河南省周口市郸城一高2025年高二数学第一学期期末质量检测试题含解析

河南省周口市郸城一高2025年高二数学第一学期期末质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若是双曲线的左右焦点，是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.2．已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为2，则双曲线的方程为（）A B.C. D.3．已知椭圆与双曲线有相同的焦点,则的值为A. B.C. D.4．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（）A. B.C. D.5．在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹记为C，则曲线C的离心率为（）A. B.C. D.6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满，则动点P轨迹与圆的位置关系是（）A.相交 B.相离C.内切 D.外切7．为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入为（）（取，）A.24000元 B.26000元C.30000元 D.32000元8．若，，且，则（）A. B.C. D.9．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（）A.14 B.16C.18 D.2010．若（为虚数单位），则复数在复平面内的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限11．已知双曲线的两个焦点为，，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（）A. B.C. D.12．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（）A. B.C D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，，都为正实数，，且，，成等比数列，则的最小值为______14．已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________.15．机动车驾驶考试是为了获得机动车驾驶证的考试，采用全国统一的考试科目内容及合格标准，包括科目一理论考试、科目二场地驾驶技能考试、科目三道路驾驶技能考试和科目四安全文明常识考试共四项考试，考生应依次参加四项考试，前一项考试合格后才能报名参加后一项考试，考试不合格则需另行交费预约再次补考．据公安部门通报，佛山市四项考试的合格率依次为，，，，且各项考试是否通过互不影响，则一位佛山公民通过驾考四项考试至多需要补考一次的概率为______16．若经过点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）讨论的单调区间；（2）求在上的最大值.18．（12分）已知函数在时有极值0.（1）求函数的解析式；（2）记，若函数有三个零点，求实数的取值范围.19．（12分）长方体中，，点分别在上，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值.20．（12分）已知椭圆的焦距为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为1的直线与椭圆交于不同的两点，，求的最大值.21．（12分）年月初，浙江杭州、宁波、绍兴三地相继爆发新冠肺炎疫情．疫情期间口罩需求量大增，某医疗器械公司开始生产口罩，并且对所生产口罩的质量按指标测试分数进行划分，其中分数不小于的为合格品，否则为不合格品，现随机抽取件口罩进行检测，其结果如表：测试分数数量（1）根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率；（2）若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取件，再从这件口罩中随机抽取件，求这件口罩全是合格品的概率22．（10分）已知一张纸上画有半径为4的圆O，在圆O内有一个定点A，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C.（1）求曲线C的焦点在轴上的标准方程；（2）过曲线C的右焦点（左焦点为）的直线l与曲线C交于不同的两点M，N，记的面积为S，试求S的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据已知条件，找出，的齐次关系式即可得到双曲线的离心率.【详解】由题意得，，，在中，，因，故，在，由余弦定理得，即，计算得，故.故选：D.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)2、B【解析】根据双曲线的一条渐近线方程为，可得，再结合焦距为2和，求得，即可得解.【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，即，又因焦距为2，即，即，因为，所以，所以，所以双曲线的方程为.故选：B.3、C【解析】根据题意可知，结合的条件，可知，故选C考点：椭圆和双曲线性质4、A【解析】设，计算出重心坐标后代入欧拉方程，再求出外心坐标，根据外心的性质列出关于的方程，最后联立解方程即可.【详解】设，由重心坐标公式得，三角形的重心为，，代入欧拉线方程得：，整理得：①的中点为，，的中垂线方程为，即联立，解得的外心为则，整理得：②联立①②得：，或，当，时，重合，舍去顶点的坐标是故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是求出外心，二是根据外心的性质列方程.5、B【解析】设，，则由题意可得，代入圆方程中化简可得曲线C的方程，从而可求出离心率【详解】设，，则，得，所以，因为点在圆上，所以，即，所以点的轨迹方程为，所以，则所以离心率为，故选：B6、A【解析】首先求得点的轨迹，再利用圆心距与半径的关系，即可判断两圆的位置关系.【详解】由条件可知，，化简为：，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，圆是以为圆心，为半径的圆，两圆圆心间的距离，所以两圆相交.故选：A7、D【解析】设，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为，由题意得出的递推关系，变形构造出等比数列，由得其通项公式后可得结论【详解】设，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为，，、同理可得，所以，而，所以数列是等比数列，公比为，所以，，总利润为故选：D【点睛】思路点睛：本题考查数列的实际应用．解题方法是用数列表示月初进货款，得出递推关系，然后构造等比数列求解8、A【解析】由于对数函数的存在，故需要对进行放缩，结合（需证明），可放缩为，利用等号成立可求出，进而得解.【详解】令，，故在上单调递减，在上单调递增，，故，即，当且仅当，等号成立．所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，即，所以，又，所以，，故故选：A9、B【解析】由题可知这是一个等差数列，前项和，，列式求基本量即可.【详解】设每人所出钱数成等差数列，公差为，前项和为，则由题可得，解得，所以不更出的钱数为.故选：B10、A【解析】根据复数运算法则求出z＝a＋bi形式，根据复数的几何意义即可求解.【详解】，z对应的点在第一象限.故选：A11、A【解析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求【详解】，即，则．即，则该双曲线的方程是：故选：A【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的方程，常用待定系数法，先定式（根据已知确定焦点所在的坐标轴，设出曲线的方程），再定式（根据已知建立方程组解方程组得解）.12、A【解析】由椭圆的定义可得；利用基本不等式，若，则，当且仅当时取等号.【详解】根据椭圆的定义可知，，即，因为，，所以，当且仅当，时等号成立.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】利用等比中项及条件可得，进而可得，再利用基本不等式即得.【详解】∵，，都为正实数，，，成等比数列，∴，又，∴，即，∴，∴，当且仅当，即取等号.故答案为：.14、3【解析】利用抛物线的定义，再结合图形即求.【详解】由题可得抛物线的准线为，设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，∴要求取得最小值，即求取得最小，当三点共线时最小，为.故答案为：3.15、【解析】至多需要补考一次，分5种情况分别计算后再求和即可.【详解】不需要补考就通过的概率为；仅补考科目一就通过的概率为；仅补考科目二就通过的概率为；仅补考科目三就通过的概率为；仅补考科目三就通过的概率为，一位佛山公民通过驾考四项考试至多需要补考一次的概率为.故答案为：16、【解析】由题意写出直线的方程与抛物线方程联立，得出韦达定理，由弦长公式可得答案.【详解】设，则直线的方程为由，得所以所以故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）①，在上单减；②，在上单增，单减；（2）.【解析】（1），根据函数定义域，分，，讨论求解；（2）根据（1）知：分，，，讨论求解.【小问1详解】解：(1)定义域，①时，成立，所以在上递减；②时，当时，，当时，，所以在上单增，单减；【小问2详解】由（1）知：时，在单减，所以；时，在单减，所以；时，在上单增，上递减，所以；时，在单增，所以；综上：.18、（1）（2）【解析】（1）求出函数的导函数，由在时有极值0,则，两式联立可求常数a，b的值，从而得解析式；（2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数的取值范围.【小问1详解】由可得，因为在时有极值0，所以，即，解得或，当时，，函数在R上单调递增，不满足在时有极值，故舍去.所以常数a，b的值分别为.所以.【小问2详解】由（1）可知，，令，解得，当或时，当时，，的递增区间是和，单调递减区间为，当有极大值，当有极小值，要使函数有三个零点，则须满足，解得.19、（1）证明见解析.（2）【解析】（1）根据线面垂直的性质和判定可得证；（2）以为坐标原点，分以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由面面角的空间向量求解方法可得答案.【小问1详解】证明：长方体中，平面，又平面，又平面，又平面同理可证，而平面，平面【小问2详解】解：以为坐标原点，分以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.从而，，，由（1）知，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，，则，从而，令，则，得平面的一个法向量为由图示得平面与平面所成的角为锐角，平面与平面所成的角的余弦值为20、（1）；（2）.【解析】（1）由题设可得且，结合椭圆参数关系求，即可得椭圆的方程；（2）设直线为，联立抛物线整理成一元二次方程的形式，由求m的范围，再应用韦达定理及弦长公式求关于m的表达式，根据二次函数性质求最值即可.小问1详解】由题设，且，故，，则，所以椭圆的方程为.【小问2详解】设直线为，联立椭圆并整理得：，所以，可得，且，，所以且，故当时，.21、（1）；（2）.【解析】（1）由题意知分数小于的产品为不合格品，故有件，一共有件口罩，即可求出口罩的不合格率.（2）先利用分层抽样确定抽取的件口罩中合格产品和不合格产品的数量分别为件和件，再利用古典概型把所有基本事件种都列举出来，在判断件口罩全是合格品的事件有种情况，即可得到答案.【小问1详解】在抽取的件产品中，不合格的口罩有（件）所以口罩为不合格品的频率为，根据频率可估计该公司所生产口罩的不合格率为【小问2详解】由题意所抽取件口罩中不合格的件，合格的件设件合格口罩记为，件不合格口罩记为而从件口罩中抽取件，共有共种情况，这件口罩全是合格品的事件有共种情况故件口罩全是合格品的概率为22、（1）；（2）﹒【解