2025-2026学年高二数学上学期第三次月考数学卷（人教A版）（全解全析）

1/132025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷数学•全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．考试范围：人教A版2019（选修1到选修2数列）第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，因为点到的距离为，则，得到，故选：A.2．已知向量，，且与垂直，则k的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【详解】因，，则，因与垂直，则，得.故选：C3．在等差数列中，已知，，则的公差为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【详解】由，可得，所以，所以，所以，又，所以，所以，解得.故选：A.4．在数列中，若，则（

）A．17 B．23 C．25 D．41【答案】D【详解】，故.故选：D5．已知直线l1：x+y+C＝0与直线l2：Ax+By+C＝0交于（1，1），则原点到直线l2距离的最大值为（）A．2 B．2 C．22 【答案】B【详解】：将（1，1）代入直线l1的方程可得1+1+C＝0，解得C＝﹣2，所以l2的方程为：A+B﹣2＝0，可得A＝2﹣B，原点到直线l2的距离d=|−2|当B＝1时，dmax=2故选：B．6．已知函数，且时，都有恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】时，都有恒成立.不妨设，则.设函数，则且，即，则函数在上单调递减.（1）当时，在上单调递减，符合题意.（2）当时，函数在上单调递增，不合题意舍去.（3）当时，若使函数在上单调递减，只需，.综上所述，.故选：D7．已知由椭圆与椭圆的交点连线可构成矩形（点，在轴下方），且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据对称性及可得直线的方程为，由，可得，则，所以，当且仅当即时等号成立.故选：D8．已知、为圆不同两点，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为、在圆上，所以，，，且，因为，则，因为，则是边长为的等边三角形，

表示、到直线的距离之和，原点到直线的距离为，如图所示：，，是的中点，作于，且，，，故在圆上，.故的最小值为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知两个平面相互垂直，则下列命题正确的是（

）A．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线B．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线C．一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面D．过一个平面内任意一点在此平面内作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面【答案】BD【详解】对于A：当一个平面内的一条直线平行于两个平面的交线时不满足条件，故A错误；对于B：两个平面垂直则一个平面内的一条直线必垂直于另外一个平面内的无数条直线，故B正确；对于C：在其中一个平面内可以找到一条直线平行于另一个平面，如与交线平行的直线即可，故C错误；对于D：过一个平面内任意一点在此平面内作交线的垂线，由面面垂直的性质定理可知，此垂线必垂直于另一个平面，故D正确.故选：BD.10．下列结论正确的是（

）A．，，若，则或B．是直线的一个方向向量C．直线与直线之间的距离是D．与点的距离为1，且与点的距离为4的直线共有3条【答案】BD【详解】A：若，显然，则，可得，故A错误；B：的斜率为，显然是直线的一个方向向量，故B正确；C：由即，与的距离为，故C错误；D：由，以为圆心，半径分别为的两个圆外切，所以，只需判断两圆公切线的条数即可，显然一共有3条，故D正确.故选：BD11．抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B，以下说法正确的有（

）A．以为直径的圆与y轴相切B．以为直径的圆与抛物线的准线相离C．若点D为抛物线准线与x轴交点，则一定有D．过线段的中点M作y轴的垂线，交抛物线于点P，交抛物线的准线于点N，则【答案】ACD【详解】对于A，设点在轴上的投影为，在准线上的投影为，为坐标原点，，则，，因为以为直径的圆的半径为，的中点到轴的距离为，故以为直径的圆与轴相切，故A正确；对于B，设点在准线上的投影为，，则，所以线段的中点到准线的距离为，所以以线段AB为直径的圆与准线l相切，故B错误；对于C，点为抛物线准线与轴交点，所以，若直线的斜率为，则直线与抛物线有且只有一个交点，矛盾，故可设直线方程为，联立，消去，得，方程的判别式所以，，，所以，故C正确；对于D，设线段的中点，由C选项的解析可得，，所以，，，所以，故D正确；故选：ACD.

第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为．【答案】【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，显然，因此圆相交，所以两圆公共弦所在直线的方程为，即.故答案为：13．人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，设是平面内的任意一点，若平面经过点，且以为法向量，则由，可得，此即为平面的点法式方程．利用上面给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为．【答案】【详解】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为，直线的方向向量为，设直线与平面所成角为，则.故答案为：14．已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为：.【答案】【详解】因为函数是上奇函数，所以，所以，，两式相加得：，即.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知圆的圆心在直线上．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求圆C的方程；（Ⅱ）当a=0时，问在y轴上是否存在两点A，B，使得对于圆C上的任意一点P，都有，若有，试求出点A，B的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ），或;（Ⅱ）存在两点A（0，﹣2）、B（0，0），或A（0，4）、B（0，2）.【详解】（I）∵圆的圆心在直线上，∴，∵圆C与y轴相切，∴，∴，，故所求圆C的方程，或，（II）∵a=0，，∴圆的方程为，∴，假设在y轴上存在两点，使得对于圆C上的任意一点P，都有，设，则由得，∴，，依题意此方程对y恒成立，故，解得或，故在y轴上存在两点A（0，﹣2）、B（0，0），或A（0，4）、B（0，2），使得对于圆C上的任意一点P，都有．16．（15分）如图，在三棱台中，，分别为、的中点.(1)求证：平面；(2)若平面，为等腰直角三角形，，，求平面与平面所成的锐二面角的大小.【答案】(1)证明过程见详解；(2).【详解】（1）在三棱台中，，，所以，因为为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又分别为、的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，所以平面平面，又平面，所以平面.（2）因为平面，为等腰直角三角形，，故以为原点，以为轴，以为轴，过点作垂直于的射线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，平面与平面所成的锐二面角为，则，，，，，所以，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，即，解得，，即，解得，所以平面与平面所成的锐二面角余弦值为，又，所以平面与平面所成的锐二面角为.17．（15分）已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和．(1)求抛物线的标准方程及其准线方程．(2)求证：为定值．(3)求证：直线过定点，并求出该定点．【答案】(1)标准方程为，准线方程为；(2)证明见解析；(3)证明见解析，.【详解】（1）由题意知抛物线的标准方程为（）且，∴，抛物线的标准方程为，准线方程为；（2）设点P的坐标为，，由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0，设切线的斜率为，则切线的方程为，联立方程组，消去，得，∴得（*），又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值；（3）由题知，直线的斜率不为，设直线的方程为，，，联立，整理得，，∴，，∵，∴，整理得，代入有，∴，∴且，∴，故直线过定点．18．（17分）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)；(2)【详解】（1）当时，，，解得，当时，由，可得，相减可得，对也成立，由此可得数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，数列的通项公式为.（2），则两式相减可得：,整理可得,若对任意的，恒成立,即为恒成立，设，则，当时，即时，所以当时，，所以当时，，当时，，当时，，当时，，可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增，即当，，时，，当时，，所以，所以的取值范围为.19．（17分）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率.(1)求双曲线C的方程；(2)记双曲线C的右顶点为，过点作直线，与C的左支分别交于两点，且，为垂足.（i）证明：直线恒过定点，并求出点坐标；（ii）判断是否存在定点，使得为定值，若存在说明理由并求出点坐标.【答案】(1)；(2)（i）证明见解析，；（ii）存在，，理由见解析【详解】（1）由题意，双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为，可得，解得，所以双曲线方程.（