（人教A版）必修二高一数学高一下学期专题6.7 平面向量的综合运用大题专项训练（解析版）

专题6.7平面向量的综合运用大题专项训练1．已知点A1,−2,0,B2,k,−3(1)若AB⊥a，求实数(2)求向量AC与向量a所成角的余弦值．【解题思路】（1）根据题意得到AB的坐标，结合两向量垂直坐标满足的公式，代入计算，即可得到结果.（2）根据题意，结合向量坐标公式，代入计算，即可得到结果.【解答过程】（1）因为A1,−2,0,B2,k,−3，则AB由AB⊥a，可得−3+4k+2（2）因为A1,−2,0,C2,0,2，则AC则AC=所以cos<2．已知向量a=2,1，b=(1)当k为何值时，ka+c(2)若向量d满足d−c⊥a+【解题思路】（1）直接利用向量平行的坐标公式求解；（2）直接利用向量垂直的坐标公式和求模公式求解.【解答过程】（1）由题中的条件可得ka2b若ka+c与2b−（2）设d=(x,y)，所以d又a+b=(1,2)，由d由d−c=5，可得(x−1)2所以d=(−1,3)或d3．（1）若向量a=1,2，b=（2）已知a→=2,b【解题思路】(1)根据平面向量的数量积的坐标表示和几何意义求出2a+b⋅a(2)由a−b2【解答过程】（1）2a+b∴22a+b设2a+b与a−b的夹角为θ(0≤θ≤π)（2）由题意知，a−所以a⋅b=2，设a,b4．已知e1=1,0，e2=0,1，(1)求λ的值；(2)求向量a与向量c=【解题思路】（1）根据题意求出a,b的坐标，由向量平行的判断方法可得关于（2）设a与c的夹角为θ，由向量夹角公式计算即可得到结果.【解答过程】（1）根据题意，e1=1,0，e2=则a=2,0因为a//b，则有λ（2）由（1）可知a=2,−2设a与c的夹角为θ，则cosθ=5．已知a=3,−2，b=−4,−3，(1)m；(2)m；(3)m的单位向量m0【解题思路】（1）由平面向量的坐标运算即可求解.（2）由平面向量的模长的坐标运算即可求解（3）由单位向量的定义和坐标运算即可求解.【解答过程】（1）因为a=3,−2，b=所以m=2（2）由（1）知，m=−5,5，所以（3）m06．已知向量a,b(1)求a→与b(2)求|2a【解题思路】（1）由cosa（2）首先计算出|2a【解答过程】（1）因为a=2，b因为a,b∈（2）因为|2a→−7．四边形ABCD中，AB=m+2n，BC=−4m−n，【解题思路】求出AD与BC，根据两向量的关系确定四边形ABCD的形状.【解答过程】AD=AB+∴AD=2BC，∴AD//BC,AD≠BC8．已知A，B，C分别为△ABC三边a，b，c所对的角，向量m=sinA,sinB(1)求角C的大小；(2)若sinA+sinB=2sinC【解题思路】（1）利用数量积的坐标运算及三角公式化简整理可得角C的大小；（2）将sinA+sinB=2sinC【解答过程】（1）由已知得m⋅因为A+B+C=π，所以sinA+B=又m⋅n=∵0<C<π，则sinC≠0所以cosC=12（2）由已知sinA+sinB=2因为CA⋅AB−AC=由余弦定理得c2所以c2=4c2−3×369．已知平面向量a=(m,1),(1)若m=1,c=(−1,23)，求满足c=λa+μ(2)若a⊥b，求【解题思路】（1）利用向量相等列出关于λ和μ的方程组，解之即可求得λ和μ的值；（2）利用向量垂直充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值．【解答过程】（1）当m=1时，a=(1,1),∴λa+μ∴λ−μ=−1λ+5μ=23，解之得λ=3（2）由a⊥b，可得又a=(m,1),b=(−m,2m+3),m∈R，则−m210．已知OA=3,−4，OB=(1)若点A、B、C不能构成三角形，求m的值；(2)若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，求m的值．【解题思路】（1）点A、B、C不能构成三角形说明三点共线，利用共线性质列出方程解出参数即可；（2）分类讨论直角的情况，转化为向量数量积为0，列出方程解出即可.【解答过程】（1）因为点A、B、C不能构成三角形，所以点A、B、C三点共线，所以AB∥AC，因为AB=OB−所以3×1−m=1×2−m所以若点A、B、C不能构成三角形，则m=1（2）若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，则：①若A为直角，此时AB⊥AC⇒AB即AB⋅AC=0⇒3×(2−m)+1×(1−m)=0②若B为直角，此时AB⊥BC⇒AB即AB⋅BC所以3×(−1−m)+1×(−m)=0所以m=−3③若A为直角，此时BC⊥AC⇒BC即BC⋅AC=0⇒所以若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，则m=74或m=−311．如图，在△ABC中，AM=13(1)用a,b表示(2)若P为△ABC内部一点，且AP=512【解题思路】（1）由图中线段的位置及数量关系，用AC,AB表示出（2）用a,b表示AM+AN，得到【解答过程】（1）由题图，BC=MN=（2）由AM+又AP=512a+12．如图，若D(1,2)，E(−5,−1)，F(4,−4)，点X,Y,Z分别在线段EF,FD,DE上，且满足EX=2(1)求EY+(2)求cosFD【解题思路】（1）根据定比分点坐标可求得X,Y的坐标，根据向量模长的坐标表示即可求得结果；（2）同理可求得Z点的坐标，利用向量夹角的坐标公式即可求得余弦值.【解答过程】（1）设X,Y的坐标为X(x由EX=2XF即xX=1所以EY+则EY（2）设Z点的坐标为Z(xZ,y所以xZ=−3，cosFD13．已知a=4，b=3，(1)求a+(2)求a与b的夹角；【解题思路】（1）利用向量数量积的运算律可求得a⋅b，根据（2）利用向量夹角公式可求得cos<【解答过程】（1）∵2a−3∴a（2）由（1）知：a⋅b=−6，∴cos<14．已知a=1，b(1)若a∥b，求(2)若a,b=60°(3)若a−b与a垂直，求当k为何值时，【解题思路】（1）由平行向量的定义可知，若a∥b，则它们的夹角为0∘或180∘，即可计算a·b；（2）根据平面向量的应用可知将a+b平方即可求得结果；（3）根据a−【解答过程】（1）由a∥b可知，a,b两向量的夹角为当夹角为0∘时，a当夹角为180∘时，a所以，a·（2）由题意可知，若a,ba+b2（3）由a−b与a垂直可得a−若ka−b即ka2+2ka·当k=3时，ka15．在△ABC中，CA=6，AB=8，∠BAC=π2，D为边(1)求AD⋅(2)若点P满足CP=λCAλ∈R【解题思路】（1）以A为坐标原点，边AC、AB所在的直线为x、y轴的正方向建立平面直角坐标系求出AD、CB的坐标，再由向量数量积的坐标运算可得答案；（2）根据点P在AC上，设Px,0，求出PB、PC的坐标，则PB【解答过程】（1）如图，以A为坐标原点，边AC、AB所在的直线为x、y轴的正方向建立平面直角坐标系，所以A0,0，B0,8，C6,0，D为边BC中点，所以D3,4，则AD⋅（2）若点P满足CP=λCAλ∈R，则点P由（1），设Px,0，则PB=−x,8则PB⋅所以当x=3时PB⋅PC的最小值为16．如图，在平行四边形ABCD中，AE=2AB，DF=13(1)用a，b表示AC，DE；(2)用向量的方法证明：A，F，C三点共线．【解题思路】（1）根据向量加法的平行四边形法则，可得AC，由DE=DA+（2）根据AF=AD+DF可推出AF=【解答过程】（1）解：根据向量加法的平行四边形法则，可得AC=DE=（2）证明：由（1）知，DE=2a−所以AF=AD+DF=b+2又直线AF，直线AC有公共点A，所以，A，F，C三点共线.17．已知a=2，b=3，a与b的夹角为(1)a⋅(2)2a(3)2a【解题思路】（1）根据平面向量数量积的定义即可得到答案；（2）将式子展开化简，结合向量a,（3）先将2a−b【解答过程】（1）因为a=2，b=3，a与b的夹角为60∘（2）由（1）a⋅所以2a（3）由（1）a⋅所以2a18．已知a=4，b=2，且a与(1)2a(2)a与a+(3)若向量2a−λb与λ【解题思路】（1）利用平面向量的模的运算求解；（2）利用平面向量的夹角公式求解；（3）根据向量2a−λb【解答过程】（1）解：因为2a−b（2）因为a+所以a+b=2所以cos<a,a+b>=（3）因为向量2a−λb与λ因为向量a与b不共线，所以kλ=2λ=3k，解得λ=±19．已知向量a，b不共线，且OA=2a−b，(1)将AB用a，b表示；(2)若OA∥OC，求(3)若λ=−3，求证：A，B，C三点共线．【解题思路】（1）根据向量的减法运算即得；（2）根据向量共线定理可得OA=tOC，进而可得（3）由题可得AC=−【解答过程】（1）因为OA=2a−所以AB=OB（2）因为OA//OC，OA=2所以OA=tOC，即2a−b所以2=t−1=tλ，解得t=2,λ=−12，即λ（3）当λ=−3时，OA=2a−b，OC=所以AC=所以AC//AB，又AC,AB有公共点A，所以A，20．已知a=4，b=5，a与b的夹角为θ．满足下列条件时，分别求a与(1)a∥(2)a⊥(3)a与b的夹角为30°时.【解题思路】（1）分两种情况分析讨论得解；（2）（3）直接利用数量积公式计算得解；直接利用数量积公式计算得解.【解答过程】（1）解：当a∥b时，若a与b同向，则θ=0°，若a与b反向，则θ=180°，a⋅（2）解：a⊥b时，θ=90°，（3）解：当a与b的夹角为30°时，a⋅21．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知csinAcosB=(1)求BA⋅(2)若c=65a【解题思路】（1）已知csinAcosB=45asinC，正弦定理角化边求得求cos（2）由（1）中ac和c=65a，可解出a,c【解答过程】（1）因为csinAcosB=45asinC，由正弦定理角化边得因为△ABC的面积为9.所以12acsinB=1（2）由(1)知ac=30，又c=65a，所以6a2由余弦定理b2=a22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c，且2cos(1)求cosA(2)若a=42，b=5，记e=BCBC，求向量BA在【解题思路】（1）由题设条件进行三角恒等变换即可得出cosA（2）先由正弦定理求出B，再由余弦定理建立关于c的方程，求出c，然后由投影向量的概念即可求得结果．【解答过程】（1）由2得cos即cosA−BcosB−sinA−B（2）由cosA=−35，由正弦定理，有asinA由题知a>b，则A>B，故B=π根据余弦定理，有a2=b整理得c2+6c−7=0，解得c=1或故向量BA在BC方向上的投影向量为BAcos23．已知非零平面向量a，b的夹角为2π3，a(1)证明：a−(2)设t∈R，求a+t【解题思路】（1）首先将条件等式a=a+b两边同时平方，根据向量的数量积运算求得（2）将a+tb平方可得【解答过程】（1）由a=a+b=1又因为a，b的夹角为2π3，故a联立两式可得b2−b=0，结合所以a−b2（2）a+t所以当t=12时，a+tb2取最小值324．在平面直角坐标系xOy中，点A−1,−2(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足AB−tOC⋅【解题思路】（1）由已知，根据给的坐标可直接表示以AB、AC为邻边的对角线的向量坐标，然后利用坐标直接计算向量的模；（2）由已知，分别表示出AB，OC，带入给的关系式中，利用向量的数量积运算解方程即可.【解答过程】（1）由已知A−1,−2，B2,3，C−2,−1所以AB=3,5，AC=−1,1，对角线另一条对角线BC=AC−（2）因为A−1,−2，B2,3，由AB−tOC⋅OC=025．如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且BD=2DC．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，(1)用AB，AC表示AD；(2)若AE=λAB，AF=μ【解题思路】（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可；（2）根据（1）的结论，转化用AE，AF表示AD，根据D,E,F三点共线找出等量关系；【解答过程】（1）在△ABD中，由AD=又BD=2DC，所以所以AD=（2）因为AD=又AE=λAB，AF=μAC，所以AB=又D,E,F三点共线，且A在线外，所以有：13λ+226．已知向量m=3sin(1)求函数fx(2)在△ABC中，若fC=0，且AB=3,CD是△ABC的边AB上的高，求【解题思路】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角恒等变换将函数fx化为正弦型函数，即可求函数f（2）根据函数fx，结合三角形解方程fC=0得角C的大小，根据△ABC【解答过程】（1）解：fx==32sin2x−（2）解：∵f又0<C<π，∴−π又∵S△ABC=12由余弦定理得9=a2+b2−ab≥ab，当且仅当27．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=ccos(1)若D为BC边上一点,DB=4,AB=5,且AB⋅BD=−12(2)若CA=3,CB=4,M为平面上一点,2CM=tCA+1−t【解题思路】(1)先根据正弦定理求出角C的值,再利用AB⋅BD=−12求出cos(2)根据已知条件可以求出CA⋅CB的值,,再把MA,MB用CA,【解答过程】（1）由a=ccosB+1即sinB+C∵sinB≠0,∴cosC=12,∵C∈0,∵AB⋅BD=−12,即AB∵B∈0,π,∴在△ABC中,由正弦定理可得ACsinB=ABsin（2）∵2CM=tCA则MA=MC+∴MA=t根据已知条件CA=3,∴CA⋅代入(*)式得:MA⋅当t=313时,MA⋅28．如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,AD⊥BC，M，N分别为AB,AC的中点．(1)若DM⋅DN=−6(2)若DM⋅DB|【解题思路】(1)通过几何分析得到∠MDN=∠MAN,再根据数量积公式求得cos∠MAN=−12【解答过程】（1）由AD⊥BC得，△ADB,△ADC为直角三角形，又因为M，N分别为AB,AC的中点，所以|DM|=|AM|,|DN|=|AN|,所以∠MDA=∠MAD,∠NDA=∠NAD,所