直线与圆的位置关系2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章

直线和圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系

创设情境思考1：画面中能抽象出哪些基本的几何图形呢？

太阳圆海平线

直线

海上日出直线与圆的位置关系思考2：直线和圆的位置关系有几种？.o.O.A.A.Bll.Ol特点：直线和圆有两个公共点，叫直线和圆相交，这时的直线叫做圆的割线。特点：直线和圆有唯一的公共点，叫做直线和圆相切。这时的直线叫切线，公共点叫做切点特点：直线和圆没有公共点，叫做直线和圆相离。一、直线与圆的位置关系（用公共点的个数来区分）练习：看图判断直线l与⊙O的位置关系.O.O.O.Ollll相离相交相切相交？除了利用公共点的个数来判断直线与圆的位置关系，还有其它的方法吗？？想一想问题I：（用圆心O到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分）二、直线和圆的位置关系的性质和判定.Ol1、直线和圆相离d>rdr.Oldr.Oldr2、直线和圆相切d=r3、直线和圆相交d<r问题II:在平面直角坐标系中，我们用方程表示直线和圆，如何根据直线与圆的方程判断它们之间的位置关系？知识探究：如何判断直线与圆的位置关系

代数法：根据直线与圆的联立方程组的公共解个数判断；比较△与0的大小：△>0则相交△=0则相切△<0则相离第四步将直线方程与圆方程联立成方程组；第一步通过消元，得到一个一元二次方程；第二步求出其判别式△的值；第三步几何法:根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判断.第一步把直线方程化一般式，求出圆心坐标和半径第二步求出圆心到直线的距离第三步比较d与r的大小：d<r则相交d=r则相切d>r则相离理论应用第一步：联立方程第二步：消元得一元二次方程第三步：得到方程的解第四步：得到直线与圆的位置关系代数法例1已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求直线l被圆所截得的弦长．

理论应用例1已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求直线l被圆所截得的弦长．

第一步：求出圆心和半径第二步：求出点到直线距离d,比较d与半径r的大小第四步：利用直角三角形得到弦长第三步：得到直线与圆的位置关系几何法∴两点间的距离

跟踪训练判断下列各组直线l与圆C的位置关系相交相切相离例2过点P(2，1)作圆x2＋y2＝1的切线，求此切线方程.追问1：过一点作圆的切线，能做出几条？过圆外一点可以作圆的两条切线.追问2：如何刻画直线与圆相切？公共点的个数；圆心到直线的距离.追问3：直线方程选择什么形式？点斜式；两点式.与圆有关的切线问题典例分析例2过点P(2，1)作圆x2＋y2＝1的切线，求此切线方程.设切线l的斜率为k,则切线l方程为因为直线与圆相切，所以方程组解：首先考虑斜率不存在的情况，此时直线与圆相离，因此切线l斜率存在.只有一组解.代数法所以,所求切线l的方程为或消元，得因为方程组只有一个解，所以①与圆有关的切线问题典例分析例2过点P(2，1)作圆x2＋y2＝1的切线，求此切线方程.因此,所求切线l的方程为y=1或4x-3y-5=0

解得几何法由圆心（0，0）到切线l的距离等于圆的半径1，得设切线l的斜率为k,则切线l方程为与圆有关的切线问题典例分析

d=r（2）几何法：设切线的方程为：y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径，构造方程即可求得k，切线斜率即可求出。（1）代数法：设切线的方程为：y-y0=k(x-x0),代入圆方程得一个关于x的一元二次方程，由求得k.求过圆外一点的P（x0,y0）的切线方程：(应用代数法的时候，要注意对斜率是否存在进行讨论.若斜率不存在或斜率为0,则可以直接判定过定点的直线是否与圆相切,进而确定k的取值.)小结反思视频巩固课堂小结1、如何判断直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系？3、如何求圆的切线方程？请回忆本节课的内容，并回答下列问题：2、直线与圆相交时，如何求弦长？位置关系相交相切相离公共点个数

个

个

个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d＝__________________________代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ_______________1、如何判断直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系？210d<rd＝rd>rΔ>0Δ＝0Δ<0课堂小结课堂小结2、直线与圆相交时，如何求弦长？由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长利用勾股定理求得弦长课堂小结3、如何求圆的切线方程？①几何法：设切线的方程为：y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径，构造方程即可求得k，切线斜率即可求出。②代数法：设切线的方程为：y-y0=k(x-x0),代入圆方程得一个关于x的一元二次方