湖北省宜城一中、枣阳一中等鄂北六校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题含答案

宜城一中枣阳一中曾都一中

2025—2026学年上学期期中考试

襄阳六中南漳一中老河口一中

高二数学试题

时间：120分钟

分值：150分

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准

考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写

在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿

纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题意要求的。

1.若方程表示焦点在V轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()

A.[2,4]B.(2,3)C.(3,4)D.(2,+∞)

2.小明有3把钥匙，其中1把能打开门.如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙

扔掉，那么第二次才能把门打开的概率是()

AB.D.

3.瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、

垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(0,0),B(1,2),

C(2,1),则△ABC的欧拉线方程为()

A.2x+y-1=0B.2x-y-1=0C.x+y=0D.x-y=0

4.若平面α的法向量为ū=(2,-2,4),平面β的法向量为=(m,1,-2),直线l的方向向量为

a=(k,2,-4),则()

A.若αllβ,则m=1B.若llα,则k=-2

C.若k=-2,则1/laD.若m=-5,则α⊥β

5.已知直线nx-my+1=0(m>0,n>0)经过圆C:x²+y²+2x-2y+1=0的圆心，则的

最小值为()

A.9B.5

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6.如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=4,E为边AD的中点.将△ABE沿直线BE翻折至△A₁BE

位置，使得二面角A₁-BE-C的大小为,则A₁C=()

A.2√2

B.3√2

C.4

D.8

7.已知椭圆C:,b>0)的左、右焦点分别为F,F₂,过F₂的直线与椭圆C交

于A,B两点，若|AF₂|=3|F₂B|,且∠FAB=90°,则椭圆C的离心率为()

D.3

8.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D的棱长为2,点P在该正方体的内切球表面上运动，且满足D₁P

//平面ABC₁,则AP的最大值为()

A.B.√6D.2√6

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在一次随机试验E中，定义两个随机事件A和B,若,则()

A.

B.若A与B互斥，则

D.若A与B相互独立，则A和B至少有一个发生的概率为

10.已知直线l:3x-4y+k=0圆C:x²+y²-4x+2y-4=0,则下列说法正确的是()

A.存在实数k,使得直线1与圆C相切

B.当k=0时，直线1被圆C截得的弦长为2√6

C.当k=0时，圆C上到直线l的距离为1的点有3个

D.若直线l与圆C相交，则实数k的取值范围为(-25,5)

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11.正方体ABCD-A₁B₁C₁Di中，AB=2,F是BB₁的中点，E是棱AB上的动点(含端点),则()

A.FE+DE的最小值为√13

B.若E是棱AB的中点，则点A₁到平面EB₁D的距离为

C.记四棱锥A1-ABCD外接球的球心为I,则直线IE与平面ABCD所成角的正切值的取值范

围为

D.若M,N分别是棱BC,CC₁的中点，则NE在NM上的投影向量的模长为定值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知直线1与直线√3x-y+4=0平行，则直线l的倾斜角是

13.已知F是椭圆C:的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点M的坐标为(5,4),则

|PM|+|PF|的最大值为·

14.对于两个空间向量m=(x₁,y₁,=)与n=(x₂,y₂,二2),我们定义它们之间的曼哈顿距离为

D(m,z)=|x₁-x₂|+|v₁-y₂|+|z-z₂|.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD

为矩形，AB=2,AD=4,AP=2,E为AP中点，若点M在底面ABCD内(含边界)运

动，且|PM|=√5,则D(AE,PM)的最大值是

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知△ABC的顶点A(4,-2),边AB上的中线CM所在直线方程为x-3y+5=0,

边AC上的高BH所在的直线方程为2x-y=0.

(1)求顶点C的坐标；

(2)求直线BC的方程.

16.(15分)Matlab是一种数学软件，用于数据分析、深度学习、图象处理与计算机视觉、无线

通信、信号处理、人工智能机器人等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校

举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p,

乙同学答对每题的概率都为q(p>q),且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、

乙同时答对的概率为,恰有一人答对的概率为

(1)求P和4的值；

(2)若两题都答对者可被评为“优秀”,求甲、乙至少有一人被评为“优秀”的概率.

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17.(15分)动圆M与圆A:x²+4x+y²=0外切，同时与圆B:x²-4x+y²-32=0内切，EF为

圆N:(x-1)²+y²=4的任意一条直径.

(1)求动圆圆心M的轨迹方程；

(2)已知点P为圆心M的轨迹上任意一点，求PE·PF的取值范围.

18.(17分)如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，M为PA中点，DE=λDP(0<λ<1).

(1)求证：PC//平面BDM;

(2)若平面ABCD⊥平面ABP,BA=BP=4,AD=AP=4√2

(i)当时，求证：PD⊥平面BME;

(ii)当二面角E-BM-P的余弦值为时，求λ的值.

19.(17分)已知直线l:kx-y+k+2=0,l₂:x+ky+2k+1=0.

(1)求l与l₂的交点Q的轨迹C的方程；

(2)过P(0,1)作动直线l与轨迹C交于M、N两点，若D为MN的中点，1与直线x+y+1=0

相交于E点，求证：PD·PE为定值t.

(3)古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前262~前190)发现：平面内到两个定点距离

之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波

罗尼斯圆，简称阿氏圆.在(1)、(2)的前提下，求t.|o0|+|PO的最小值(其中○为

坐标原点).

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高二数学答案

题号1234567891011

答案CBDBAACBACACDAD

三、填空：1213.1314.3+√2

8.由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点O,内切球半径r=1.

易证，平面D₁AC//平面ABC₁,∵D₁P//平面ABC₁,∴D₁Pc平面DAC,故点P的轨迹是

平面D₁AC与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为O₁.

如图，以D为原点建立空间直角坐标系，D(0,0,0),B₁(2,2,2)

则A(2,0,0),C(0,2,0),D₁(0,0,2),O(1,1,1),

AC=(-2,2,0),AD₁=(-2,0,2),AO=(-1,1,1)

设平面D₁AC的法向量为n=(x,y,二),则

令x=1,则y=z=1,故n=(1,1,1),

(或利用正方体几何性质，取法向量为DB₁=(2,2,2).)

∴点O到平面D₁AC的距离为

(或利用

∴圆O₁的半径为

由AO=(-1,1,1)得，AO=√3,

∴AP的最大值为AO₁+r=√6.

四、解答题.

15.(1)由题意知，AC⊥BH,则kc·kg=-1,十……2分

则直线AC的方程为

联立得，顶点C(-2,1)……6分

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(2)设B(m,2m),则中点M的坐标为

将其代入中线CM方程,得m=4,故B(4,8)……11分

则所以直线BC方程为

16.解：(1)由题可知(4分),解得或

由于P>q,所以……7分

(2)设甲被评为“优秀”为事件A,乙被评为“优秀”为事件B,

甲乙至少一人被评为“优秀”为事件C.

法一：……11分

则……15分

……15分

17.(1)设圆心M的坐标为(x,y),半径为r.

由圆A方程(x+2)²+y²=4知圆心A(-2,0),半径r=2

由圆B方程(x-2)²+y²=36知圆心B(2,0),半径r₂=6

由圆M与圆A外切可知MA|=r+2由圆M与圆B内切，可知MB|=6-r

故MA|+|MB|=8>|AB|=4………4分

由椭圆定义可知，圆心M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(除去点(-4,0))

其中c=2,且2a=8,即a=4.又b²=a²-c²=12

故轨迹方程为……7分(未去点扣1分)

(2)由题知圆心N(1,0),半径为2.设P(x,y)且满足

PE·PF=(PN+NE)·(PN+NF)=(PN+NE)·(PN-NE)

PN²-NE²=|PN²-4……10分

……13分

又-4<x≤4,古,PE·PF∈(5,21)..……15分(未去点扣1分)

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18.(1)连接AC交BD于点Q,连接QM,

因为四边形ABCD是矩形，所以Q为AC中点，

又因为M为PA中点，所以在△PAC中，有QM//PC,

因为QMc平面BDM,PC4平面BDM,所以PC//平面BDM;……4分

(2)在矩形ABCD中，有BC⊥AB,

因为平面ABCD⊥平面ABP,平面ABCD∩平面ABP=AB,

BCc平面ABCD,所以BC⊥平面ABP,又AB²+BP²=AP²,所以AB⊥BP,分

以B为原点，分别以BA,BP,BC方向为x轴，V轴，二轴的正方向，建立空间直角坐标系，

如图所示.

则有B(0,0,0),M(2,2,0),P(0,4,0),C(0,0,4√2)

D(4,0,4√2),A(4,0,0),BM=(2,2,0),BD=(4,0,4√2),

DP=(-4,4,-4√2),DE=λDP=(-4λ,4λ,-4√22)

BE=BD+DE=BD+λDP=(4-42,42,4√2-4√22)………7分

(i)当时，BE=BD+DE=(1,3,√2)

所以BE·DP=-4×1+4×3-4√2×√2=0,BM·DP=2×(-4)+2×4=0,

所以BE⊥DP,BM⊥DP,即BE⊥PD,BM⊥PD,

又因为BMnBE=B,BEc平面BEM,BMc平面BEM,

(另：求出平面BEM的法向量ü=(1,-1,√2)给3分，证明DPI/μ)

所以PD⊥平面BME.……10分

(ii)设平面EBM的法向量为n=(x,y,z),则

则n=(√2-√2λ,√22-√2,22-1)

取平面BMP的法向量m=(0,0,1)……14分

因为二面角P-BM-E的余弦值为即二面角的平面角为锐角

化简得，15λ²-142+3=0,解得或……16分

因为二面角的平面角为锐角，所以.故……17分

19.(1)I过定点S(-1,2),l₂过定点T(-1,-2),且⊥l₂

∴I与l的交点Q的轨迹C为以ST为直径的圆，(除去点T).

其中圆心为C(-1,0),半径为r=2,如图19—1所示

∴C的方程为(x+1)²+y²=4(y≠-2)…………4分(未去点扣1分)

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(2)法一：连接CD,如图19—2所示，由垂径定理得CD⊥1

∴PD·PE=(PC+CD)·PE=PC·PE

设E(xg,yE),由E在x+y+1=0上，则xg+yE=-1

∴PD·PE=PC·PE=(-1,-1)·(xg,ys-1)=-xg-yg+1=2

∴定值t=2……10分

法二：①当直线1的斜率不存在时，1:x=0,

此时D(0,0),E(0,-1),则PD·PE=2.……5分

②当1的斜率存在时，设1:y=kx+1,M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)

联立得(1+k²)x²+(2k+2)x-2=0

由韦达定理得则中点……7分

联立解得……8分

故

综上所述，PD·PE=2……10分

(3)设定点A(m,0)使得|AQ|=2|00,

则Q(x,y)满足，√(x-m)²+y²=2√x²+y²,,化简整理得：

∵Q在阿氏圆(x+1)²+y²=4上，∴m=3,即A(3,0)………15分

∴t.|0Ql+|PQ|=|AQl+|PQ|≥|AP|=√10(当且仅当A、P、Q共线时取等)…………17分

法二：设定点A(m,0)使得A|Q|=2|00|,

设圆C与直线OA交于G(-3,0)、H(1,0),

则G为∠OQA的外角平分线与OA的交点、H为内平分线与OA的交点，图19—3所示

由阿氏圆的性质：

∴m=3,即A(3,0)……15分

∴t.|oQl+|PQ|=|AQl+|PQ|≥|AP|=√10(当且仅当A、P、Q共线时取等)………17分

高二数学答案(共4页)第4页

宜城一中枣阳一中曾都一中

20252026学年上学期期中考试精在各题H的等题区域内作答。超出黑色婚形边性限定区域的答案无效请在各题日的答超区域内作答，超出黑色矩形边核限定区域的答案龙效

襄阳六中南漳一中老河口一中解答题16.(本小题满分15分)

高二数学答题卡

1.(本小题满分13分)

姓名

准考证号贴条形码区

填涂样例贴缺考标识

正确填■考作禁填!由监考老师填

注1前，考生主指自己的地名，准书证引的习的想：并以高故条后明上的丝名，准考证9,在规定的丝置临好条形明.

意2.选择磁必明的用2档笔璃津；丰路吓题必续阳第字第或钢客容题：字棒工放、彩通消是。

事3.请按题号颗序在各题Ⅱ的答题区城内作答。超出答题区城书写的答蛮无效：在试题卷、尊施量上容陋无效。

项所+面增许·不资新查，不要荐数，考试桌所，请语答题节，该磁管一开上文。

选择题

图回

1国B5国图图回]

2国9国图四回

2国6国国回回1

四0国国四面

3国国7国围图回1Ⅱ国固固

4国8国面回

请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效

填空题

12

13

14.

请勿在此区域内作答

请在各题日的答题区域内作答·超出黑色蚯形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边柜限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效

鄂北六校联考*高二数学答题卡(共2页)第1页

请在各题日的答超区域内作答，超出黑色师形边框限定区域的答案无效

请在各题日的答题区域肉作等，超出黑色距形边框限定区域的答案无效