2021届山东省临沂市重点中学高三上学期1月金太阳联考数学试题（解析版）

试卷第=page22页，总=sectionpages44页2021届山东省临沂市重点中学高三上学期1月金太阳联考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】可求出集合，，然后进行交集并集的运算即可．【详解】，，．故选：C．2．已知双曲线有一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出渐近线方程，根据直线垂直斜率之间的关系列等式求解即可.【详解】由双曲线方程可知双曲线的渐近线方程为，则，即，又，所以故选：D．3．已知直线，则“”是“直线与圆相切”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据“直线与圆相切”求出，由，然后根据必要不充分条件的概念进行判断.【详解】因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，又因为圆心，半径为，所以，解得，又，所以“”是“直线与圆相切”的必要不充分条件.故选：B.4．若函数为偶函数，则（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】化简可得恒成立，从而可得.【详解】因为为偶函数，所以，可得，对任意实数恒成立对任意实数恒成立，而，上式变成对任意实数恒成立所以，故选：D．5．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．已知正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，正二十面体的体积公式为（其中为棱长），已知一个正二十面体各棱长之和为，则该正二十面体内切球的半径为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据题意得到，设正二十面体内切球的半径为，得到，再解方程即可.【详解】由题可知，正二十面体的棱长，设正二十面体内切球的半径为，正二十面体是由20个相同的正三棱锥构成，正三棱锥的高即为正二十面体内切球的半径，所以，解得．故选：B6．全球变暖已经是近在眼前的国际性问题，冰川融化、极端气候的出现、生物多样性减少等等都会给人类的生存环境带来巨大灾难．某大学计划以对于全球变暖及其后果的看法为内容制作一份调查报告，并安排，B，C，D，E五名同学到三个学院开展活动，每个学院至少安排一名同学，且，B两名同学安排在同一学院，C，D两名同学不安排在同一个学院，则不同的分配方法总数为（）A．86种 B．64种 C．42种 D．30种【答案】D【分析】依题意，分为5种情况讨论，分别求得不同方法数，得出结论.【详解】解：分五种情况：①若CE一组则有=6种；若DE一组则有=6种；若ABC一组则有=6种；若ABD组则有=6种；若ABE则有=6种；共有种.故选：D.7．已知，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数与对数的互换表示出，然后利用换底公式以及对数的运算法则求解即可．【详解】由题可得，即．原式．故选：．8．如图，已知抛物线，圆，过圆心的直线与抛物线和圆依次交于点，，，，则（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】首先根据题意得到直线过抛物线的焦点，设直线：，，，与抛物线联立得到，再利用抛物线的焦半径公式求解即可.【详解】由抛物线：，得焦点为.圆的标准方程为，所以圆心为，半径.设，，设直线：，将直线代入抛物线方程可得，即，，故.故选：B二、多选题9．2020年以来，网络直播行业迎来新的发展机遇，直播带货模式成为企业的“标配”．由中国互联网络信息中心（）第45次《中国互联网络发展状况统计报告》数据得到如图所示的统计图．2020年12月我国网络直播用户规模达亿，占整体手机网民的．根据以上信息，下列说法正确的是（）A．2018～2020年我国网络直播用户一直保持增长态势B．2020年我国手机网民未超过9亿C．2020年底我国网络直播用户规模较2018年底增长亿D．2016～2020年我国网络直播用户规模和使用率变化的趋势一致【答案】ACD【分析】利用题中给出的统计数表中的信息，对各个选项进行逐一的分析判断即可．【详解】对于A，因为2018年12月我国网络直播用户规模为3.97亿，2019年12月为4.33亿，2020年12月为5.69亿，所以说2018～2020年我国网络直播用户一直保持增长态势，故选项A正确；对于B，因为5.6÷0.62≈9.03＞9，所以2020年我国手机网民超过了9亿，故选项B错误；对于C，因为5.6﹣3.97＝1.63，所以2020年底我国网络直播用户规模较2018年底增长1.63亿，故选项C正确；对于D，因为2016～2020年我国网络直播用户规模先增后减再增，2016～2020年我国网络直播用户规模使用率也是先增后减先再增，所以2016～2020年我国网络直播用户规模和使用率变化的趋势一致，故选项D正确．故选：ACD．10．已知，，复数，，则（）A． B．C． D．在复平面内对应的点所在象限是第二象限【答案】ACD【分析】由题意得，即，由复数相等求出，然后逐个选项分析判断.【详解】因为复数，所以所以，即，所以A正确，B错误；，故C正确；在复平面内对应的点为，所在象限是第二象限，故D正确.故选：ACD.11．已知，，，，则（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用基本不等式逐一判断即可.【详解】，，，，A，，所以，当且仅当时取等号，故A正确；B，，，，所以，由，即，当且仅当时取等号，故B错误；C，当时，，故C错误；D，.当且仅当时取等号，故D正确.故选：AD12．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，则的值可能为（）A．1 B． C． D．【答案】BC【分析】化简方程，令，得到．构造函数，则，利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于的方程三个不相等的实数解，，，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，结合韦达定理，推出所求表达式的关系式，然后求解即可．【详解】由方程，可得．令，则有，即．令函数，则，所以在上单调递增，在上单调递减．作出图象如图所示，要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，且，，，．所以，，解得．故．因为，所以BC都符合题意，故选：BC【点睛】本题主要考查导数的应用，解答本题的关键是判断出函数的单调性，结合图象将,示为关于m的函数，求出函数的范围.三、填空题13．已知非零向量，的夹角为，，则______．【答案】【分析】将平方以及向量数量积即可求解.【详解】因为，即，解得.故答案为：14．各项均为正数的等差数列的前项和为，若，则的最小值为______．【答案】【分析】利用等差数列的前项和公式以及等差数列的性质可得，再由基本不等式即可求解.【详解】因为数列是等差数列，，所以，即.故，当且仅当时，取得最小值.故答案为：15．已知函数，若函数在上没有零点，则的取值范围是______．【答案】【分析】由题意可得，结合余弦函数的性质可得，解不等式即可求解.【详解】由函数在上没有零点，且则，解得，，结合函数的图象，可得，解得．当时，又，所以的取值范围是．故答案为：16．如图，已知正方体外接球的球心到平面的距离为，点为棱上的一个动点，则的最小值为______．【答案】【分析】首先根据正方体外接球的性质得到，根据要求的最小值，只需把平面沿旋转到平面在一个平面内，从而得到的长度即的最小值，即可得到答案.【详解】如图所示：因为为正方体的外接球的直径，三点在球面上，所以平面．设正方体的棱长为，到平面的距离为，，由，得，所以．因为球心到平面的距离为，解得.又点在棱上一个动点，要求的最小值，只需把平面沿旋转到平面在一个平面内，如图所示，连接，则的长度即的最小值．因此，．故答案为：四、解答题17．在①，数列是首项为3的等比数列，②，③数列与均为等差数列，且，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设各项均为正数的数列的前项和为，，______，求，的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析【分析】选①：设出公比，数列是首项为3的等比数列求出公比，代入利用对应相等求得，的值；选②：利用求得，代入利用对应相等求得，的值；选③：先利用数列为等比数列结合求出的值，利用为等差数列排除一个即可求得结果.【详解】解：选①：，设数列是首项为3，公比为Q的等比数列，则得，得，得故，即解得或(与各项均为正数不符，舍去)故即代入得∴解得；选②：则当时，，相减得，当时，合适，代入代入得∴解得；选③：数列与均为等差数列，且，所以，故公差为，即，解得或，当时，，当时，，因为为等差数列，故符合题意，此时，所以.18．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，，点是的中点．（1）证明：平面．（2）已知点是边上靠近点的三等分点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）证得与，即可证得平面；（2）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求二面角的公式可以直接求得结果.【详解】（1）证明：∵底面是正方形，∴.又∵平面平面，平面平面，且平面，∴平面.∵平面，∴.由已知，点是的中点，∴，又∵，∴平面.（2）易知，，两两垂直.分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则，，，，，，∴，.设平面的一个法向量为，∵得取，则，，∴.连接，∵，，，∴平面，即平面的一个法向量为.设平面与平面所成锐二面角为，∴，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.19．“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示，已知区间，，，上的频率依次成等差数列．（1）分别求出区间，，上的频率；（2）现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为生态文明建设知识宣讲员，用表示抽到作为宣讲员的年龄在的人数，表示抽到作为宣讲员的年龄在的人数，设随机变量，求的分布列与数学期望．【答案】（1）0.1，0.2，0.3；（2）分布列见解析；．【分析】（1）通过所给的频率，求出其余频率之和，借助前三个频率成等差数列可分别求出对应的频率；（2）分别求出当时，，当，或，时，，当，，，找到的所有可能取值后，借助排列组合知识求解即可．【详解】（1），，上的频率之和为，且前三个频率成等差数列（设公差为），故上的频率为，从而，解得.故区间，，上的频率分别为0.1，0.2，0.3.（2）由题意知组抽取3人，组抽取4人，当时，，当，或，时，，当，，，所以的所有取值为0，2，4，所以，，，所求分布列为024所以.20．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且．（1）求；（2）已知为上一点，满足，，求的面积．【答案】（1）；（2）【分析】（1）首先利用角化边公式得到，从而得到，即可得到答案.（2）首先根据题意得到，从而得到，再结合（1）即可得到答案.【详解】（1）由，得，所以，又，所以，则，即．（2）在中，，可得，又，可得，，所以的面积为．21．已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过，两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，点与点关于轴对称，证明直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明见详解，定点【分析】（1）设椭圆的方程为（，），将点，代入即可求解.（2）设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立消去，设，，则，并求出两根之和与两根之积，写出直线的方程即可求解.【详解】解：（1）依题意，设椭圆的方程为（，）．∵椭圆过点，两点，∴解得∴椭圆的标准方程为．（2）由题意知直线的方程为，代入，得，设，，则，．∵点与关于轴对称，∴，∴直线的方程为．令，得，∴直线过定点．22．已知函数．（1）求的单调性；（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）函数在上单调递增；（2）.【分析】（1）求导判断函数单调性；（2）分类讨论：当时，由不等式的性质可以直接判断；当时，构造函数，令其最小值大于等于0即可求解.【详解】解：（1）由题意，，．令，则，所以在上单调递减，在上单调递增