解析几何：阿波罗尼斯圆问题、卡西尼卵形线问题、曼哈顿距离问题专项训练（解析版）

解析几何：阿波罗尼斯圆问题、卡西尼卵形线问题、曼哈顿距离问题专项训练

题型一阿波罗尼斯圆问题

1.(24-25高二上·广东广州·阶段练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：

平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的

名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0)，B(4,0)．点P满

足，设点P所构成的曲线为C，下列结论不正确的是()

A.C的方程为(x+4)2+y2=16

B.在C上存在点D，使得D到点(1,1)的距离为3

C.在C上存在点M，使得|MO|=2|MA|

D.C上至少3个点到直线l:y=x+b的距离等于1，则-32+4≤b≤32+4

【答案】C

【详解】对于A，设点P(x,y)，由，得，整理得(x+4)2+y2=16，

因此C的方程为(x+4)2+y2=16，A正确；

22

对于B：(x+4)+y=16的圆心C1(-4,0)，半径为r1=4，点(1,1)到圆心C1(-4,0)

的距离d1=26，则圆上一点到点(1,1)的距离的取值范围为[26-4,26+4]，

而3∈(26-4,26+4)，因此在C上存在点D，使得D到点(1,1)的距离为3，B正确；

2

对C：设点M(x,y)，由|MO|=2|MA|，则x2+y=2(x+2)2+y2，整理得(x++y2=，

2

821684

则点M的轨迹方程为x++y=，是以C2-,0为圆心，半径r2=的圆，

(3(9(3(3

又|C1Cr1-r2，则两圆内含，在C上不存在点M，使得|MO|=2|MA|，C错误；

对于D：圆心C1(-4,0)到直线l:y=x+b的距离为d，由C上至少3个点到

|b-4|

直线l:y=x+b的距离等于1，得1≤r1-d2，即≤3，解得-32+4≤b≤32+4，D正确.

2

故选：C

2.(24-25高二上·贵州·阶段练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A,B及动点

P，若且λ≠1)，则点P的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼

斯圆(简称“阿氏圆”)．在平面直角坐标系中，已知O(0,0(,Q(0,2(，直线l1:kx-y+k+3=0，直线l2:

x+ky+3k+1=0，若P为l1,l2的交点，则|PO|+|PQ|的最小值为()

66

A.B.6-32C.9-32D.66

2

【答案】A

【详解】当k=0时，l1:y=3,l2:x=-1，此时l1⊥l2，交点为P(-1,3).

1

当k≠0时，由l1:kx-y+k+3=0，斜率为k，

由l2:x+ky+3k+1=0，斜率为-，∴l1⊥l2，

综上，l1⊥l2.

又l1:k(x+1)-y+3=0，∴直线l1恒过E(-1,3)，

l2:x+1+k(y+3)=0，∴直线l2恒过F(-1,-3)，

若P为l1,l2的交点，则PE⊥PF，设点P(x,y)，

所以点P的轨迹是以EF为直径的圆，除去F点，

则圆心为EF的中点C(-1,0)，圆的半径为r

故P的轨迹方程为(x+1)2+y2=9(y≠-3)，

即x2+y2+2x=8(y≠-3(，则有y2=-x2-2x+8.

又O(0,0(,Q(0,2(，易知O、Q在该圆内，

又由题意可知圆C上一点P1(2,0)满足|P1O|=2，取D(8,0)，

则|P1D|=6，满足

下面证明任意一点P(x,y)都满足，即|PD|=3|PO|，

∵3|PO|=9(x2+y2(=9(x2-x2-2x+8(=9(-2x+8)，

又|PD|=(x-8(2+y2=(x-8)2-x2-2x+8=-18x+72=9(-2x+8)，

∴3|PO|=|PD|.

所以3|PO|+|PQ|=|PD|+|PQ|≥|DQ|，

22

又|DQ|=(8-0(+(0-2(=66，

所以POPQ

如图，当且仅当D,P,Q三点共线，且P位于D,Q之间时，等号成立

即|PO|+|PQ|最小值为.

故选：A.

3.(24-25高二上·广东·阶段练习·多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发

现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1(的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以

他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(-1,0(，B(3,0(．动

点P满足，设动点P的轨迹为曲线C，下列结论正确的是()

A.C的方程为x2+y2+3x=0

2

2

B.C关于直线x+y-2=0对称的曲线方程为(x-2(2+(y-=

C.在C上存在点D，使得D到点,3(的距离为3

D.若E(0,6(，F(2,2(，则在C上不存在点M，使得|ME|=|MF|

【答案】ABD

【详解】设P(x,y)，则|PA|=(x+1)2+y2,|PB|=(x-3)2+y2，

所以，则9(x+1)2+9y2=(x-3)2+y2，

整理得x2+3x+y2=0，A对；

2

由上C:(x++y2=，设对称圆的圆心为(x,y)，则

2

所以对称的曲线方程为(x-2(2+(y-=，B对；

2

由,3(到圆心C的距离为d=+30-)2(=5，由圆C半径r=，

所以,3(到圆C的最短距离为d-r=5-=>3，故不存在D，使D到,3(的距离为3，C

错；

由E,F中点为(1,4)，且kEF==-2，则EF的中垂线为y-4=(x-1)→x-2y+7=0，

-3-+

2071153

圆心C到x-2y+7=0的距离h=>，

5=102

故在C上不存在点M，使得|ME|=|MF|，D对.

故选：ABD

4.(24-25高二下·安徽合肥·开学考试)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：一动点P到两定点A、B的距

离之比等于定值λ(λ>0且λ≠1)，则P点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系xOy

中，点A(6,0(，满足|MA|:|MO|=2:1的动点M的轨迹为C，若在直线l:x-ay+6a=0上存在点P，在曲

线C上存在两点D、E，使得PD丄PE，则实数a的取值范围是.

【答案】[-1,7[

【详解】设M(x,y(，由|MA|:|MO|=2:1，得|MA|2=4|MO|2，

3

即(x-6)2+y2=4(x2+y2(，化简整理得(x+2)2+y2=16，

则此圆心为G(-2,0(，半径为r=4，

因为PD⊥PE,D、E是曲线C上的两点，

当PD,PE都与圆相切，可使∠DPE最大，

又PD⊥PE，DG=GE=r，

此时四边形PDGE为正方形，|PG|=42，

显然，当|PG|>42时，∠DPE为锐角，不满足题意，

当|PG|≤42时，∠DPE才能取得直角，故|PG|≤42，

所以点G到直线l:x-ay+6a=0距离要满足d≤|PG|≤42，

所以，化简得a2-6a-7≤0，解得-1≤a≤7，

即实数a的取值范围为[-1,7[.

故答案为：[-1,7[.

5.(25-26高二上·广东茂名·期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山

大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，那么

点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点P到A(2,0(，B(-2,0(的距离比为3，则点P到

圆C:x2+y2-8x-12y+49=0上的点的距离最大值是．

【答案】10+33

【详解】设点P(x,y(，∵|PA|=3|PB|，

∴(x-2(2+y2=3.(x+2(2+y2，整理得(x+4(2+y2=12，

∴点P的轨迹为以D(-4,0(为圆心，r1=23为半径的圆，

22

∵圆C:x2+y2-8x-12y+49=0的标准方程为(x-4(+(y-6(=3，

∴圆C是以C(4,6(为圆心，半径是r2=3，

∴圆心D(-4,0(与C(4,6(之间的距离d=(-4-4(2+(0-6(2=10，

∵d=10>r1+r2=33，

∴点P到圆C的距离的最大值为d+r1+r2=10+33．

故答案为：10+33．

6.(25-26高二上·甘肃酒泉·期中)设A,B是平面上两点，则满足n(其中n为常数，n≠0且n≠

1)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿

氏圆.已知A(6,0(,B(3,0(，且n=2.

(1)求点P所在圆T的方程.

4

(2)设直线l:y=kx+m与圆T交于M,N两点(不与原点O重合).

①若直线l过点Q(-1,-1(，且∠MTN=120°,求直线l的方程.

②设直线OM,ON斜率分别为k1,k2，且k1k2=3，证明：直线l恒过定点.

【答案】(1)x2-4x+y2=0

(2)①y=-1或3x-4y-1=0；②直线l恒过定点(-2,0)

【详解】(1)设P(x,y)，由

两边平方并整理得x2-12x+36+y2=4x2-24x+36+4y2，

x2-4x+y2=0，

所以点P所在圆T的方程为：x2-4x+y2=0.

(2)由(1)知圆T的圆心T(2,0(，半径r=2，

①因为直线l过点Q(-1,-1(，所以-1=-k+m⇒m=k-1，

由∠MTN=120°,根据垂径定理，圆心T到直线l的距离d=r.cos60°=2×=1，

所以

将m=k-1代入上式并同时平方可得9k2-6k+1=k2+1，解得k=0或k=，

当k=0时，直线l的方程为：y=-1，

当k=时，直线l的方程为：3x-4y-1=0.

②设M(x1,y1(，N(x2,y2(，

联立⇒(1+k2(x2+(2km-4(x+m2=0，

由韦达定理得x1+xx1x

2

224km+m

y1y2=(kx1+m((kx2+m(=kx1x2+km(x1+x2(+m=，

1+k2

因为k1k，所以y1y2=3x1x2，即=3.，

所以4km+m2=3m2⇒2km=m2，

若m≠0，则m=2k，此时直线方程为y=kx+2k=k(x+2)，恒过定点(-2,0)；

若m=0，此时直线方程为y=kx，代入圆的方程得(1+k2(x2-4x=0，解得x=0或x，

则原点是直线与圆的其中一个交点，不符合题意.

所以直线l恒过定点(-2,0).

7.(25-26高二上·北京大兴·期中)古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点A，B的

距离之比为定值m(m≠1)的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中，已知点A(2,0(，B(0,2(.点P满足

|PA|

=2，设点P的轨迹为圆M，点M为圆心.

|PB|

(1)求圆M的方程；

(2)若点Q是直线l1：2x-y-7=0上的一个动点，过点Q作圆M的两条切线，切点分别为E，F，求四

5

边形QEMF的面积的最小值；

(3)若直线l2：ax-by+1=0(a>0，b>0)始终平分圆M的面积，写出的最小值.

22

【答案】(1)(x+2(+(y-4(=16

(2)429

(3)20

22

|PA|(x-2(+y22

【详解】(1)设P(x,y(，由=2，得=2，化简得(x+2(+(y-4(=16.

2

|PB|x2+(y-2(

(2)因为QE,QF是圆M的切线,所以QE⊥ME,MF⊥QF，

四边形QEMF的面积S=2S△QEM,S△QEM=.|ME|.|QE|=2|QE|,

所以S=2S△QEM=4|QE|=4|QM|2-|ME|2=4|QM|2-16，

因为|QM|的最小值为圆心M(-2,4(到直线l1的距离

所以面积最小值为445-16=429.

(3)直线l2过圆心M(-2,4(，则-2a-4b+1=0,即2a+4b=1.=+=2+

+,

由2a+4b=1,可得+(2a+4b(=2+8++，

由基本不等式得：+≥24ba=8,

ab

当且仅当=,即a=b=时等号成立.

所以2++≥2+18=20.

所以的最小值是20.

8.(24-25高二上·湖南株洲·期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点

P，若且λ≠1)，则点P的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼

斯圆(简称“阿氏圆”).在平面直角坐标系中，已知O(0,0(，N(0,-1(，直线l1：kx-y+k+2=0，直线

l2：x+ky+2k+1=0，若M为l1，l2的交点，则|MO|+|MN|的最小值为()

ABCD.10

6

【答案】A

【详解】当k=0时，l1：y=2，l2：x=-1，此时交点为M(-1,2(；

当k≠0时，由直线l1：kx-y+k+2=0，斜率为k，

由直线l2：x+ky+2k+1=0，斜率为-，∴l1⊥l2，

又l1：k(x+1(-y+2=0，∴直线l1恒过E(-1,2(，

l2：x+1+k(y+2(=0，∴直线l2恒过F(-1,-2(，

若M为l1，l2的交点，则ME⊥MF，

所以点M的轨迹是以EF为直径的圆，除去E点、F点；

综合以上两种情况，点M的轨迹是以EF为直径的圆，除去F点，

则圆心为EF的中点C(-1,0(，圆的半径为r=2，

2

故M的轨迹方程为(x+1(+y2=4(y≠-2(，即y2=3-2x-x2(y≠-2(，

又O(0,0(，N(0,-1(，易知O，N在该圆内，

又由题意可知圆C上一点M1(1,0(满足|M1O|=1，取D(3,0(，

则|M1D|=2，满足

MD

下面证明任意一点M(x,y(都满足=2，即|MD|=2|MO|，

MO

∵2|MO|=4(x2+y2(=4(x2+3-2x-x2(=4(3-2x(，

又|MD|=(x-3(2+y2=(x-3(2+3-2x-x2=4(3-2x(，

∴2|MO|=|MD|，

∴2|MO|+|MN|=|MD|+|MN|≥|DN|，

22

又|DN|=(3-0(+(0+1(=10，

∴|MO|+|MN|≥,

如图，当且仅当N，M，D三点共线，且M位于N，D之间时，等号成立，

即|MO|+|MN|的最小值为.

故选：A

9.(24-25高二上·河南焦作·阶段练习)阿波罗尼斯是古希腊数学家，与阿基米德、欧几里得被称为亚历山

大时期数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面内到两个定点的距离之比为常数

k(k≠1(的点的轨迹是“阿波罗尼斯圆”.已知曲线C是平面内到两个定点(-1,0(和(1,0(的距离之比

等于常数的“阿波罗尼斯圆”，则下列结论中正确的是()

A.曲线C关于x轴对称B.曲线C关于y轴对称

7

C.曲线C关于坐标原点对称D.曲线C经过坐标原点

【答案】A

【详解】设动点P(x,y(，曲线C是平面内到两定点F1(-1,0(，F2(1,0(距离之比等于常数，

所以，显然(x,-y(也满足方程，故曲线C关于x轴对称，

不关于y轴、原点对称，且不过原点.

故选：A.

10.(24-25高二上·福建福州·期中·多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前262~前190)发现：平面

内到两个定点A,OB的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，

称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,O0)，B(-2,O0)，动点P满足

,直线l:mx-y+m+1=0，则()

A.直线l过定点(-1,O1)

B.动点P的轨迹方程为(x-2)2+y2=4

C.动点P到直线l的距离的最大值为10

D.若点D的坐标为(1,O1)，则|PD|+2|PA|的最小值为10

【答案】ABD

【详解】对A,直线l:mx-y+m+1=0，m(x+1)-y+1=0，所以直线l过定点M(-1,1)，A正确；

对B，设P(x,y)，因为动点P满足所以

整理可得x2+y2-4x=0，

即(x-2)2+y2=4，所以动点P的轨迹是以C(2,0)为圆心，r=2为半径的圆，

动点P的轨迹方程为圆C:(x-2)2+y2=4，B正确；

对于C，当直线l与MC垂直时,动点P到直线l的距离最大，

且最大值为|MC|+r=(2+1(2+(0-1(2+2=10+2，C错误；

对于D，由，得2|PA|=|PB|，所以|PD|+2|PA|=|PD|+|PB|，

又因为点D在圆C内，点B在圆C外，

所以|PD|+2|PA|=|PD|+|PB|≥|BD|=10，

当且仅当P为线段DB与圆C的交点时取等号.

故选：ABD

11.(24-25高二上·山东菏泽·阶段练习)已知两定点A,B，若动点P到两定点A,B的距离之比为

λ(λ>0,λ≠1(，则点P的轨迹是一个圆，该圆称为阿波罗尼斯圆．已知点P是圆C:x2+y2-4x=0上一

动点，A(-4,0(，B(x0,y0((x0≠-4(，若为定值，则|AB|+|PB|的最小值为．

【答案】

【详解】设P(x,y(，则x2+y2-4x=0，即x2+y2=4x，

8

所以

22

因为为定值，设为t，所以12x+16=t2[(4-2x0(x-2y0y+x0+y0[，

2222222

整理得(12-4t+2tx0(x+2ty0y-tx0-ty0+16=0，

所以解得y0=0，x或x0=-4

所以B,0(，|AB|=，

因为点B在圆C:(x-2(2+y2=4内部，|PB|的最小值为，

所以|AB|+|PB|的最小值为，

故答案为：

12.(24-25高二上·福建莆田·阶段练习)古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作

《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数

k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系xOy中的点

E(2,0(,F(22,0(，则满足|PF|=2|PE|的动点P的轨迹记为圆E.

(1)求圆E的方程；

(2)若直线l为ax-y+1-a=0，证明：无论a为何值，直线l与圆E恒有两个交点；

(3)若点A(-2,2(,B(-2,6(,C(4,-2(，当P在E上运动时，求2|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值和最小值.

【答案】(1)x2+y2=4

(2)证明见解析

(3)最小值为92-817，最大值为92+817

【详解】(1)设P(x,y(，由|PF|=2|PE|，且E(2,0(,F(22,0(，

可得(x-22(2+y2=2(x-2(2+y2，

整理得x2+y2=4，所以圆E的方程为x2+y2=4；

(2)由直线l方程为a(x-1(-y+1=0得{r

x1

解得，所以直线l过定点(1,1(，

{r(y1

由12+12=2<4，得点(1,1(在圆E内，

所以无论a为何值，直线l与圆E恒有两个交点；

(3)设P(2cosθ,2sinθ(，

2

2|PA|2+|PB|2+|PC|=2[(2cosθ+2(2+(2sinθ-2(2[+

9

(2cosθ+2(2+(2sinθ-6(2+(2cosθ-4(2+(2sinθ+2(2

=92+8cosθ-32sinθ=92+817cos(θ+φ(，

其中cossin

因为-1≤cos(θ+φ(≤1，

所以当cos(θ+φ(=-1时，2|PA|2+|PB|2+|PC|2有最小值为92-817，

当cos(θ+φ(=1时，2|PA|2+|PB|2+|PC|2有最大值为92+817.

13.(24-25高二上·重庆九龙坡·期中)公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研

究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或

圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中A(-2,0(,B(1,0(且|PA|=2|PB|.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)若点P在(1)的轨迹上运动，点M为AP的中点，求点M的轨迹方程;

(3)若点P(x,y(在(1)的轨迹上运动，求t=的取值范围.

【答案】(1)x2-4x+y2=0；

(2)x2+y2=1；

(3),.

【详解】(1)设P(x,y(，则(x+2(2+y2=2(x-1(2+y2，

化简得：x2-4x+y2=0，故点P的轨迹方程为x2-4x+y2=0；

(2)设M(a,b(，因为点M为AP的中点，

所以点P的坐标为(2a+2,2b(，

将P(2a+2,2b(代入x2-4x+y2=0中，得到a2+b2=1，

所以点M的轨迹方程为x2+y2=1；

(3)因为点P(x,y(在(1)的轨迹上运动，

所以x2-4x+y2=0，变形为(x-2(2+y2=4，

即点P(x,y(为圆心为(2,0(，半径为2的圆上的点，

则t表示的几何意义为圆上一点与(6,-4(连线的斜率，如图：

10

当过(6,-4(的直线与圆相切时，取得最值，

设y+4=k(∞-6(，

则由点到直线距离公式可得：

解得：k或k，

故t的取值范围是.

11

题型二卡西尼卵形线问题

14.(25-26高二上·湖南长沙·期中·多选)到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵

2

形线.设F1(-c,0(和F2(c,0(且c>0，动点M满足|MF1|.|MF2|=a(a>0)，动点M的轨迹显然是卡西

尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线C，则下列描述正确的是()

A.曲线C的方程是(x+c)2+y2.(x-c)2+y2=a2

B.曲线C关于坐标轴对称

C.曲线C与x轴没有交点

2

D.△MF1F2的面积不大于a

【答案】ABD

2222

【详解】设M(x,y(，则|MF1|=(x+c)+y,|MF2|=(x-c)+y，

22222

则|MF1|.|MF2|=(x+c)+y.(x-c)+y=a，所以A正确；

令-x代x，则(-x+c)2+y2.(-x-c)2+y2=(x-c)2+y2.(x+c)2+y2=a2，

可知曲线关于x轴对称，

222222

令-y代y，则(x+c)+(-y(.(x-c)+(-y(=(x+c)+y2.(x-c)+y2=a2，

可知曲线关于y轴对称，所以B正确；

令y=0，则(x+c)2.(x-c)2=|x+c|.|x-c|=a2，化简得(x2-c2(2=a4，解得x2=c2±a2，

可知当c<a时，x=±c2+a2，当c=a时，x=±2c或x=0，当c>a时，x=±c2+a2或x=

±、c2-a2，

可知与x轴至少有2个交点，所以C不正确；

由三角形面积公式可知S△MF1F2=|MF1|.|MF2|.sin∠F1MF2，因为在三角形中0<sin∠F1MF2≤1，所以

2

S△Msin∠F1MF2≤a，

且仅当sin∠F1MF2=1，即∠F1MF2=时取等号，所以D正确；

故选：ABD.

15.(2025·海南·模拟预测·多选)双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯

努利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵

形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为

伯努利双纽线．已知曲线C(如图所示)过坐标原点O，且C上的点P(x,y(满足到两个定点F1(-a,0(，

F2(a,0((a>0)的距离之积为4，则下列结论正确的是()

A.a=2

B.点M(x,1((x>0)在C上，则|MF1|=22

12

C.点N在椭圆+=1上，若F1N⊥F2N，则N∈C

D.过F2作x轴的垂线交C于A，B两点，则|AB|<2

【答案】ACD

2222

【详解】由题意，|PF1|.|PF2|=4，即(x+a)+y.(x-a)+y=4，

对于A，因曲线C过原点O，将O(0,0(代入，解得a=2，故A正确；

对于B，由点M(x,1((x>0)在C上，得|MF1||M

422

化简得x-6x+9=0，解得x=3,|MF1|=(3+2)+1≠22，故B错误；

对于C，椭圆+=1的焦点坐标恰好为F1(-2,0(与F2(2,0(，则|F1N|+|F2N|=26，

由F1N⊥F2N，得：|F1N|2+|F2N|2=16，

2

(|F1N|+|F2N|(-(|F1N|2+|F2N|2(

则|F1N|.|F2N|==4，N∈C，故C正确；

2

对于D，设A(2,y(，则|AB|=2|y|，而A∈C，则|A

又根据勾股定理得|AF1|2=16+y2，则=16+y2，化简得y4+16y2-16=0，

解得y2=45-8,y2-1=45-9<0，因此|y|<1,|AB|<2，故D正确；

故选：ACD．

16.(2025·云南昆明·模拟预测·多选)卡西尼线型，特别是卡西尼卵形线，在天文学和航天工程中有广泛的应

用，最初是在研究土星及其卫星的运动规律时发现的，土星的环和某些卫星的轨道轨迹可以通过卡西尼

卵形线来描述，这些卵形线是卫星围绕土星运动的轨迹.而在数学领域，卡西尼卵形线是解析几何中研

究的重要曲线之一，我们把平面内与两定点距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线.现已知平面

内有一卵形线E:(x+1)2+y2.(x-1)2+y2=4，则下列说法正确的是()

A.曲线E过原点

B.曲线E既是中心对称图形又是轴对称图形

C.曲线E上点的横坐标的取值范围是[-5,5[

D.曲线E上任意一点到原点距离的取值范围是[3,5[

【答案】BCD

【详解】对于A，(0,0(不满足方程(x+1)2+y2.(x-1)2+y2=4，A错误；

对于B，将(-x,y(，(x,-y(,(-x,-y(代入(x+1)2+y2.(x-1)2+y2=4，

均为(x+1)2+y2.(x-1)2+y2=4，В正确；

对于C，因为[(x+1)2+y2[.[(x-1)2+y2[=16,(x+1)2+y2≥(x+1)2,(x-1)2+y2≥(x-1)2，

所以(x+1)2.(x-1)2≤16，即(x2-1(2≤16，

所以-4≤x2-1≤4，所以x∈[-5,5[，C正确；

对于D，设点P(x,y(在曲线E上，有[(x+1)2+y2[.[(x-1)2+y2[=16，

即(x2+y2+1+2x((x2+y2+1-2x(=16，

所以(x2+y2+1(2=16+4x2，

2

因为x∈[-5,5[，所以(x2+y2+1(∈[16,36[，

13

即x2+y2∈[3,5[，所以OP=x2+y2∈[3,5[，D正确.

故选：BCD.

17.(2025·河南周口·二模·多选)在平面内，到两定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知

2

曲线C上的动点P到两定点F1(0,-c)，F2(0,c)的距离之积为4c(c>0)，O为坐标原点，则()

2

A.C关于x轴和y轴均对称B.△PF1F2的面积的最大值为2c

C.△PF1F2周长的最小值为6cD.|OP|的取值范围为[3c,5c[

【答案】ACD

2

【详解】设P(x,y(，因为在平面直角坐标系xOy中，F1(0,-c)，F2(0,c)，动点P满足|PF1|.|PF2|=4c，

22

所以x2+(y+c(.x2+(y-c(=4c2，

化简得x2+y2=2c4c2+y2-c2，

对于A，将x换成-x可得x2+y2=2c4c2+y2-c2，将y换成-y可得x2+y2=2c4c2+y2-c2，

所以C关于x轴和y轴均对称，故A正确；

对于B，设4c2+y2=t(t≥2c(，则y2=t2-4c2，

所以x2=-t2+2ct+3c2=-(t-c(2+4c2(t≥2c(，故x2≤3c2，则|x|≤3c，

2

故△PF1F2面积的最大值为×2c×3c=3c，故B不正确；

2

对于C，因为|PF1|.|PF2|=4c，所以|PF1|+|PF2|≥2|PF1|.|PF2|=4c，

当且仅当|PF1|=|PF2|=2c时，△PF1F2周长的最小值为6c，故C正确；

2222

对于D，|OP|2=x+y=2ct-c≥3c，所以|OP|≥3c，

22222

由x=-t+2ct+3c≥0，可得t≤3c，所以|OP|2=2ct-c≤5c，所以|OP|≤5c，

故|OP|的取值范围为[3c,5c[，故D正确.

故选：ACD.

18.(24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中)我们在学习解析儿何过程中知道椭圆、双曲线的定义分别是平面

内到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律

时发现到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.若定点F1(-c,0(,F2(c,0(，动点

2222

P满足|PF1|.|PF2|=a，其中a,c均为正数，记该卡西尼卵形线为曲线C，它的轨迹方程为(x+y(+

λ(x2-y2(=μ.

(1)求参数λ,μ的值(用含a,c的式子表示)；

(2)若P(x,y(为曲线上一点，求证：|y

(3)若a=c，求证：曲线C恰经过3个整点(横、纵坐标均为整数的点).

【答案】(1)λ=-2c2，μ=a4-c4

(2)证明见解析

(3)证明见解析

222222

【详解】(1)设P(x,y(为曲线上一点，则由|PF1|.|PF2|=a可得(x+c(+y.(x-c(+y=a.

2

整理可得(x2+y2(-2c2(x2-y2(=a4-c4，

结合题意可知：λ=-2c2，μ=a4-c4.

14

2

(2)据(1)的结论有(x2+y2(-2c2(x2-y2(=a4-c4.

22

一方面，a4-c4=(x2+y2(-2c2(x2-y2(=(x2+y2-c2(+4c2y2-c4≥4c2y2-c4，故a4≥4c2y2.

可得y即|y

另一方面，x4=(x2(2≤(x2+y2(2=2c2(x2-y2(+a4-c4≤2c2x2+a4-c4，从而x4-2c2x2+c4-a4≤0，

即(x2-c2-a2((x2-c2+a2(≤0.

从而-(c2+a2(≤c2-a2≤x2≤c2+a2，所以|x|≤、a2+c2.

(3)将a=c代入，可得C的轨迹方程为(x2+y2(2-9(x2-y2(=0.同时据(2)的结论有|y|≤

,|x|≤3.

32

若x,y均为整数，则由1<<2，可知|y|≤1.

4

2

若|y|=1，则(x2+1(-9(x2-1(=0，即x4-7x2+10=0，故(x2-2((x2-5(=0.

故x2=2或x2=5，但2和5都不是整数的平方，矛盾.

所以|y|=0，从而x4-9x2=0，这就得到x2(x-3((x+3(=0，所以x可以取-3,0,3.

这表明曲线经过的整点只可能有(-3,0(，(0,0(，(3,0(.

经验证，曲线经过这3个整点，结论得证.

19.(24-25高二上·湖北武汉·期末·多选)平面内到两定点的距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形

线，卡西尼卵形线是天文学家卡西尼在研究卫星运行规律时发现的.已知曲线C上的点M到F1(-1,0(

与F2(1,0(的距离之积为2，则下列结论正确的是()

A.曲线C的方程为(x2+y2+1(2=9x2+9B.曲线C关于x轴对称

C.曲线C围成的图形面积不超过43D.△MF1F2面积的最大值为1

【答案】BCD

【详解】设M(x,y(，由题意，|MF1||MF2|=2，

即(x+1(2+y2.(x-1(2+y2=2，化简得(x2+y2+1(2=4x2+4，

即曲线C的方程为(x2+y2+1(2=4x2+4，故A错误；

对于B，将点(x,-y(代入曲线C的方程得：

222

[x2+(-y(+1[=4x2+4，即(x2+y2+1(=4x2+4，

所以曲线C关于x轴对称，故B正确；

对于C，由(x2+y2+1(2=4x2+4，

2

得y2=2vx2+1-x2-1=-(vix2+1-1(+1≥0，解得0≤vx2+1≤2，

又因为、x2+1≥1，所以1≤x2+1≤2，

所以-3≤x≤3，

2

又因为y2=-(x2+1-1(+1≤1，所以y∈[-1,1[，

所以曲线C围成的图形面积不超过2×23=43，故C正确；

对于D，由C选项知，△MF1F2面积的最大值为×2×1=1，故D正确.

故选：BCD.

20.(24-25高二上·江苏南京·期中·多选)天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平

15

面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知定点F1(-c,0(，F2(c,0(，动点P满

2

足|PF1|.|PF2|=a(c>0且a,c均为常数)．设动点P的轨迹为曲线E．则下列说法正确的是()

A.曲线E既是轴对称图形，又是中心对称图形

B.|PF1|+|PF2|的最小值为2a

C.曲线E与x轴可能有三个交点

D时，曲线E上存在Q点，使得QF1⊥QF2

【答案】ACD

22222222222

【详解】a=|PF1|.|PF2|=(x+c(+y.(x-c(+y=(x+y+c(-4cx，

化简得a4+4c2x2=(x2+y2+c2(2⇒x2+y2+c2=、a4+4c2x2，

对于A，用-x代替x得x2+y2+c2=、4c2x2+a4，所以曲线关于y轴对称，

用-y代替y得x2+y2+c2=4c2x2+a4，所以曲线关于x轴对称，

用-x代替x，-y代替y得x2+y2+c2=4c2x2+a4，所以曲线关于原点对称，

所以曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以A正确；

对于B，当a>0时，|PF1|+|PF2|≥2|PF1|.|PF2|=2a，

当a=0时，显然P与F1或F2重合，此时|PF1|+|PF2|=2c，所以B错误；

对于C，x2+y2+c2=4c2x2+a4中，令y=0得x2+c2=4c2x2+a4，

即(x2-c2(2=a4⇒x2-c2=±a2，

若a=c，则x=±2c或x=0，此时曲线E与x轴有三个交点，所以C正确；

—→—→

对于D，假设存在点Q，使得QF1⊥QF2，则QF1⊥QF2，

——→——→

因为QF1=(-c-x,-y(，QF2=(c-x,-y(，

—→—→

222

所以QF1.QF2=(-c-x,-y(.(c-x,-y(=-c+x+y=0，

故x2+y2=c2，

由x2+y2+c2=、4c2x2+a4得2c2=、4c2x2+a4≥a2，

故≥,反之，也成立，所以D正确．

故选：ACD

21.(24-25高二上·山西太原·期末·多选)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，

它是1675年法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知平面直角坐标系中，

A(-2,0(，B(2,0(，动点P满足|PA|.|PB|=4，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是()

A.曲线C关于原点对称B.点P的横坐标的取值范围为[-3,3[

C.△PAB面积的最大值为2D.|PA|+|PB|的取值范围为[4,42[

【答案】ACD

【详解】设P(x,y)，由题意|PA||PB|=(x+2)2+y2.(x-2)2+y2=4，变形得x4+2x2y2+y4-8x2+8y2

=0，

点(-x,-y)代入有(-x)4+2(-x)2(-y)2+(-y)4-8(-x)2+8(-y)2=x4+2x2y2+y4-8x2+8y2=0，

所以点(-x,-y)为P(x,y)关于原点对称的点，也在曲线上，即曲线关于原点对称，A对，

曲线方程整理为(y2)2+2(x2+4)y2+x4-8x2=0，

16

令t=x2，则t2+2(x2+4)t+x4-8x2=0，此关于t的方程有实数解，

则Δ=4(x2+4)2-4(x4-8x2)=4(16x2+16)>0，

又t=x2≥0，即方程有非负数解，

所以x4-8x2≤0，解得-22≤x≤22，当x=±22时，y=0，即(22,0)和(-22,0)是曲线上的

点，

所以横坐标范围是[-22,22]，B错，

选项C，曲线C的方程整理为(x2)2+2(y2-4)x2+y4+8y2=0，

2242

因此Δ1=4(y-4)-4(y+8y)≥0，解得-1≤y≤1，

y=1时，x=±3，y=-1时,x=±3，即点(±3,±1)在曲线C上，

所以(S△PAB)max=|AB||y|max=×4×1=2，C正确；

选项D，首先|PA|+|PB|≥|AB|=4，当P是AB中点时，|PA|=|PB|=2，|PA|+|PB|=4，

不妨设|PA|≥|PB|，则|PA|-|PB|≤|AB|，|PA|≤4+|PB|，

|PA||PB|≤|PB|(|PB|+4(，|PB|2+4|PB|≥4，解得|PB|≥22-2，

4

|PA|=≤22+2，由对称性得22-2≤|PB|≤22+2，

|PB|

4

|PA|+|PB+|PB|，记u=|PB|，则|PA|+|PB|=u+，u∈[22-2,22+2]，

u

4

由对勾函数性质知函数y=u+在[22-2,2[上单调递减，在[2,22+2]上单调递增，

u

u=2时，y=4，u=22±2时，y=42，

所以4≤|PA|+|PB|≤42，D正确．

故选：ACD．

22.(24-25高三上·广东·开学考试·多选)到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵

2

形线.设F1(-c,0(和F2(c,0(且c>0，动点M满足|MF1|.|MF2|=a(a>0(，动点M的轨迹显然是卡西尼

卵形线，记该卡