中科大数值逼近讲义05数值积分

数值积分教学目的及要求：掌握Newton-Cotes公式、Romberg方法、Euler-Maclaurin公式、Gauss型求积公式等数值积分公式及方法。§1．数值积分的一般概念本章讨论定积分的近似计算问题。从微积分学中我们知道能够利用Newton-Leibni公式去计算的定积分是很少的。事实上，在实际问题中，我们常常无法利用初等函数去表出原函数例如，对于概率积分与椭圆积分和来说，我们便遇到了上述的困难。因此不能不考虑定积分的近似计算问题。以下，我们所讨论的求积公式绝大多数具有如下形式：（1.1）其中为求积公式的结点，为求积系数。通常，称右端的和为求积和；又称为求积误差。有时，也将求积公式写成在（1.1）式中，[a,b]是实直线上的有限或无限的空间；函数是已知的固定的函数且常常是，以后我们将称它为权函数。此外，我们还假定积分总是存在的，并且函数在点处是有定义的。一般说来，求积公式（1.1）中的结点和系数可以按所希望的方式随意选取（除非是被积函数仅在一离散点集上是已知的，那时只好限制从离散点集中去选取了）。自然，我们总是希望通过和的选取使得在某种意义下求积误差尽可能地小。概括来说，数值积分问题可分解为下述的三个主要问题：求积公式的具体构造问题；精确性程度的衡量标准问题；余项估计问题（亦即，误差估计问题）。为了解决第一个问题，我们必须考虑结点和求积系数的决定（或选择）问题。为了合理的解决第二个问题，我们将引进代数精度的概念。至于第三个问题，则主要是借助于内插多项式的余项估计公式来解决。由第一章的Weierstrass多项式逼近定理可知，对于闭区间上的连续函数，都可以用多项式去一致地逼近它。换句话说，任一连续函数都可以用多项式作为它的最简单的近似函数，一般说来，多项式的次数取得越高，用它们来近似连续函数的程度也就越高。这自然使我们想到利用多项式的次数去规定求积公式的精确性程度（所谓代数精度）。代数精度的概念是这样：就形如（1.1）式的求积公式来说，假如对，公式衡精确地成立（亦即），而当时公式不精确成立，则称公式（1.1）的代数精度为m。容易看出，m越大，则就一般的连续函数而言，公式（1.1）的右端数值与左端积分值的接近程度也就越高。事实上，当m越大时，用次数不高于m的多项式（例如p(x)）去近似f(x)亦就越好，即便越小，因而公式（1.1）的误差亦就越小。理由是，由此可见，引进代数精度的概念作为衡量求积公式的精确性是十分自然的。下面的定理说明了具有代数精度的求积公式的存在性。定理1对于任意给定的n个不同的结点，有常数使得当是次数的多项式时求积公式（1.1）精确成立，亦即证明设已给定点，并且是函数f(x)在这些点上的Lagrange差值多项式，亦即此处于是（1.2）定义则（1.2）式变为但是，若是次数的多项式，则。这意味着故证毕。注意，上述定理并没有要求一定要属于区间[a,b].另外，定理只是断言了，当由（1.3）式决定时，公式（1.1）对于一切次数的多项式是精确的。换言之，定理1说明了公式（1.1）的代数精度以后，我们称求积系数由（1.3）式决定的求积公式为插值型求积公式。由于对次数不超过n-1次的任意多项式说来，所以n个结点的插值型求积公式的代数精度反之，容易证明，代数精度的n个结点的求积公式一定是插值型求积公式。事实上，因Lagrange插值基本多项式，而因求积公式的代数精度因此该求积公式对必精确成立，即特别，当属于[a,b]时，我们称公式（1.5）为内插型求积公式，其中求积系数由下式确定：（1.6）§2．Newton-Cotes公式设[a,b]是一有限区间，令依定理1，有常数使得求积公式（2.1）对于一切次数的多项式是精确的。事实上，当由（1.6）式决定时（注意，此时上述求积公式的代数精度以后，我们称N个结点的内插型求积公式为N点的Newton-Cotes公式。通常，称一个结点的Newton-Cotes公式（2.2）为矩形公式；称2个结点的Newton-Cotes公式（2.3）为梯形公式；称3个结点的Newton-Cotes公式（2.4）为Simpson公式。此处由多项式插值余项公式可知，梯形公式的求积误差为（2.5）设有连续的二阶导数，由于当时，所以对（2.5）式应用积分中值定理可知必有中的点和使得（2.6）同理，Simpson公式（2.4）的求积误差为（2.7）其中设有四阶连续的导数，由于故由分部积分公式和积分中值定理可得（2.8）从Simpson公式的求积误差公式（2.8）可以看出，Simpson公式的代数精度是3。从公式（2.6）和（2.8）看出，对给定的被积函数而言，当积分区间缩短时，求积误差以更快的速度减小。因此，在实际计算中为了保证计算的精度，往往首先用分点。将区间分成n个相等的子区间：而后对每个子区间再应用梯形公式（2.3）或Simpson公式（2.4）。例如，对每个子区间应用梯形公式（2.3），得到于上式中舍掉余项并对i从0到n-1求和，可得一个新的求积公式上述求积公式的误差是若连续，由于均为的内点，所以由中值定理有将其代入（2.10）式，得到（2.11）公式（2.9）称为复化梯形公式，求积误差由（2.11）式确定。同样，我们可以建立复化Simpson公式。用分点将分为2n等分。然后，在每个子区间上应用Simpson公式并求和，得到（2.12）其中关于Simpson型求积，还有一类4点Simpson求积公式：（2.14）它也具有3次代数精度。如下的Bode求积公式具有5次代数精度，它有5个求积结点：（2.15）递推关系是数值方法的重要技巧，它具有结构紧凑和便于在计算机上实现的特点。下面，仅以梯形公式为例介绍一下所谓的逐次分半算法。首先在整个区间上应用梯形公式算出积分近似值；然后将二等分，对n=2应用复化梯形公式算出；再将每个小区间二等分（即将四等分），对n=4应用复化梯形公式算出；如此下去，直至相邻两个值之差小于允许误差为止。应注意，在计算后面的时可以利用前面算出的的值：（2.16）其中（2.17）为复化中矩阵公式。应用公式（2.16）和（2.17）计算时只要计算被积函数在n个点处的值就可以了，可见递推算法减少了计算量。现在，我们来看一看为什么可以通过相邻两个近似积分值之差来控制计算过程，令则依（2.11）式可知将两式相除并注意当n充分大时，则得到（2.18）上式说明，若两个相邻的积分近似值与之差为允许误差，则与积分精确值之差大约是允许误差的三分之一，因此计算可以至此为止。误差之此种估计法称为后天估计（事后估计）。对Simpson公式也有类似的算法，于此不细说了。比较公式（2.9），（2.12）和（2.16），可以得到复化Simpson公式与梯形公式的如下关系：（2.19）§3.Romberg方法现在让我们比较一下复化梯形公式与复化Simpson公式。复化梯形公式仅对一次多项式精确成立，收敛速度是；而复化Simpson公式对所有次数不超过3的多项式精确成立，收敛速度是。所以一般来说Simpson公式要比梯形公式好。然而如果我们用逐次分半算法计算了则依（2.19）式顺便就可以算出复化Simpson公式的值同样，用和作适当的线性组合又可以得到更好的求积公式。这种用两个相邻的近似公式（其中一个公式是由另一个公式的分半得到的）的线性组合而得到更好的近似公式的方法，就是近代电子计算机上常用的Romberg求积公式，也叫逐次分半加速法。形如（2.19）的公式也叫逐次分半加速公式。公式（2.19）是有比较求积公式的系数得到的。下面想从另一个角度，即从近似求积余项的分析来引出这种加速公式的一般形式。令由复化梯形公式的余项可以看出，对所有次数不超过2的多项式精确成立。因此亦即对所有次数不超过2的多项式精确成立。事实上，它就是Simpson求积公式，它对所有的3次多项式也是精确成立的。同样由复化Simpson公式的求积误差表达式可以看出，对所有次数不超过4的多项是精确成立。因此亦即对所有次数不超过4的多项是精确成立。这就是复化Cotes公式。复化Cotes公式的余项为因此，实际上复化Cotes公式（3.1）对5次多项式也是精确成立的。当n=1时，记则有上式既是n=4时的Newton-Cotes公式，也称为Cotes公式。类似地，我们可以将复化Cotes公式加速，从而得到更好的求积公式。依此类推，可以得到一系列逐次分半加速公式。它可表列如下：区间等分数逐次分半加速公式代数精度n梯形公式（T公式）：12nSimpson公式（S公式）：34nCotes公式（C公式）：58nRomberg公式（R公式）：716nD公式：932nE公式：11在实际计算中，逐次分半加速法可按如下表格逐行进行计算。当表中对角线上出现两个顺序接连的数之差为允许误差时，即可停止运算。逐次分半加速表分半次数区间等分数T公式S公式C公式R公式D公式E公式i=0123续表分半次数区间等分数T公式S公式C公式R公式D公式E公式45例计算定积分并使误差不超过0.0001。解（1）在区间上用梯形公式得（2）将二等分（3）四等分将8等分由于故计算可以停止。所得积分近似值为0。69315。§4.Euler-Maclaurin公式为介绍Euler-Maclaurin公式，须先讲述Bernoulli数。Bernoulli数由下述母函数生成：亦即（4.1）而为写出前几个Bernoulli数，注意到即所以比较t的同次幂系数，可知其它的Bernoulli数为它们之间有如下递推关系式（4.2）Bernoulli多项式由下述母函数生成：（4.3）Bernoulli多项式和Bernoulli数的关系为前几个Bernoulli多项式为按的定义，可知从而（4.4）在（4.3）式两边对x求导数，可知因此（4.5）以1-x代替（4.3）中的x。得到按的定义，有从而（4.6）由此可知，当j为奇数时，（4.6）表明，此时在[0，1]上以点中心对称；当j为偶数时，（4.6）表明，此时在[0，1]上以直线对称。若于（4.6）中取x=0，则可得到从而有现在定义以1为周期的函数定理（Euler-Maclaurin公式）设若则下述Euler-Maclaurin公式成立：(4.7)证明应用Bernoulli多项式的性质，（4.8）其中求和号下的最后一项，可化为将之代入（4.8），并整理后得到上式右端的积分项可化为证毕。还有第二Euler-Maclaurin求积公式。对于它来说，相应和式是对一批“半点”上的函数值求的和。（4.9）其实（4.9）完全可以从原来的Euler-Maclaurin公式，同取步长为的Euler-Maclaurin公式两者组合起来而得到（留作习题）。Euler-Maclaurin公式（4.7）和(4.9)，既可作为求和公式，又可作为求积公式。该公式、及其多元推广，已被应用于各类求积和求和的问题中。即使近年以来，也仍有学者从事这方面的理论与应用研究。§5.Gauss型求积公式本节讨论当求积公式的结点（又称计值点）个数n确定后，求积公式的代数精确度最高能是多少，并给出这类具有最高代数精度的求积公式的一般理论。如前所知，只要n点求积公式的代数精度不少于n-1，则它一定是插值型的求积公式。因此具有最高代数精度的求积公式必然是插值型求积公式。设（5.1）为以为结点的插值型求积公式。人们可以断言，上述求积公式对于2n次代数多项式必不能精确成立。事实上，对任意选定的求积系数必有另一方面，显然有所以（5.1）的最高代数精度必不能超过2n-1。人们要问：是否存在具有2n-1次代数精度的求积公式？如果存在的话，它的求积结点应该有什么特征呢？以下定理给上述问题一个肯定的回答。定理2插值型求积公式（5.1）具有2n-1次代数精度，必须且只须插值结点是[a,b]上以为权的n次直交多项式的零点。证明设（5.1）具有2n-1次代数精度。记对任意给定的多项式，因（5.1）的代数精度为2n-1，所以亦即与关于权直交。反之，若与任何次数的多项式关于直交。任意给定，恒可表为其中与均属于。且即求积公式（5.1）具有2n-1次代数精度。证毕。具有最高代数精度2n-1的插值型求积公式，称为Gauss型求积公式。由定理2，构造Gauss型求积公式的关键问题是：给定了与n，究竟应如何来作多项式，使与任意次数的多项式关于恒直交，其中由直交多项式理论，多项式可表示成定理3设（5.1）为Gauss型内插求积公式，则其求积系数皆为正，且有一个与（1.6）等价的表达式：（5.2）证明显然，多项式的次数是不超过2n-2的，并且容易看出由于Gauss公式对其精确成立，故得因为所以最后将的多项式代入，便得到公式（5.2）。定理4若在[a,b]内2n次连续可微，则Gauss型公式（5.1）的余项表达式为其中证明根据Hermite插值公式可以作出一个次数的多项式使得，并且此处在上式两端乘以后再积分，则得（5.3）既然是次数的多项式，故（5.3）右端的第一项为注意非负，因此（5.3）式右端的余项可利用积分中值定理改写成这样便证明了定理4。现在，我们考虑Gauss型求积公式的收敛性问题。定理5设[a,b]为一有限区间，并有Gauss型求积公式序列（5.4）若在[a,b]上连续，则此公式序列收敛于积分的真值。证明只需证，对于给定的存在N，使得当n>N时有定义和依Weierstrass定理，对给定的，有N使得若n>N，则和式（5.4）中的n点公式对是精确的。从而当n>N时有Gauss型求积公式序列的收敛性比定理5的结论还要好。可以证明，这一求积公式序列当积分存在时就收敛于积分的真值。§6.Gauss公式和Mehler公式Gauss公式和Mehler公式都是一般的Gauss型公式的特别情形，因为它们很有用，所以值得专门来介绍一下。古典的Gauss公式为（6.1）因此这是一般的Gauss型公式中令所得的特别情形。根据一般理论，我们知道公式中的结点仍是n次多项式的零点；而这个必须与一切不超过n-1次的多项式直交，亦即有虽然这样的总可以通过矩量作成的行列式表示出来，但是这样做毕竟是麻烦的。事实上，人们早已发现著名的Legendre多项式恰好具有上述所要求的直交性。由于也是n次多项式，因此它与我们需要的顶多差一个常数因子。容易看出因此所需要的（即最高次项的系数是1的多项式）可以表成这样，我们不仅解决了Gauss公式的结点问题，而且也可以利用所得到的去解决求积系数的问题和求积公式的余项问题。显然（6.2）但是用这个公式来计算还是不甚方便，事实上我们可以得到更简便的系数公式。试考虑积分（6.3）注意到被积函数为2n-2次多项式，故由Gauss公式知（6.4）另一方面，如令则将（6.3）的右端进行分部积分，可知有（6.5）注意上式右端第二项内的被积函数又是2n-2次多项式，它应该精确地等于Gauss公式的求积和。又因故（6.5）式右端的积分等于零。注意到P（1）=1，容易求出第一项的值为==+=因此依（6.4）式，便得到了的系数公式：=.(6.6)这样，我们已完全解决了Gauss公式的构造问题。在验证(x)的直交性时，我们曾用分部积分法处理了积分I=就Q(x)而言，则由同样的计算手续可得=(6.7)于是根据Gauss型求积公式余项的普遍公式，我们便可算出公式（6.1）的余项为E[f]=ω(x)dx,（6.8）其中-1。于此，我们用到了（6.7）式和ω(x)=下面我们再来简要的指出Mehler求积公式的结构形式。所谓Mehler公式就是如下的特别情形：ρ(x)=[a,b]=[-1,1].对这种情形，具备直交性条件的多项式ω(x)恰好就是著名的Tchebyshev多项式的n个零点便是Mehler公式的结点。再根据求积系数的一般公式，将ω(x)代入并作变数代换x=cos,则可得出所需要的系数为（6.9）上式中的三角函数（实际是n-1次三角多项式）的积分值恰好等于的事实，读者可作为一个习题来论证。综上所述，可知Mehler公式的形式是，（6.10）其中诸恰好是(x)=0的一切根。公式（6.10）的最大优点是求积系数都相同。这在应用时可以减少n-1次乘法运算。最后，我们不加证明地指出（6.10）的一个余项估计式E[f]=(-1).(6.11)这里当然应先假定在[-1，1]上存在并连续。例试用Gauss公式计算定积分I=显然，如作变数替换x=,则上述积分的积分区间便变为[-1，1]，因而便可直接应用公式（6.1）。自然也可以直接利用与公式（6.1）完全等价而积分区间是[0，1]的那个Gauss公式：（6.12）此处与同公式（6.1）中的与之间的关系是=，=（+1）.在Kleirov的《近似计算方法讲义》一书中曾给出关于n=1,2,,8的诸与之值。例如现在假定我们是利用4个结点的公式（6.12）来计算积分I，则由查表可知k10.0694320.17392720.3300090.32607330.6699910.32607340.9305680.173927在这里我们还看出求积系数的分布是对称的，并且+（亦即结点位置对[0，1]的中点亦是对称的）。这个事实对一般的n也都成立。既然有了与的具体数值，那么代入公式（6.12）的右端便立即得到所需的积分值：I0.402184.同样，如果利用3个结点的公式来计算，则所得的数值是0.402114.这与上面所得的结果相比较，有4位小数是相同的。所以可取0.4021.§7.三角精度与周期函数的求积公式在实际应用问题中有时遇到周期函数的定积分，因此有必要讨论这种积分的近似求积法。假定要计算的积分是，其中是的以为周期的连续函数，即。我们希望建立带有个结点的求积公式：（7.1）根据Weierstrass的第二逼近定理，用三角多项式可以一致地逼近周期连续函数。因此自然又使我们想到用形如上述的次三角多项式的次数来规定求积公式（7.1）的精度。如果公式（7.1）对任意次三角多项式都精确成立，而对+1次三角多项式不恒成立，此时便称（7.1）的三角精度为。现在我们来证明无论怎样选取和都不能使公式（7.1）的三角精度提高到。让我们考虑次三角多项式，（7.2）其中为（7.1）右端求积和中的结点。由三角函数的和积互化公式可知几个三角多项式的乘积仍是三角多项式，而次数等于连乘的多项式的次数之和。因此（7.2）显然是次三角多项式，假如设想（7.1）的三角精度，则自然就会有但上式的左端>0，这个矛盾便证明了（7.1）的三角精度无论如何不能超过-1。进一步还可以证明（7.1）确实可以达到最高可能的精度-1。这只须取等距结点和相等的系数即可办到。在[0，]中任取步长为的等距结点 （又假定一切系数为常数（，在公式（7.1）中令则.因此可知从而，公式（7.1）此时即变成如下特殊形式：（7.3）易验证求积公式（7.3）确实具有三角精度-1，为此只须取来验证就可以了，自然同样地取（来验算一下亦就够了。当然是无需验证的。以下可假定此时，我们有另一方面，求积和也等于0，原因是.这就证明了关于精度所作的断言。显然，如果被积函数的周期为，则只须作一变数代换即可将公式（7.3）变形为（7.4）其中例试计算椭圆积分.注意被积函数为偶函数，且周期为，因此.我们可以对来利用公式（7.1）。取即关于为对称的结点于是由（7.4）式便得到（注意如果使用6位小数去计算，则得075.和积分的精确值1.854075相比较，其误差为6.8.§8.奇异积分的计算在许多应用问题遇到的反常积分的计算问题，常可借助于变量替换或分部积分法，使之变成通常的积分来计算。例1计算.解上述积分可拆成两部分：.采用变量替换，则右端第二个积分变为所以.再采用分部积分法，得到右端的积分已是通常的定积分，因而可用一般的数值积分公式来计算了。对于一个积分来讲，如果它的被积函数在积分区间上处处连续，而它的某些阶导数在区间内的某点不是有界的。此时虽然人们仍可用数值积分公式来计算它，但因余项的界已无法控制，以致这类数值积分公式无效。这表明如果被积函数的导数存在奇点，则会导致数值积分公式无效。以下介绍Konotorovich奇点分离法，它是专门为解决以上问题的一类方法。其基本思想乃是作出与被积函数有同样特点的可积分成有限形式的初等函数。如从被积函数减去这个辅助函数，便得到与其导数同为连续的函数。作为辅助函数，常取Toylor级数的部分和。这样求积公式则可应用于被积函数与辅助函数之差上。设所欲求的积分为其中且于的某个邻域内有一直到阶的连续导数。利用恒等式将被积函数分解为其中，.所以，此处的已是正常的积分，因而可以数值积分。有一直到阶的导数存在，事实上有其中诸为与之间的数。所以可用含有的余项之数值积分公式来计算。计算.解利用恒等式.上面右端第一个积分可直接算出1.733333，而第二个积分经化简后，为，利用3点Gauss积分公式可求得它的值-0.162601。最后求得 1.57073.顺便指出，今年来国内、外学者们更经常采用样条方法来构作数值积分方法.特别地，拟插值样条算子常被应用于各种奇异积分，其中包括Cauchy主值积分和有限部分积分的数值积分，它们在奇异积分方程，特别在边界元方法中有着重要的应用。§9.高维求积公式设是维欧式空间中的区域。记.本节讨论如下形式的求积公式，（9.1）其中是权函数，它在上非负；诸称为求积结点；诸是不依赖于的常数，称为求积系数。求积公式（9.1）的误差为.有时（9.1）式也被写成（9.2）如果对任意的单项式求积公式（9.1）精确成立，并且至少有一个次的单项式，使得（9.1）不精确成立，则称求积公式（9.1）具有次代数精度。简称它为次求积公式。由于篇幅所限，我们不能展开来讨论高维求积公式的所有理论和方法。本节只介绍平面区域上的Radon七点5次求积公式。设为平面上的任意有界区域，权函数，我们将证明，能够构造上的七点5次求积公式。为此，需要寻求上的三个线性无关的3次直交多项式，他们有七个互异的公共零点。如果这样的多项式已经找到了，则可证明以这七个公共零点为求积结点的求积公式就有5次代数精度。先描述七点5次求积公式的特征。令和表示真正次的2元多项式，而表示次数的2元多项式，即.按第四章中关于多元直交多项式的理论，上3次直交多项式有四个基底。设这些基底多项式为（9.3）其中引进三个常数，，（9.4）.以下恒假定区域使不全为0，即.（9.5）为构造平面区域上的5次求积公式，至少需要多少个求积结点？下面的定理回答了这问题。定理6（Meisovskih）设满足（9.5）.为了构造上的一个5次求积公式，求积结点的个数不能少于7。证明采用反正法。假若不然，设求积公式（9.6）具有5次代数精度。可以断言，结点不能同时落在一条2次曲线上。事实上，如果落在2次曲线上，则作为，必使（9.6）精确成立。但这是不可能的，因为对于来说，（9.6）的左端大于0，而右端为0.通过求积公式（9.6）的六个求积结点中的任意五点（假定不包括点）作一条2次代数曲线则。因假定（9.6）具有5次代数精度，特别地对于应是精确的.即.所以对于上的任意3次直交多项式，显然（9.6）对于5次多项式是精确成立的，即可是，按的直交性，上式左端为0，再由的事实，必可推知这表明（9.6）的求积结点，是任意3次直交多项式的零点.当然也是由（9.3）给出的3次直交多项式的四个基底的零点。以下证明和皆为0。事实上，因且（9.6）为5次求积公式，所以它对最后的积分精确成立，即.（9.7）又因按（9.3）给出的四个3次直交多项式均以求积结点为零点，所以.由（9.7）可知.同理可证得，这与相矛盾.定理得证.定理7若七点求积公式（9.8）具有5次代数精确度，则有三个3次多项式（9.9）存在，满足下列条件（ⅰ）多项式组（9.9）线性无关，且其中任一多项式均与中的任意多项式直交；（ⅱ）（9.8）中的七个求积结点是（9.9）中的三个多项式的公共零点；（ⅲ）以（9.8）中七个求积结点为零点的任意3次多项式，必是（9.9）中三个多项式的线性组合；（ⅳ）存在三个1次多项式（其中至少有两个1次多项式不恒为零），使得.（9.10）本定理的完全证明比较冗长，此处从略。下面讨论七点5次求积公式的构造方法。首先介绍如何构造三个线性无关的直交多项式使得（9.11）其中如定理7中所述.其次将指出有七个公共零点，且若这些公共零点互异，则它们可用作5次求积公式（9.8）的求积结点.定理8如果（9.4）中的不全为0，则可找到三个线性无关的直交多项式，它们满足（9.11），其中为1次函数，且至少有两个不恒为0.证明先证明可以找到3次直交多项式，使得.（9.12）因为任意3次直交多项式与均能以3次直交多项式的基底线性表示，即，.按（9.12）式，应是3次多项式，即它的4次项为0.所以.所以，.（9.13）以下确定和，以使为一3次直交多项式.因为，为3次直交多项式，所以与中的所有多项式直交，故我们只须选择和使得与和都直交就可以了，由此推出.（9.14）若不全为0，则上述齐方程组的系数距阵秩数为2.所以（9.14）解空间维数为1.即除差一常数因子外，（9.14）有唯一的一组非零解，因而与线性无关.分两种情形来讨论：（a）与线性无关；（b）是的线性组合：（9.15）对于情形（a）:我们找到了三个线性无关的多项式，它们满足（9.12）（是（9.11）型的恒等式）.对于情形(b):按（9.12）和（9.15），可得.（9.16）经变换，（9.16）成为，（9.17）其中为简便计，仍采用了原来的符号表示自变量与直交多项式.因此，对于情形（b）,我们找到了两个线性无关的直交多项式.若将取为任意的与线性无关的3次直交多项式，并取.则仍可把（9.17）式看成（9.11）型的恒等式.现在研究.对于情形（b），（9.17）式成立，所以由整除性知，（9.18）其中.不难指出，与在原点取值为0的3次多项式都直交.事实上，由对所作的假定，.根据（9.18），以及与的直交性，.由上述结论，还可推知.因为否则将会与自己直交，从而.但由，将推出，这显然是错误的.以下证明对情形（b）,所有的3次直交多项式在原点的值为0.设为任意的3次直交多项式，则为在原点取值为0的3次多项式.因而.但是直交多项式，是故.又因.所以若将可推出与自己直交，而这在前面已指出是不可能的，因此有.设是任意与和线性无关的3次直交多项式.由（9.18），，其中.可从中减去与的线性组合，以使中不含的一次项.显然与有相同的公共零点.综上可知，可取成不含和的一次项的任意3次直交多项式.这样的多项式不可能是与的线性组合.记.因不含和的一次项，这相当于对添了两个约束条件.所以有的两个参数族，它们与，线性无关.从而对于情形（b），不是唯一的.证毕.定理9若，和满足关系式，（9.19）其中则（除差一常数倍外）这些关系或与（9.12）重合（对于情形（a）），或与（9.17）重合（对于情形（b））.证明只证情形（a）时的结论，对于情形（b）的证明是类似的.方程（9.19）可写成但满足（9.12）的是唯一的，所以，，，其中。由于线性无关，所以证毕.定理10多项式和无公共因子.证明首先证明无2次的公共因子.假若不然，设有2次的公共因子，即有，其中.因线性无关，故有常数和存在，使得两边乘以，得到.这意味着矛盾.以下证明无1次公共因子.先看情形（a）.假定，其中线性无关.由（9.12），.即中的3次项不存在，因此由此得到两边乘以，得到由（9.12）的唯一性，应有从而但这是不可能的.再看情形（b）.假定，则.我们指出，此处因此.又因所以.故必有.从而.按（9.17）的唯一性，，矛盾.证毕.利用Bezout定理等，可证得定理11多项式和有七个公共零点.证明从略.设是和的七个公共零点.若它们互异，则可用以作为上的5次求积公式的求积结点.定理12的公共零点不能同时落在一条2次曲线上.证明假定同在2次曲线上.首先假定不可约.由Bezout定理，在情形（a）下，是诸的公共分支，这与定理11相矛盾.在情形（b）下，曲线与有6个公共交点.再由Bezout定理，应与重合.但故.这也是不可能的.假定则与两条直线中至少有一条含有中的四个点.由Bezout定理，该直线必为和的公共分支.此与定理11相矛盾.证毕.定理13若，且是它的零点，则存在，满足.（9.20）证明因不在同一条2次曲线上，所以可以找到另外14个点，使得不在一条5次曲线上.（9.20）式两端的5次多项式，均以为零点.为使（9.20）成立，只须其两端的5次多项式在处相等即可.这导致一个18个未知数（的系数），14个方程的线性方程组.为讨论此方程组的可解性，考虑相应的齐方程组.即寻求，使得.