沪教版九年级上册压轴题数学模拟试卷

沪教版九年级上册压轴题数学模拟试卷一、压轴题1．公司经销某种商品，经研究发现，这种商品在未来40天的销售单价（元/千克）关于时间的函数关系式分别为（，且为整数）；，他们的图像如图1所示，未来40天的销售量（千克）关于时间的函数关系如图2的点列所示．（1）求关于的函数关系式；（2）那一天的销售利润最大，最大利润是多少？（3）若在最后10天，公司决定每销售1千克产品就捐赠元给“环保公益项目”，且希望扣除捐赠后每日的利润不低于3600元以维持各种开支，求的最大值（精确到0.01元）．2．已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且，求直线CE的解析式（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；（4）已知点，在抛物线对称轴上找一点F，使的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K，使的值最小，若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，且点的坐标为，过点作垂直于轴的直线．是该抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作于点；是直线上的一点，其纵坐标为，以，为边作矩形．（1）求的值．（2）当点与点重合时，求的值．（3）当矩形是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求的值．（4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．4．已知：如图，抛物线交正半轴交于点，交轴于点，点在抛物线上，直线：过点，点是直线上的一个动点，的外心是．（1）求，的值．（2）当点移动到点时，求的面积．（3）①是否存在点，使得点落在的边上，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．②过点作直线轴交直线于点，当点从点移动到点时，圆心移动的路线长为_____．（直接写出答案）5．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：(Ⅰ)将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；(Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；(Ⅲ)展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．（探究）（1）证明：OBC≌OED；（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，是否存在x使得y有最小值，若存在求出x的值并求出y的最小值，若不存在，请说明理由．6．四边形ABCF中，AF∥BC，∠AFC=90°，△ABC的外接圆⊙O交CF于E，与AF相切于点A，过C作CD⊥AB于D，交BE于G．（1）求证：AB=AC；（2）①证明：GE=EC；②若BC=8，OG=1，求EF的长．7．在平面直角坐标系中，函数和的图象关于y轴对称，它们与直线分别相交于点．（1）如图，函数为，当时，的长为_____；（2）函数为，当时，t的值为______；（3）函数为，①当时，求的面积；②若，函数和的图象与x轴正半轴分别交于点，当时，设函数的最大值和函数的最小值的差为h，求h关于c的函数解析式，并直接写出自变量c的取值范围．8．如图1，抛物线的顶点在轴上，交轴于，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴交于，顶点为．（1）求点的坐标和平移后抛物线的解析式；（2）点在原抛物线上，平移后的对应点为，若，求点的坐标；（3）如图2，直线与平移后的抛物线交于．在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．10．（问题发现）（1）如图①，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是．（问题研究）（2）如图②，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、3为半径作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的动点，点P为x轴上的动点，试求PM+PN的最小值．（问题解决）（3）如图③，该图是某机器零件钢构件的模板，其外形是一个五边形，根据设计要求，边框AB长为2米，边框BC长为3米，∠DAB＝∠B＝∠C＝90°，联动杆DE长为2米，联动杆DE的两端D、E允许在AD、CE所在直线上滑动，点G恰好是DE的中点，点F可在边框BC上自由滑动，请确定该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值并说明理由．11．如图，在中，为边的中点，为线段上一点，连结并延长交边于点，过点作的平行线，交射线于点，设．（1）当时，求的值；（2）设，求关于的函数关系式；（3）当时，求的值．12．对于⊙C与⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合），且，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（-1，0）．（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标________；（2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足，求点B的纵坐标t的取值范围；（3）直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是_____________________________．13．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于点A、点点A在点B的左边，交y轴于点C，直线经过点B，交y轴于点D，且，．求b、c的值；点在第一象限，连接OP、BP，若，求点P的坐标，并直接判断点P是否在该抛物线上；在的条件下，连接PD，过点P作，交抛物线于点F，点E为线段PF上一点，连接DE和BE，BE交PD于点G，过点E作，垂足为H，若，求的值．14．在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点的坐标为，直线轴（如图所示）．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点，联结．（1）求的值和点的坐标；（2）设点在轴的正半轴上，若是等腰三角形，求点的坐标；15．如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若，则称P为⊙T的环绕点．(1)当⊙O半径为1时，①在中，⊙O的环绕点是___________;②直线y=2x+b与x轴交于点A，y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；（2）⊙T的半径为1，圆心为（0，t），以为圆心，为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．16．如图1，已知中，，，，它在平面直角坐标系中位置如图所示，点在轴的负半轴上（点在点的右侧），顶点在第二象限，将沿所在的直线翻折，点落在点位置（1）若点坐标为时，求点的坐标；（2）若点和点在同一个反比例函数的图象上，求点坐标；（3）如图2，将四边形向左平移，平移后的四边形记作四边形，过点的反比例函数的图象与的延长线交于点，则在平移过程中，是否存在这样的，使得以点为顶点的三角形是直角三角形且点在同一条直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由17．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B在函数的图象上，顶点C、D在函数的图象上，其中，对角线轴，且于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当，时，①点B的坐标为________，点D的坐标为________，BD的长为________．②若点P的纵坐标为2，求四边形ABCD的面积．③若点P是BD的中点，请说明四边形ABCD是菱形．（2）当四边形ABCD为正方形时，直接写出m、n之间的数量关系．19．已知正方形ABCD中AC与BD交于点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．(1)如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；(2)如图2，当M在线段OD上，连接NE和MN，当EN//BD时，①求证：四边形DENM是菱形；②求证：BM＝AB；(3)在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥BC时，求证：AN2＝NCAC．20．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，AP＝AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，连接PC，且ABE为等边三角形．（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP与EC的数量关系是．（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为，求线段AC的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．(1)m=,(2)t=40时w最大=13200，(3)的最大值是．【解析】【分析】(1)由图2知m与t是一次函数关系，设0≤t≤30时的解析式为m=k1t+b1，由图形的点（0,120），（30,180）在函数图像上代入解析式即可,设时的解析式为m=k2t+b2，由图形的点（40,220），（30,180）在函数图像上代入解析式即可，(2)由商品没有成本价，为此只要商品的销售额最大，利润就最大,设y1的总价为w1，y2的总价为w2，总价=销售单价×销售量即可列出,w1=与w2=两种总销售w=w1+w2，把w函数配方讨论当，第一段w最大与，在第二段，w最大经比较即可(3)根据题意决定每销售1千克产品就捐赠元给“环保公益项目”，则捐赠额a(4t+60)后10天每日销售额Q=w-am=-2t2+(290-4a)t+4800-60a，Q≥3600,构造抛物线Q在Q=3600直线上方有解即可，在-20，开口向下，在3600上方取值，且满足，对称轴=，只要对称轴介于30与40之间即可．【详解】(1)由图2知m与t是一次函数关系，设0≤t≤30时的解析式为m=k1t+b1，由图形的点（0,120），（30,180）在函数图像上,则,解得,m=2t+120,设时的解析式为m=k2t+b2，由图形的点（40,220），（30,180）在函数图像上,则,解得,m=4t+60,m=,(2)由商品没有成本价，为此只要商品的销售总值最大，利润就最大,设y1的总价为w1，y2的总价为w2，w1=,整理得w1=,w2=,整理得w2=,总销售w=w1+w2=,配方得w=,当，第一段w最大=11760，而，>40,在第二段，w随t的增大而增大，t=40，w最大=13200，经比较11760<13200，t=40时w最大=13200，(3)根据题意决定每销售1千克产品就捐赠元给“环保公益项目”，则捐赠额a(4t+60)，后10天每日销售额Q=w-am=-2t2+(290-4a)t+4800-60a，则Q-3600=-2t2+(290-4a)t+1200-60a，∵-20，开口向下，在3600上方取值，且满足，对称轴为t=只要,,,的最大值是．【点睛】本题考查分段函数的解析式的求法与利用，两图象结合并利用，求日销售最大利润，抛物线顶点式，分段比较，在最后又利用捐赠构造新函数，求对称轴，利用对称轴解决问题，此题难度较大，综合能力强，必须掌握好函数的各方面的知识．2．（1）；（2）；（3）点P的坐标为；（4）存在，点K的坐标为【解析】【分析】（1）由于点A、B为抛物线与x轴的交点，可设两点式求解；也可将A、B、C的坐标直接代入解析式中利用待定系数法求解即可；（2）根据两个三角形的高相等，则由面积比得出，求出AE,根据点A坐标可解得点E坐标,进而求得直线CE的解析式；（3）分两种情况讨论①当四边形为平行四边形时；②当四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质和点的坐标位置关系得出纵坐标的关系式，分别代入坐标数值，解方程即可解答；（4）根据抛物线的对称性，AF=BF，则HF+AF=HF+BF，当H、F、B共线时，HF+AF值最小，求出此时点F的坐标，设，由勾股定理和抛物线方程得，过点K作直线SK，使轴，且点的纵坐标为，则点S的坐标为，此时，,∴KF+KG=KS+KG,当S、K、G共线且平行y轴时，KF+KG值最小，由点G坐标解得，代入抛物线方程中解得，即为所求K的坐标．【详解】解：（1）方法1：设抛物线的解析式为将点代入解析式中，则有．∴抛物线的解析式为．方法二：∵经过三点抛物线的解析式为，将代入解析式中，则有，解得：，∴抛物线的解析式为．（2），．．．．的坐标为．又点的坐标为．直线的解析式为．（3）．∴顶点D的坐标为．①当四边形为平行四边形时，由DQ∥CP，DQ=CP得：，即．．令，则．．∴点P的坐标为．②当四边形为平行四边形时，由CQ∥DP，CQ=DP得：，即．令，则．．∴点P的坐标为．∴综合得：点P的坐标为（4）∵点A或点B关于对称轴对称∴连接与直线交点即为F点．∵点H的坐标为，点的坐标为，∴直线BH的解析式为：．令，则．当点F的坐标为时，的值最小．11分设抛物线上存在一点，使得的值最小．则由勾股定理可得：．又∵点K在抛物线上，代入上式中，．如图，过点K作直线SK，使轴，且点的纵坐标为．∴点S的坐标为．则．（两处绝对值化简或者不化简者正确．）．当且仅当三点在一条直线上，且该直线干行于y轴，的值最小．又∵点G的坐标为，，将其代入抛物线解析式中可得：．∴当点K的坐标为时，最小．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、平行四边形的性质、、三角形面积、求线段和的最小值（即将军饮马模型）等知识，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．3．（1）；（2）；（3）；（4）或．【解析】【分析】（1）将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值；（2）分别表示出P、Q、M的坐标，根据Q、M的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相同，列出方程求解即可；（3）分别表示出PQ和MQ的长度，根据矩形是正方形时，即可求得m的值，再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的m的值；（4）分，，，四种情况讨论，结合图形分析即可．【详解】解：（1）将点代入得，解得b=1,；（2）由（1）可得函数的解析式为，∴,∵于点，∴,∵是直线上的一点，其纵坐标为，∴，若点与点重合，则，解得；（3）由（2）可得，，当矩形是正方形时，即，即或，解得，解得，又，∴抛物线的顶点为(1，2)，∵抛物线的顶点在该正方形内部，∴P点在抛物线对称轴左侧，即，且M点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标，即，解得，故m的值为；（4）①如下图当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，且P点应该在x轴上侧，即且，解得，解得，∴，②如下图当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，即，解得，∴；③当时，P点和M点都在直线x=3上不构成矩形，不符合题意；④如下图当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，则M点的纵坐标应该大于P点纵坐标，即，解得或，故，综上所述或．【点睛】本题考查二次函数综合，正方形的性质定理，求二次函数解析式．能分别表示出M、P、Q的坐标并结合图形分析是解决此题的关键，注意分类讨论．4．（1）；（2）；（3）①点E的坐标为：或或；②圆心P移动的路线长=【解析】【分析】（1）令求出点A（6，0），把点C（-4，n）代入在抛物线方程，解得：n=5，把点B（0，-3）代入，从而可得答案；（2）记与轴的交点为，利用即可求解；（3）①分当点P落在CA上时，点P落在AE上时，点P落在CE上时三种情况讨论即可；②分E在D和B点两种情况，求出圆心点的坐标，则圆心P移动的路线长=，即可求解．【详解】解：（1）令点A（6，0），把点C（-4，n）代入在抛物线方程，解得：，把点B（0，-3）代入，解得：，则：直线l：，…①（2）由（1）知：A（6，0）、B（0，-3）、C（-4，5）、AC中点为设为：解得：所在的直线方程为：，如图，AC与y轴交点H坐标为：（0，3），（3）如下图：①当点P落在CA上时，圆心P为AC的中点其所在的直线与AC垂直，的垂直平分线即圆心P所在的直线方程为：把代入得：…②，解得：E的坐标为；当点P落在AE上时，设点则点P的坐标，则PA=PC，解得：故点当点P落在CE上时，则PC=PA，同理可得：故点综上，点E的坐标为：或或；②当E在D点时，作AD的垂直平分线交的垂直平分线于点，则，的纵坐标为代入②式，解得：同理当当E在B点时，作AB的垂直平分线交的垂直平分线于点，的中点为：，设为：，解得：AB直线方程为：，设的垂直平分线方程为：，的垂直平分线方程为：解得：则圆心P移动的路线长=故答案为：【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与轴的交点坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式，三角形的外心的性质、一次函数的交点问题，勾股定理的应用，综合性很强，是难度较大类题目．5．（1）见解析；（2）x=4，16【解析】【分析】（1）连接EF，根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质，运用SAS证明OBC≌OED即可；（2）连接EF、BE，再证明△OBE是直角三角形，然后再根据勾股定理得到y与x的函数关系式，最后根据二次函数的性质求最值即可．【详解】（1）证明：连接EF．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠ADE＝∠DAF＝90°由折叠得∠DEF＝∠DAF，AD＝DE∴∠DEF＝90°又∵∠ADE＝∠DAF＝90°，∴四边形ADEF是矩形又∵AD＝DE，∴四边形ADEF是正方形∴AD＝EF＝DE，∠FDE＝45°∵AD＝BC，∴BC＝DE由折叠得∠BCO＝∠DCO＝45°∴∠BCO＝∠DCO＝∠FDE．∴OC＝OD．在△OBC与△OED中，∴△OBC≌△OED（SAS）；（2）连接EF、BE．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝8．由（1）知，BC＝DE∵BC＝x，∴DE＝x∴CE＝8－x由（1）知△OBC≌△OED∴OB＝OE，∠OED＝∠OBC．∵∠OED＋∠OEC＝180°，∴∠OBC＋∠OEC＝180°．在四边形OBCE中，∠BCE＝90°，∠BCE＋∠OBC＋∠OEC＋∠BOE＝360°，∴∠BOE＝90°．在Rt△OBE中，OB2＋OE2＝BE2．在Rt△BCE中，BC2＋EC2＝BE2．∴OB2＋OE2＝BC2＋CE2．∵OB2＝y，∴y＋y＝x2＋(8－x)2．∴y＝x2－8x＋32∴当x=4时，y有最小值是16．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形和正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定、勾股定理以及运用二次函数求最值等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．6．（1）见详解；（2）①见详解；②EF=2．【解析】【分析】（1）连接OC，则OA=OB=OC，先证明OA∥FC，则有∠ACE=∠CAO，由∠ABE=∠ACE，然后得到∠AOB=∠AOC，即可得到结论成立；（2）①先证明BE是直径，则先证明∠ACD=∠EBC，由∠ABC=∠ACB，则∠BCD=∠ABG=∠ACE，则得到∠EGC=∠ECG，即可得到GE=EC；②由①可知，GE=EC=r+1，在直角三角形BCE中，由勾股定理得，得到半径，然后得到EC的长度；作OM⊥CE于点M，则EM=3，即可求出EF的长度．【详解】解：（1）连接OC，则OA=OB=OC，∴∠ABO=∠BAO，∠ACO=∠CAO，∵AF是切线，∴∠FAO=90°=∠AFC，∴OA∥FC，∴∠CAO=∠ACE=∠ABO，∴∠ABO=∠BAO=∠ACO=∠CAO，∴∠AOB=∠AOC，∴AB=AC；（2）①∵AF∥BC，∠AFC=90°，∴∠BCE=90°，∴BE是直径，∵CD⊥AB，∴∠DAC+∠ACD=∠BEC+∠EBC，∵∠DAC=∠BEC，∴∠ACD=∠EBC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABO+∠EBC=∠ACD+∠BCD，∴∠ABO=∠BCD=∠ACE，∴∠EBC+∠BCD=∠ACD+∠ACE，∴∠EGC=∠ECG，∴EG=EC；②作OM⊥CE于点M，如图：则四边形AOMF是矩形，∴AO=FM，∵OG=1，设GE=EC=r+1，在Rt△BCE中，由勾股定理得，∴，解得：（负值已舍去），∴AO=FM=5，EC=6，∵OM⊥EC，OM是半径，EC是弦，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的综合问题，切线的性质定理，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，以及矩形的性质，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，注意正确作出辅助线，运用数形结合的思想进行分析．7．（1）4；（2）1；（3）①；②．【解析】【分析】（1）由题意，先求出的解析式，再求出P、Q两点的坐标，即可求出PQ的长度；（2）由题意，先求出的解析式，结合PQ的长度，即可求出t的值；（3）①根据题意，先求出的解析式，然后求出点P和点Q的纵坐标，得到PQ的长度，利用三角形的面积公式即可求出面积；②根据题意，先求出函数和的解析式，然后求出两个函数的对称轴，利用二次函数的对称性和增减性进行分类讨论：当时，以及当时，分别求出h与c的关系式即可．【详解】解：（1）∵函数为，函数和的图象关于y轴对称，∴函数为，当时，有；；∴点P为（2，3），点Q为（2，），∴的长为；故答案为：4；（2）∵函数为，函数和的图象关于y轴对称，∴函数为；∵，∴点P在第一象限，点Q在第四象限，设点P为（t，），点Q为（t，），∵，∴，解得：；故答案为：1；（3）①∵函数为，函数和的图象关于y轴对称，∴函数为：，即；∵，∴把代入函数，则；把代入函数，则；∴，∴；②由①可知，函数为，函数为，∵函数和的图象与x轴正半轴分别交于点，∴，解得：，∴函数可化为：，函数可化为：；∴函数的对称轴为：，函数的对称轴为：，∵，则，则函数，函数均是开口向下；∴函数在上，y随x增大而增大，在上是y随x增大而减小；函数在上，y随x增大而减小；∵，，当时，则函数在时取到最大值；函数在时取到最小值，则∴，即（）；当时，则函数在时取到最大值；函数在时取到最小值，则，即（）；综合上述，h关于c的函数解析式为：．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，考查了二次函数的对称性、增减性，也考查了一次函数的图像和性质，待定系数法求函数的解析式，以及两点之间的距离，求三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意运用数形结合、分类讨论的思想进行分析，从而进行解题．8．（1）B点坐标(0，-1)，平移后的抛物线为；（2）点M的坐标为或；（3）存在，，，，，详解见解析．【解析】【分析】（1）将x=0代入抛物线公式求出y值，即可得到抛物线与y轴交点B的坐标，平移后的抛物线的顶点为E(1,4)，可根据顶点式求出平移后抛物线的解析式；（2）因为抛物线向上平移4个单位，所以MN=4，又因为OM=ON，可知点M的纵坐标为-2，将y=-2代入原抛物线，即可求出x值，点M的坐标就可以表示出来．（3）要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，可以画一个以C、F为直径的圆（直径对应圆周角为直角），交抛物线对称轴x=-1可得点、的坐标解，另外可以使∠PCF=90°或∠CFP=90°，可分别得出点、的坐标解．【详解】解：（1）抛物线与y轴相交于点B，将x=0代入，求得y=-1，∴B点坐标(0，-1)．∵设平移后的抛物线为，顶点为E(1,4)，即h=1，k=4，∴，即平移后的抛物线为．（2）如上图所示，∵原坐标顶点A(1，0)，平移后抛物线顶点为E(1,4)，∴抛物线向上平移了4个单位，即MNy轴，MNx轴，又∵OM=ON，MN=4，∴点O在垂直平分线上，点M、N关于x轴对称，∴M点的纵坐标为–2，将代入，得：解得：，∴点M的坐标为或．（3）存在，且，，，．如图所示，点P一共有四种结果，∵C点为平移后的解析式与x轴的左交点，将y=0代入，得，∴C(-1，0)，且点B(0，-1)，将点B(0，-1)、C(-1，0)代入直线BC解析式为：，∴，解得：，即直线BC解析式：，根据题意可知，直线BC与平移后的解析式相交于点F，∴，解得：x=-1（舍）或4，y=-5，即F(4，-5)，∵要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，可以画一个以C、F为直径的圆，该圆与抛物线对称轴x=-1交点即为点P（因为圆的直径对应的圆周角为90°，即∠CPF=90°）∴以C、F为直径的圆，圆心为线段CF的中点(，)，直径为线段CF的长，∴圆的方程为：，将x=1代入圆的方程，得：y=1或-6，即，，∵直线CF解析式：，即斜率k=-1，即直线CF与x轴夹角为45°，要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，则使∠PCF=90°，直线CP与x轴夹角也为45°，即直线CP斜率为1，直线CP的解析式为：，此时该直线与抛物线对称轴x=1的交点为，又∵直线CF解析式：，即斜率k=-1，即直线CF与x轴夹角为45°，要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，则使∠CFP=90°，直线FP与x轴夹角也为45°，即直线FP斜率为1，直线FP的解析式为：，此时该直线与抛物线对称轴x=1的交点为．【点睛】本题考查了一元二次函数与坐标轴、直线的交点，一元二次函数的平移及应用，圆的直径所对应的圆周角为直角等知识点，该题有一定的难度，所以一定要结合图形进行分析，这样才不会把解遗漏．9．（1）；（2）面积最大值为；（3）存在，【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）设，求得解析式，过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F，设点，则，，即可求解；（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线过，∴∴∴（2）设，将点代入∴过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F设点，则由铅垂定理可得∴面积最大值为（3）（3）抛物线的表达式为：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5，则平移后的抛物线表达式为：y＝x2−5，联立上述两式并解得：，故点C（−1，−4）；设点D（−2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）；①当BC为菱形的边时，点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），即−2＋1＝s且m＋3＝t①或−2−1＝s且m−3＝t②，当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，联立①③并解得：s＝−1，t＝2或−4（舍去−4），故点E（−1，2）；联立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故点E（-3，-4＋）或（-3，-4−）；②当BC为菱形的的对角线时，则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m＋t⑤，此时，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝−3，故点E（1，−3），综上，点E的坐标为：（−1，2）或或或（1，−3）．∴存在，【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．10．（1）；（2）；（3）4，理由见解析【解析】【分析】（1）作点C关于AB的对称点C'，连接DE，与AB交于点E，连接CE．此时EC+ED＝EC'+ED＝C'D最短，易证DBC'＝90°，C'B＝CB＝2，DB＝1，所以在Rt△DBC'中，C'D2＝12+22＝5，故CD＝，即EC+ED的最小值是；（2）作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B'于M'、N，交x轴于P，连接PA，交⊙A于M，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A′B的长，然后用A′B的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值；（3）如图③，延长AD、CE，交于点H，连接GH．易知GE＝DE＝1，所以点G在以H为圆心，1为半径的圆周上运动，作点A关于BC的对称点A'，连接A'H，与BC交于点F，与⊙H交于点G，此时AF+FG＝A'F+FG＝A'G为最短，AB＝2，AH＝BC＝3，A'B＝2，A'A＝4，所以A'H＝=5，因此A'G＝A'H﹣GH＝5﹣1＝4，即该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值为4．【详解】解：（1）如图①，作点C关于AB的对称点C'，连接DE，与AB交于点E，连接CE．∴CE＝C'E，此时EC+ED＝EC'+ED＝C'D最短，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°∴∠CBA＝∠CAB＝45°，C'B＝CB＝2∴∠C'BA＝45°，∴∠DBC'＝90°∵D是BC边的中点，∴DB＝1，在Rt△DBC'中，C'D2＝12+22＝5，∴CD＝，∴EC+ED的最小值是，故答案为；（2）如图②，作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B'于M'、N，交x轴于P，连接PA，交⊙A于M．则此时PM+PN＝PM'+PN＝M'N最小，∵点A坐标（﹣2，3），∴点A′坐标（﹣2，﹣3），∵点B（3，4），∴A'B＝＝，∴M'N＝A′B﹣BN﹣A′M'＝﹣1﹣3＝﹣4∴PM+PN的最小值为＝﹣4；（3）如图③，延长AD、CE，交于点H，连接GH．∵∠DAB＝∠B＝∠C＝90°∴∠DHE＝90°，∵G是DE的中点，DE＝2，∴GE＝DE＝1，∵联动杆DE的两端D、E允许在AD、CE所在直线上滑动，∴点G在以H为圆心，1为半径的圆周上运动，作点A关于BC的对称点A'，连接A'H，与BC交于点F，与⊙H交于点G，此时AF+FG＝A'F+FG＝A'G为最短，∵AB＝2，AH＝BC＝3，A'B＝2，A'A＝4，∴A'H＝=5，∴A'G＝A'H﹣GH＝5﹣1＝4，所以该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值为4．【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到勾股定理、轴对称性质求最短值，综合性比较强，结合题意添加合适的辅助线是解题的关键．11．（1）AG：AB=；（2）；（3）或．【解析】【分析】（1）根据推出BE=AG和AD=AB，进而得出AG是AD的一半即可推出最后结果；（2）先设AB=1，可推出BE=，，再证明，进而得出，即可写出关于的函数关系式；（3）当点H在边DC上时，根据可推出，进而列出方程即得；当点在的延长线上时，根据可推出，进而列出方程即得．【详解】（1）∵在中，AD=BC，AD∥BC∴∴∵，即∴∴AD=AB，AG=BE∵E为BC的中点∴BE=BC∴AG=AB则AG：AB=；（2）∵∴不妨设AB=1，则AD=x，BE=∵AD∥BC∴∴∵GH∥AE∴∠DGH=∠DAE∵AD∥BC∴∠DAE=∠AEB∴∠DGH=∠AEB在中，∠D=∠ABE∴∴∴；（3）分两种情况考虑：∵∴不妨设AB=1，则AD=x，BE=∵AD∥BC∴∴①当点H在边DC上时，如图1所示：∵DH=3HC∴∴∵∴，即解得：；②当在的延长线上时，如图2所示：∵DH=3HC∴∴∵∴，即解得：综上所述，或【点睛】本题属于相似三角形综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线的性质．解本题的关键是根据H点在射线DC上，将H点的位置分为：点H在边DC上以及点在的延长线上．12．（1）（2，0）（答案不唯一）；（2）或；（3）或．【解析】试题分析：（1）由题意可知，在x轴上找点P是比较简单的，这样的P点不是唯一的，如点（2，0）、（1，0）等；（2）如图1，在x轴上方作射线AM交⊙O于点M，使tan∠MAO=，并在射线AM是取点N，使MN=AM，则由题意可知，线段MN上的点都是符合条件的B点，过点M作MH⊥x轴于点H，连接MC，结合已知条件求出点M和点N的纵坐标即可得到所求B点的纵坐标t的取值范围；根据对称性，在x轴的下方得到线段M′N′，同理可求得满足条件的B点的纵坐标t的另一取值范围；（3）如图2，3，由与x轴交于点M，与y轴交于点N，可得点M的坐标为，点N的坐标为，由此结合∠OMN的正切函数可求得∠OMN=60°；以点D（1，0）为圆心，2为半径作圆⊙D，则⊙D和⊙O相切于点A，由题意可知，点A关于⊙O的“生长点”都在⊙O到⊙D之间的平面内，包括两个圆（但点A除外）.然后结合题意和∠OMN=60°分b>0和b<0两种情况在图2和图3中求出ON1和ON2的长即可得到b的取值范围了.试题解析：（1）由题意可知，在x轴上找点P是比较简单的，这样的P点不是唯一的，如点（2，0）、（1，0）等；（2）如图1，在x轴上方作射线AM，与⊙O交于M，且使得，并在AM上取点N，使AM=MN，并由对称性，将MN关于x轴对称，得，则由题意，线段MN和上的点是满足条件的点B.作MH⊥x轴于H，连接MC，∴∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°.∵AC是⊙O的直径，∴∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°.∴∠OAM=∠HMC.∴.∴.设，则，，∴，解得，即点M的纵坐标为.又由，A为（-1，0），可得点N的纵坐标为，故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：.由对称性，在线段上，点B的纵坐标t满足：.∴点B的纵坐标t的取值范围是或.（3）如图2，以点D（1，0）为圆心，2为半径作圆⊙D，则⊙D和⊙O相切于点A，由题意可知，点A关于⊙O的“生长点”都在⊙O到⊙D之间的平面内，包括两个圆（但点A除外）.∵直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，∴点M的坐标为，点N的坐标为，∴tan∠OMN=，∴∠OMN=60°，要在线段MN上找点A关于⊙O的“生长点”，现分“b>0”和“b<0”两种情况讨论：I、①当直线过点N1（0，1）时，线段MN上有点A关于⊙O的唯一“生长点”N1，此时b=1；②当直线与⊙D相切于点B时，线段MN上有点A关于⊙O的唯一“生长点”B，此时直线与y轴相交于点N2，与x轴相交于点M2，连接DB，则DB=2，∴DM2=，∴OM2=，∴ON2=tan60°·OM2=，此时b=.综合①②可得，当b>0时，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，则b的取值范围为：；II、当b<0时，如图3，同理可得若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，则b的取值范围为：；综上所述，若在线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，则b的取值范围为：或.13．（1）；（2），点P在抛物线上；（3）2.【解析】【分析】(1)直线y=kx-6k，令y=0，则B(6，0)，便可求出点D、C的坐标，将B、C代入抛物线中，即可求得b、c的值；(2)过点P，作轴于点L，过点B作于点T，先求出点P的坐标为(4，4)，再代入抛物线进行判断即可；(3)连接PC，过点D作DM⊥BE于点M，先证△PCD≌△PLB，再分别证四边形EHKP、FDKP为矩形，求得=2.【详解】解：如图，直线经过点B，令，则，即，，，，，，点，点B、C在抛物线上，，解得：，函数表达式为：；如图，过点P，作轴于点L，过点B作于点T，，，，点在第一象限，，，，，，，，当时，，故点P在抛物线上；如图，连接PC，，，轴，，，，≌，，，，，过点P作于点K，连接DF，，，，四边形EHKP为平行四边形，，四边形EHKP为矩形，，，，，在中，，，，，，过点D作于点M，，，，，，，，，直线PF与BD解析式中的k值相等，，联立并解得：，即，，，，，，四边形FDKP为平行四边形，，四边形FDKP为矩形，，，，，，，．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，四边形综合性质，解直角三角形等知识，综合性很强，难度很大.14．（1），点D（3，4）；（2）P1（5，0），P2（6，0），P3（，0）.【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，由直线过点B，把点B的坐标代入解析式，可求得b的值；点D在直线CM上，其纵坐标为4，利用求得的解析式确定该点的横坐标即可；（2）△POD为等腰三角形，有三种情况：PO=OD，PO=PD，DO=DP，故需分情况讨论，要求点P的坐标，只要求出点P到原点O的距离即可【详解】解：（1）∵B与A（1，0）关于原点对称∴B（-1，0）∵过点B∴，∴一次函数解析式为当时，，∴D（3，4）；（2）作DE⊥x轴于点E，则OE=3，DE=4，∴；若为等腰三角形，则有以下三种情况：①以O为圆心，OD为半径作弧交x轴的正半轴于点P1，则，∴P1（5，0）．②以D为圆心，DO为半径作弧交x轴的正半轴于点P2，则，∵∴，∴，∴P2（6，0）．③取OD的中点N，过N作OD的垂线交x轴的正半轴于点P3，则，易知，∴,即：，∴，∴P3（，0）；综上所述，符合条件的点P有三个，分别是P1（5，0），P2（6，0），P3（，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式和综合分析能力，注意到分情况讨论是解决本题的关键．15．（1）①.②b的取值范围为或.（2）【解析】【分析】（1）①根据环绕点的定义及作图找到即可判断；②当点B在y轴正半轴上时，根据环绕点的定义考虑以下两种特殊情况：线段AB与半径为2的⊙O相切时，与当点B经过半径为1的⊙O时，分别求出此时的OB的长，即可得到可得b的取值范围，再由点B在y轴负半轴上时同理可得b的取值；（3）根据题意作出图形，求出OS与x轴正半轴的夹角为30°，得∠BOC=60°，图形H为射线OB与射线OC围成的一个扇形区域（不包括点O，半径可无穷大），分当t≥0与t＜0时，根据环绕点的定义进行求解.【详解】（1）①如图，∵P1在圆上，故不是环绕点，P2引圆两条切线的夹角为90°，满足，故为⊙O的环绕点P3（0,2），∵P3O=2OM，∠P3MO=90°，∴∠MOP3=30°，同理：∠NOP3=30°，∴，故为⊙O的环绕点故填：；②半径为1的⊙O的所有环绕点在以O为圆心，半径分别为1和2的两个圆之间（如下图阴影部分所示，含大圆，不含小圆）.ⅰ)当点B在y轴正半轴上时，如图1，图2所示.考虑以下两种特殊情况：线段AB与半径为2的⊙O相切时，；当点B经过半径为1的⊙O时，OB=1.因为线段AB上存在⊙O的环绕点，所以可得b的取值范围为；②当点B在y轴负半轴上时，如图3，图4所示.同理可得b的取值范围为.综上，b的取值范围为或.（3）点记为S,设OS与x轴正半轴的夹角为a∵tana=∴a=30°，如图，圆S与x轴相切，过O点作⊙S的切线OC，∵OC、OB都是⊙S的切线∴∠BOC=2∠SOB=60°，当m取遍所有整数时，就形成图形H，图形H为射线OB与射线OC围成的一个扇形区域（不包括点O，半径可无穷大）当t≥0时，过T作OC的垂线，垂足为M，当TM＞2时，图形H不存在环绕点，OT=2TM，故t≤4，当t＜0时，图形H上的点到T的距离都大于OT,当OT≥2时，图形H不存在⊙T环绕点，因此t＞-2，综上：.【点睛】此题主要考查圆的综合问题，解题的关键是根据题意理解环绕点的定义，根据三角函数、切线的性质进行求解.16．（1）；（2）；（3）存在，或【解析】【分析】（1）过点作轴于点，利用三角函数值可得出，再根据翻折的性质可得出，，再解，得出，，最后结合点C的坐标即可得出答案；（2）设点坐标为（），则点的坐标是，利用（1）得出的结果作为已知条件，可得出点D的坐标为，再结合反比例函数求解即可；（3）首先存在这样的k值，分和两种情况讨论分析即可．【详解】解：（1）如图，过点作轴于点∵，∴∴由题意可知，.∴.∴在中，，∴，.∵点坐标为，∴.∴点的坐标是（2）设点坐标为（），则点的坐标是，由（1）可知：点的坐标是∵点和点在同一个反比例函数的图象上，∴.解得.∴点坐标为（3）存在这样的，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形解：①当时.如图所示，连接，，，与相交于点.则，，.∴∽∴∴又∵，∴∽.∴，，∴.∴，设（），则，∵，在同一反比例函数图象上，∴.解得：.∴∴②当时.如图所示，连接，，，∵，∴.在中，∵，，∴.在中，∵，∴.∴设（），则∵，在同一反比例函数图象上，∴.解得：，∴∴【点睛】本题是一道关于反比例函数的综合题目，具有一定的难度，涉及到的知识点有特殊角的三角函数值，翻折的性质，相似三角形的判定定理以及性质，反比例函数的性质等，充分考查了学生综合分析问题的能力．17．（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，直线AB的解析式为y=﹣x+3；（2）t=或；（3）存在面积最大，最大值是，此时点P（，）．【解析】【分析】（1）将A（3，0），B（0，3）两点代入y=﹣x2+bx+c，求出b及c即可得到抛物线的解析式，设直线AB的解析式为y=kx+n，将A、B两点坐标代入即可求出解析式；（2）由题意得OE=t，AF=t，AE=OA﹣OE=3﹣t，分两种情况：①若∠AEF=∠AOB=90°时，证明△AOB∽△AEF得到=，求出t值；②若∠AFE∠AOB=90°时，证明△AOB∽△AFE，得到=求出t的值；（3）如图，存在，连接OP，设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），根据，得到，由此得到当x=时△ABP的面积有最大值，最大值是，并求出点P的坐标.【详解】（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，设直线AB的解析式为y=kx+n，∴，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣x+3；（2）由题意得，OE=t，AF=t，∴AE=OA﹣OE=3﹣t，∵△AEF为直角三角形，∴①若∠AEF=∠AOB=90°时，∵∠BAO=∠EAF，∴△AOB∽△AEF∴=，∴，∴t=．②若∠AFE∠AOB=90°时，∵∠BAO=∠EAF，∴△AOB∽△AFE，∴=，∴，∴t=；综上所述，t=或；（3）如图，存在，连接OP，设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），∵,∴===，∵<0，∴当x=时△ABP的面积有最大值，最大值是，此时点P（，）．【点睛】此题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定及性质，函数与动点问题，函数图象与几何图形面积问题.18．（1）①（4，1）；（4，5）；4；②16；③见解析；（2）m+n=32．【解析】【分析】(1)①把点B的横坐标4代入双曲线得出其坐标，利用D点的横坐标与B点的横坐标相等可得出D点坐标由B、D坐标可求出BD的长；②由BD∥y轴，BD⊥AC，点P的纵坐标，可得出A、C两点坐标，从而求出AC长，根据AC、BD的值求出ABCD的面积；③先确定出点D坐标，进而确定出点P坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论；（2）先确定出B（4，），D（4，），进而求出点P的坐标，再求出A，C坐标，最后用AC=BD，即可得出结论．【详解】解：（1）①∵，点B得横坐标为4，且在图像上，∴B点的坐标为（4，1）∵，点D的横坐标等于点B的横坐标为4，且在图像上，∴D点坐标为（4，5），∵B（4，1），D（4，5）∴BD=5-1=4．②∵BD∥y轴，BD⊥AC，点P的纵坐标为2，∴A（2，2），C（10，2）．∴AC=8．∴．③∵B（4，1），D（4，5），点P是线段BD的中点，∴P（4，3）．∵BD∥y轴，BD⊥AC，∴A（，3），C（，3）．∴PA=4-=，PC=-4=．∴PA=PC．∵PB=PD，∴四边形ABCD为平行四边形．∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形．（2）∵当四边形ABCD是正方形时，∴BD=AC当x