体问题，进行转化求解.进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件.【例3】设M，N为两个随机事件，如果M，N为互斥事件，那么（

）A．M∪N是必然事件 B．C．M与N一定为互斥事件 D．M与N一定不为互斥事件【变式3-1】抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件A，“向上的面的点数是2或3”为事件B，则（

）A．A⊆B B．A=BC．A∪B表示向上的面的点数是1或2或3 D．A∩B表示向上的面的点数是1或2或3【变式3-2】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（

）A．恰有1名女生与恰有2名女生 B．至多有1名女生与全是男生C．至多有1名男生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生【变式3-3】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设A={2名全是男生}，B={2名全是女生}，C={恰有一名男生}，D={至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（

）A．A⊆D B．B∩D=∅ C．A∪C=D D．A∪B=B∪D【题型4古典概型的判断及其概率的求解】【方法点拨】第一步，阅读题目，判断试验是否是古典概型；第二步，计算样本空间中的样本点个数n；第三步，计算所求事件A包含的样本点个数k；第四步，计算所求事件A的概率，.【例4】为培养学生“爱读书､读好书､普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类､文学类､自然科学类三个读书社团．甲､乙两位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为（

）A．13 B．12 C．23【变式4-1】随机掷两枚质地均匀的骰子，它们“向上的点数之和不超过5”的概率记为p1”，“向上的点数之和为奇数”的概率记为p2，“向上的点数之积为偶数”的概率记为p3A．p1<p2<p3 B．【变式4-2】如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现用红色和蓝色给这4个三角形区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则相邻的区域所涂颜色不同的概率是（

）A．18 B．14 C．13【变式4-3】现有6个大小相同､质地均匀的小球，球上标有数字1，3，3，4，5，6.从这6个小球中随机取出两个球，如果已经知道取出的球中有数字3.则所取出的两个小球上数字都是3的概率为（

）A．15 B．16 C．19【题型5概率的基本性质的应用】【方法点拨】根据具体问题，准确表示事件，分析事件之间的关系，结合概率的基本性质，计算概率.【例5】若事件A,B为两个互斥事件，且PA>0,PB①P②P③P④PA．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【变式5-1】已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)=0.3，P(C)=0.6，则P(A+B)=（

）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8【变式5-2】若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且PA=2−a，PB=4a−5，则实数A．54,2 B．54,32【变式5-3】袋子中有5个质地完全相同的球，其中2个白球，3个是红球，从中不放回地依次随机摸出两个球，记A=第一次摸到红球”，B=“第二次摸到红球”，则以下说法正确的是（

）A．P(A)+P(B)=P(A∩B) B．P(A)⋅P(B)=P(A∪B)C．P(A)=P(B) D．P(A∪B)+P(A∩B)<1【题型6古典概型与其他知识的综合】【方法点拨】对于古典概型与其他知识的综合问题，解题的关键是求出所求事件包含的样本点的个数.找出满足条件的情况，从而确定样本点的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可.【例6】今年5月底，中央开始鼓励“地摊经济”，地摊在全国遍地开花．某地政府组织调研本地地摊经济，随机选取100名地摊摊主了解他们每月的收入情况，并按收入（单位：千元）将摊主分成六个组5,10，10,15，15,20，20,25，25,30，30,35，得到下面收入频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中t的值，并估计每月每名地摊摊主收入的众数和中位数（单位：千元）；(2)已知从收入在10,20的地摊摊主中用分层抽样抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求抽取的2人收入都来自15,20的概率．【变式6-1】全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：空气质量指数(μg/0,5050,100100,150150,200200,250空气质量等级空气优空气良轻度污染中度污染重度污染天数2040m105(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；(2)在空气质量指数分别属于50,100和150,200监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率.【变式6-2】公司检测一批产品的质量情况，共计1000件，将其质量指标值统计如下所示.(1)求a的值以及这批产品质量指标的平均值x以及方差s2(2)若按照分层抽样的方法在质量指标值为185,205的产品中随机抽取5件，再从这5件中任取3件，求至少有2件产品的质量指标在195,205的概率.【变式6-3】某电视台为宣传本省，随机对本省内15~65岁的人群抽取了n人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组15,25a0.5第2组25,3518x第3组35,45b0.9第4组45,5590.36第5组55,653y(1)分别求出a、b、x、y的值；(2)从第2､3､4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.(3)求出直方图中，前三组（第1､2､3组）的平均年龄数（结果保留一位小数）？专题10.1随机事件与概率（重难点题型检测）一．单选题1．连续掷一颗筛子两次，以下是必然事件的是（

）A．点数和为偶数 B．至少出现一次点数为偶数C．点数和不小于2 D．点数和为奇数2．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则该试验的样本空间所包含的基本事件的个数为（

）A．6 B．9 C．12 D．163．有下列说法：（1）某人连续12次投掷一枚骰子，结果都是出现6点，他认为这枚骰子的质地是均匀的．（2）某地气象局预报，明天本地下雨概率为70%，由此认为明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨．（3）抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，都出现反面的概率是14（4）围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，认为一定有一次会摸到黑子．其中正确的个数为（

）A．0 B．2 C．3 D．14．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中n(Ω)=12，n(A)=6，n(B)=4，n(A∪B)=8，那么下列事件概率错误的是（

）A．P(AB)=16 C．P(AB)=15．为防控新冠疫情，很多公共场所要求进入的人必须佩戴口罩．现有人在一次外出时需要从蓝、白、红、黑、绿5种颜色各1只的口罩中随机选3只不同颜色的口罩，则蓝、白口罩同时被选中的概率为（

）A．310 B．57 C．356．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ai=“向上的点数为i”，其中i=1,2,3,4,5,6，B=“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是（A．A1⊆B B．A2+B=Ω C．A3与B互斥 7．在一次随机试验中，其中3个事件A1,AA．A1+A2与A3C．P(A2∪8．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A=“甲击中靶”，事件B=“乙击中靶”，事件E=“靶未被击中”，事件F=“靶被击中”，事件G=“恰一人击中靶”，对下列关系式（A表示A的对立事件，B表示B的对立事件）：①E=AB，②F=AB，③F=A+B，④G=A+B，⑤G=AB+AB，⑥PFA．3 B．4 C．5 D．6二．多选题9．在10名学生中，男生有x人．现从这10名学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：①至少有一个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x的值可能为（

）A．2 B．3 C．4 D．510．在一个试验模型中，设A表示一个随机事件，A表示A的对立事件.以下结论正确的是（

）A．P(A)=P(A) B．P(A+A)=1 C．若P(A)=1，则11．一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品，大小质地完全相同，若从中随机取出3支，则与事件“取出1支一等品和2支二等品”互斥的事件有（

）A．取出的3支笔中，至少2支一等品 B．取出的3支笔中，至多1支二等品C．取出的3支笔中，既有一等品也有二等品 D．取出的3支笔中，没有二等品12．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（

）A．甲同学仅随机选一个选项，能得5分的概率是1B．乙同学仅随机选两个选项，能得10分的概率是1C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是1D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是1三．填空题13．从装有标号为1、2、3、4的四个球的袋子中任取两球，观察取出两个球的标号和，则此随机现象的样本空间是.14．已知事件A、B互斥，PA∪B=35，且PA=2P15．在抛掷一颗骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有1,2,3,4,5,6字样）的试验中，事件A表示“不大于3的奇数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则事件A+B的概率为16．第14届国际数学教有大会（ICME-14）于2021年7月12日至18日在上海举办，已知张老师和李老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为.四．解答题17．从含有5件次品的100件产品中任取3件，观察其中的次品数．(1)选择合适的表示方法写出样本空间；(2)记事件A：“取到的3件产品中没有次品”，写出A包含的样本点；(3)说明事件B=0,118．指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件．(1)如果a、b都是实数，那么a+b=b+a；(2)从分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10张号签中任取一张，得到4号