重难点专训02 利用基本不等式求最值的九大题型（高效培优专项训练）（原卷版）2026年高考数学一轮复习精准复习

2026年高考数学一轮复习精准复习4/14重难点专训02利用基本不等式求最值的九大题型解题方法及技巧提炼 1题型通法及变式提升 3题型一：直接法求最值 3题型二：配凑法求最值 4题型三：分式分离法求最值 5题型四：消元法求最值 8题型五：乘“1”法求最值 10题型六：双换元法求最值 12题型七：构造不等式法求最值 14题型八：多次使用基本不等式求最值 15题型九：多元均值不等式求最值 17重难专题分层过关练 19巩固过关 19创新提升 251、直接法条件和问题间存在基本不等式的关系，求最值时要求“一正、二定、三相等”。特别注意若变量的项是负数，则提取符号，将其转化为正数，再利用基本不等式公式求最值．2、配凑法（1）先以整式为基础，通过调整系数（如将多项式乘以或除以特定常数）、拆分常数项，对代数式做等价变形，确保变形前后式子值不变。（2）配凑时始终以“凑出和为定值或积为定值”为方向，比如拆项、添项，使式子满足基本不等式“一正、二定、三相等”的前提。（3）变形后需检验：所有项是否为正、和或积是否为定值、等号成立条件是否存在，避免因配凑不当违背基本不等式使用前提，导致结果错误。3、分离常数法利用通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分解为对勾函数形式，再利用不等式求最值。即化为恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值。4、消元法从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,然后转化为函数的最值求解，有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解注意所保留变量的取值范围5、代换法代换法适用于条件最值中，出现分式的情况（1）分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；（2）分母为多项式时①若分母中只含一个字母，两分母可以通过配凑得到“1”，然后与所求式子进行相乘；②待定系数法，适用于所有的形式，如分母为与，条件等式为，设∴，解得：，则6、双换元法在代换法运用中，如果分母是两个相关的多项式的问题中，可以将分母通过换元转换成一个变量，这样就可以将所求的式子转换为简单的形式．7、构造目标不等式法寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值，注意等号成立的条件．8、多次使用基本不等式法一个问题中多次用到基本不等式时，不仅要注意每次验证等号成立的条件，而且一定要注意所求等号成立的条件必须一致．9、多元均值不等式公式均值不等式公式：，为正数，当且仅当时，取等号题型一：直接法求最值典例1-1．已知，则取最大值时的值为（

）A．1 B． C． D．典例1-2．设，为实数，且，则的最小值是（）A． B． C． D．变式1-1．若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围．变式1-2．已知，则的最小值是（

）A． B． C．e D．题型二：配凑法求最值典例2-1．已知，则的最大值是，的最大值是．典例2-2．若函数在处取最小值，则（

）A．1 B．2 C．4 D．2或4变式2-1．已知正数满足，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5变式2-2．若，，则实数m的取值范围为．题型三：分式分离法求最值典例3-1．若，则当取最大值时的值为（

）A． B．C． D．典例3-2．函数的最小值是，则当时，a的值为，当时，a的值为变式3-1．求函数的最小值.变式3-2．函数的最大值是（

）A．2 B． C． D．变式3-3．已知常数，函数.若的最大值与最小值之差为，则.题型四：消元法求最值典例4-1．已知正数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．典例4-2．已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．变式4-1．已知，，且，则的最小值为．变式4-2．若实数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．变式4-3．已知正实数，满足，则的最小值是.题型五：乘“1”法求最值典例5-1．若，，且，则式子的最小值是典例5-2．设，若恒成立，则k的最小值为（

）A．9 B．8 C．－1 D．－2变式5-1．已知，，，则的最小值为.变式5-2．设正数满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．题型六：双换元法求最值典例6-1．已知，若，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．典例6-2．已知且，则的最小值为．变式6-1．若，且满足，则的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．变式6-2．若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围.题型七：构造不等式法求最值典例7-1．若实数满足，则的最大值是（

）A． B． C． D．典例7-2．已知实数满足，，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．变式7-1．若满足，则的最大值是，的最小值是.变式7-2．（多选）若实数，满足，则（

）A． B． C． D．题型八：多次使用基本不等式求最值典例8-1．已知，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4典例8-2．已知正实数x、y、z满足，则的最小值为．变式8-1．已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（

）A． B． C． D．变式8-2．已知，当取到最小值时，．题型九：多元均值不等式求最值典例9-1．函数的最小值为.典例9-2．函数的最小值是（

）A． B．3 C． D．变式9-1．设，则的最小值为．变式9-2．已知pq为实数，且满足，那么的最大值为．巩固过关1．已知正实数，满足，则的最大值是（

）A．2 B． C． D．2．已知，且，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．4 D．23．若、且，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．对一切x，，都有，则实数a的最小值是（

）A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对5．若正实数满足，则的最大值是（

）A． B． C． D．6．如图，已知点是反比例函数图象上一动点，点，则的面积的最小值为．7．已知，则的最小值为．8．已知，且，则的最大值为．9．已知，则的最大值为．10．若，，且，则的最小值是.11．已知，，，则的最小值为.12．已知，，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．13．已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．创新提升1．若对任意实数，不等式恒成立，则实数的最小值为．2．若，则的最小值为．3