（人教A版）必修二高一数学下学期同步空间直线平面的垂直测试题（解析版）

高一空间直线平面的垂直测试题一、单选题1．已知，是空间两个不同的平面，，是空间两条不同的直线，则结论错误的（

）A．，，，则B．，且，则C．，，且，则D．，，，则【答案】D【分析】利用空间中线线、线面、面面关系逐一判断即可.【详解】对于A：若，，则或，若，，则，若，则平面存在直线使得，又，所以，又，所以，故A正确；对于B：若，，则，又则，故B正确；对于C：若，，所以，又且，是空间两个不同的平面，则，故C正确；对于D：若，，，则或与异面，故D错误.故选：D2．在长方体中，，为的中点，平面，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题目条件，先求出的大小，然后根据异面直线所成角的定义，可知即为所求角，再利用余弦定理，即可求得本题答案.【详解】连接，，，连接，如图，平面，平面，则，又平面，平面，则，因为，平面，平面，则平面，又平面，则，所以，则，则，解得，由长方体的性质易知，且，所以四边形为平行四边形，所以，则即为所求角，在中，，，故，所以与所成角的余弦值为.故选：B.3．如图，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，是底面上（含边界）一动点，满足，则线段长度的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】连接，可知，可得平面，进而证得平面，从而可知在线段上，从而得到答案.【详解】如图所示：连接，因为是棱的中点，则，又，可知，又，故，又，平面，故平面，平面，故，平面，平面，则，又，平面，故平面，又平面，过一点作平面的垂线有且只有一条，故在线段上，故线段长度的最小值为．故选：D.4．已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】计算得到，根据面面垂直得到平面，设外接球半径为，的外接圆半径为，计算，得到表面积.【详解】，，则，，故，平面平面，面平面，平面，则平面，设外接球半径为，的外接圆半径为，则，解得，外接球表面积为.故选：D5．下列命题中正确的是（）A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β【答案】C【分析】根据线面垂直的判定及面面垂直的判定方法结合选项可得答案.【详解】当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A不正确;一条直线垂直于平面内的两条相交直线才能得出线面垂直，由平面与平面垂直的判定定理知B，D均不正确，C正确.故选：C.6．已知正方体，则下列选项不正确的是（

）A．直线与所成的角为 B．C．平面 D．【答案】D【分析】运用作平行线求得异面直线所成角可判断A项，运用线面垂直判定定理及性质可判断B项、C项，运用同一个三角形的内角不可能有两个直角可判断D项.【详解】如图所示，对于A项，如图，因为，所以异面直线与所成的角为或其补角．又因为为等边三角形，所以，故A项正确；对于B项、C项，因为四边形为正方形，则．又因为平面，所以．又因为平面，平面，，所以平面．又平面，所以．同理：，，又平面，平面，，所以平面，故B项、C项正确；对于D项，∵面，∴，即：在中，，由三角形内角和可知，，故D项错误；故选：D．7．假设是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，那么二面角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取BC的中点O，连接OA，OP，则为二面角的平面角，在△POA中，即可求解得到答案.【详解】取的中点，连接，∵和都是边长为2的正三角形，则，所以为二面角的平面角，又因为，则，所以，即二面角的大小为.故选：D.8．如图所示，长方体中，，O是的中点，直线交平面于点M，则下列结论错误的是（

）A．A，M，O三点共线B．的长度为1C．直线与平面所成角的正切值为D．的面积为【答案】C【分析】利用公理3证明三点共线即可判断A，利用长方体的性质以及中位线定理，可判断B，利用线面角的定义，根据长方体的几何性质，结合三角函数定义，可判断C，利用三角形面积转化求解，可判断D.【详解】对于A，连结，则，四点共面，平面，，平面，又平面，在平面与平面的交线上，同理也在平面与平面的交线上.三点共线，故A正确：对于B，设直线与平面的交点为，，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，又，平面，平面，平面平面，又平面平面，平面平面，，为中点，为中点，同理可得为的中点，，故B正确；对于C，取中点，连接，，平面，则即为直线与平面所成角，又平面平面，故即为直线与平面所成角，又，，故C错误；对于D，，，，故D正确.故选：C二、多选题9．已知正方体，E，F分别为AB，BC的中点，则（

）A． B． C．平面 D．平面【答案】AB【分析】根据正方体的性质，利用线线平行判断A，由线面垂直判断B，根据垂线性质判断C，由线线平行及线面相交判断D.【详解】正方体，如图，由图知，，而，所以，故A正确；因为平面，平面，则，又，，平面，所以平面，又平面，所以，故B正确；因为面，面，可得，又，，面，所以面，又面，则，若平面，由平面，可得，由，面，可得面，又面，所以，显然有矛盾，所以平面不正确，故C错误；延长，使，连接，因为，所以，所以四边形为平行四边形，故，而平面，故与平面不平行，故D错误.故选：AB10．如图：在三棱柱中，底面为正三角形，且，则下列说法正确的是（

）A．直线与底面所成角的余弦值为B．设中点为，则线段的长度的最小值为C．平面与平面夹角的余弦值为D．直线与平面所成角的余弦值的最大值为【答案】ABC【分析】设平面，过作,利用线面垂直的判定定理及线面角的定义可得为所求，结合条件可判断A，由题可得时最短进而判断B，过点作，进而可得为所求的夹角结合条件即求可判断C，找出直线与平面所成角结合条件即得.【详解】对于A，设平面于，过作分别交于，连接，因为平面，所以，又平面，故平面，又平面，所以，同理，又，所以，故，可得，所以，，，由平面可知为直线与底面所成角，设，则，，所以，故A正确；对于B，点到直线的最短距离为到直线的垂线，故当时，有最短，连接，因为是中点，由A选项可知，，所以，在正三角形中，由，可得，所以，故B正确；对于C，过点作，垂足为，连接(为中点)，由平面可知，，而，平面，所以平面，平面，所以，又平面，所以平面平面，为所求平面与平面夹角，因为，所以和中，得到，又因为，所以，C正确；对于D，设的中点为，连，由上可知平面，故平面，所以为直线与平面所成角，由题可知，当越来越大时越来越小趋近于0，故余弦值趋近于1无最大值，故D错误.故选：ABC.11．如图，四边形为矩形，平面，，且，记四面体，，的体积分别为，，，则下列说法正确的是（

）A．直线平面B．若为中点，则平面C．D．直线与平面所成角的正切值为【答案】ACD【分析】利用面面平行的判定可证得平面平面，由面面平行的性质知A正确；假设B正确，由线面垂直的性质和等腰三角形三线合一性质可知，显然不成立，知B错误；利用体积桥，结合棱锥体积公式可分别求得，知C正确；根据线面角定义作出所求角，由长度关系可求得D正确.【详解】对于A，四边形为矩形，，又，平面，平面，平面，平面，又，平面，平面平面，又平面，平面，A正确；对于B，连接，假设当为中点时，平面，平面，，又为中点，，由已知得：，假设错误，B错误；对于C，设，由A知：平面，；平面，平面，，又，，平面，平面，，，C正确；对于D，取中点，连接，平面，平面，，又，，平面，平面；，，四边形为平行四边形，，平面，即为直线与平面所成角，设，则，，，即直线与平面所成角的正切值为，D正确.故选：ACD.三、填空题12．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．【答案】①③④②或②③④①【分析】根据线面垂直，线线垂直，面面垂直的性质进行判断.【详解】选择①③④为条件，②为结论：m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，∵n⊥β，m⊥α，∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，∴α⊥β.选择②③④为条件，①为结论：若两个平面垂直，显然与它们分别垂直的两条直线垂直，即α⊥β，n⊥β，m⊥α，能得出m⊥n.选择①②③为条件，④为结论：若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则可能与平行或相交，不能得出m⊥α.选择①②④为条件，③为结论：若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则可能与平行或相交，不能得出n⊥β.故答案为：①③④②或②③④①.13．如图60°的二面角的棱上有，两点，直线，分别在二面角两个半平面内，且垂直于，，，则__________．【答案】10【分析】过点作，且，连接，，先证明为等边三角形，从而得到，再证明，进而利用勾股定理即可求解．【详解】如图，过点作，且，连接，，则，又，所以为等边三角形，所以，则四边形为矩形，即，由，则，又，且，所以平面，所以平面，又平面，所以，则由勾股定理得．故答案为：10．14．在正方体中，，M为棱BC的中点，过直线AM的平面满足平面，则平面截正方体所得较小部分与较大部分的体积的比值为______．【答案】【分析】根据给定条件，作出平面截正方体所得截面，再求出较小部分的体积作答.【详解】在正方体中，取的中点，连接，如图，有，而正方体的对角面是矩形，则，因为，则，又平面，平面，即有，而平面，因此平面，因为平面，于是平面平面，依题意，平面即为平面，令的延长线与延长线的交点为，的延长线与延长线的交点为，显然，即点与重合，记为，因此，又正方体的体积，所以平面截正方体所得较小部分与较大部分的体积的比值为.故答案为：四、解答题15．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A＝60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD＝CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．(1)证明：DN∥平面PMB；(2)证明：平面PMB⊥平面PAD；(3)求点A到平面PMB的距离．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）取PB中点Q，连接MQ、NQ，再加上QN∥BC∥MD，且QN＝MD，于是DN∥MQ，再利用直线与平面平行的判定定理即得；（2）易证PD⊥MB，又因为底面ABCD是∠A＝60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离，过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB，DH是点D到平面PMB的距离，从而求解．【详解】（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以QN∥BC∥MD，且QN＝MD，于是DNQM为平行四边形，，平面，平面，所以DN∥平面PMB；（2）由平面，平面，则，又因为底面ABCD是∠A＝60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，所以MB⊥AD．又AD∩PD＝D，平面PAD，所以MB⊥平面PAD，平面，所以平面平面.（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．故DH是点D到平面PMB的距离，则．∴点A到平面PMB的距离为．16．如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，G为中点，E点在上，平面平面．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求直线与平面所成角．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）欲证平面，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证与平面内两相交直线垂直，根据，可证得平面，从而，又满足线面垂直的判定定理条件；（2）欲证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行即可；（3）连接，构造直角三角形，可知即为直线与平面所成角，解直角三角形，即可求出的大小；【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，故CD⊥AD，平面，平面,所以，平面，故平面，平面，故CD⊥AG，由知，G为中点，故，平面，所以平面.（2）证明：作于F，因为平面平面,平面，平面平面,故平面，又由（1）知平面，所以，又平面平面，∴平面.（3）连接，由于平面，则为所求的角．在中，，由，四边形为正方形,G为中点，可得,，故，即直线与平面所成角为.17．如图，在正方体中，是棱的中点．(1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；(2)求证：直线平面(3)若正方体的棱长为2，求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）连接交于点，由三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可证得结论.（2）由正方体的结构特征结合线面垂直性质，证得平面，再由线面垂直性质和判定推理作答.（3）利用三棱锥的体积求解作答.【详解】（1）直线平面，在正方体中，连接交于点，连接，如图，因为四边形为正方形，则为中点，又为中点，因此，又平面，平面，所以平面.（2）在正方体中，连接，如图，因为四边形为正方形，则，而平面，平面，即有，又，平面，则平面，而平面，因此，同理平面，又平面，即有，因为，平面，所以平面.（3）在三棱锥中，，则的面积，的面积，设点到平面的距离为，由得：，于是，所以点到平面的距离为.18．如图（1）所示，已知四边形SBCD是由和直角梯形ABCD拼接而成的，其中.且点A为线段SD的中点，，.现将沿AB进行翻折，使得二面角的大小为，得到图形如图（2）所示，连接SC，点E，F分别