2025届高考数学《二轮复习》数列专练-含答案

2025届高考数学《二轮复习》数列专练-含答案专题二数列第四讲等差等比基本量与性质1．（2024•河北模拟）已知等差数列的前项和为，若，且，则A． B． C． D．2．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．（1）若，，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求．3．（2024•天津模拟）设等比数列的各项均为正数，前项和，若，，则A． B． C．15 D．404．（2024•苏锡常镇一模）等比数列中，，则满足的最大正整数为A．2024 B．2026 C．2025 D．20275．（2024•黑龙江模拟）已知数列是公差为的等差数列，是其前项的和，若，，则A． B． C． D．6．（2024•合肥二模）已知等比数列的公比为，前项和为，则A． B．对任意，，，成等比数列 C．对任意，都存在，使得，，成等差数列 D．若，则数列递增的充要条件是【精选练习】7．（2024•贵港模拟）已知等差数列的公差不为0，，给定正整数，使得对任意的且都有成立，则的值为A．4047 B．4046 C．2024 D．40488．（2024•东北三省三校联考）等差数列中，，则下列命题正确的是A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则，9.（2024•湖北模拟）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（

）A．， B．，C．， D．，第五讲数列的通项与求和1．（2024•柳州三模）已知数列满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中落入区间，内的项的个数记为，求数列的前项和．2．（2024•杭州模拟）已知等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，令，求证：．3．（2024•江苏模拟）已知数列的前项和为，，．（1）证明：数列为等比数列；（2）设，求数列的前项和；（3）是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求，；若不存在，说明理由．4．（2024•广州二模）已知等差数列的前项和为，，且为等差数列．（1）求的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：．5．（2024•湖北模拟）已知数列前项和为，，，，设．（1）是否存在常数，使数列为等比数列，若存在，求值，若不存在，说明理由．（2）求的表达式，并证明．【精选练习】6．（2024•淮北一模）已知数列，的前项和分别为，，若，则A． B． C．的前10项和为 D．的前10项和为7．（2024•镇江模拟）已知数列满足，，则下列结论正确的有A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前项和8．（2024•邢台模拟）已知等差数列的前项和为，且也是等差数列．（1）求数列的公差；（2）若，求数列的前项和．9．（2024•T8联考）已知数列的前项和为，且．（1）探究数列的单调性；（2）证明：．10．（2024•南京模拟）已知数列的前项和为，，，．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．11．（2024•佛山模拟）已知数列的前项和为，为正整数，且．（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）若点在函数的图象上，且数列满足，求数列的前项和．12．（2024•招远市三模）在数列中，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前项和，证明：．微专题5数列的奇偶项问题与重构问题1．（2024•佛山模拟）已知数列满足，．（1）记，写出、，并求数列的通项公式；（2）求的前项和．2．（2024•泰安模拟）已知数列满足，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．3．（2024•浙江模拟）如图，已知的面积为1，点，，分别为线段，，的中点，记的面积为；点，，分别为线段，，的中点，记的面积为；；以此类推，第次取中点后，得到的三角形面积记为．（1）求，，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．4．（2024•常德模拟）已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则A． B． C．的前项和 D．的前项和为5．（2024•石家庄一模）已知等差数列的前项和记为，满足．（Ⅰ）若数列为单调递减数列，求的取值范围；（Ⅱ）若，在数列的第项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前项，形成新数列，记数列的前项和为，求．6．（2024•广东模拟）已知数列为等差数列，，前项和为，满足：当且时，．（1）求的通项公式；（2）定义集合，记的元素个数为，数列的前项和为，求【精选练习】7．（2024•潍坊一模）已知数列满足，．若数列是公比为2的等比数列，则A． B． C． D．8．（2024•深圳一模）已知数列满足，，，若为数列的前项和，则A．624 B．625 C．626 D．6509．（2024•哈尔滨模拟）已知数列的前n项积为，数列满足，（，）．(1)求数列，的通项公式；(2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式．10．（2024•滨州二模）已知等差数列的前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）保持数列中各项先后顺序不变，在与，2，之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求的前150项和．微专题6斐波那契数列1．（2024•荆州模拟）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，，记，则下列结论正确的是A．数列是递增数列 B． C． D．【精选练习】2．（2025•遵义模拟）数列，1，2，3，5，8，13，21，34，称为斐波那契数列，又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即，则下列选项正确的是A． B． C． D．跨章节综合1数列与三角1．（2024•广东二模）已知正项数列，，满足（其中．（1）若，且，证明：数列和均为等比数列；（2）若，，以，，为三角形三边长构造序列△（其中，，，记△外接圆的面积为，证明：；（3）在（2）的条件下证明：数列是递减数列．【精选练习】2．（2024•开封模拟）点是直线外一点，点，在直线上（点，与点，任一点不重合）．若点在线段上，记，；；若点在线段外，记，；．记，；，．记的内角，，的对边分别为，，．已知，，点是射线上一点，且，；．（1）若，求；（2）射线上的点，，，满足，；，，，当时，求的最小值；当时，过点作于，记，求证：数列的前项和．专题二数列第四讲等差等比基本量与性质1.【解答】解：根据题意，数列为等差数列，设其公差为，若且，两式相减，则有，则有，所以，则有．故选：．2.【解答】解：（1），，根据题意可得，，，又，解得，，，；（2）为等差数列，为等差数列，且，根据等差数列的通项公式的特点，可设，则，且；或设，则，且，①当，，时，则，，，又，解得；②当，，时，则，，，又，此时无解，综合可得．3.【解答】解：由题知，化为，即．由题知，解得．．故选：．4.【解答】解：等比数列中，，所以，，设，，由可得，即，化简得，，所以，所以，故满足题意的最大．故选：．5.【解答】解：因为数列是公差为的等差数列，，则，故，因为，所以，，，正确，错误；，正确；故当时，取得最小值，正确．故选：．6.【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，，正确；对于，当，为偶数时，，，，不是等比数列，错误；对于，等比数列中，若，，成等差数列，则有，变形可得，则有，即，故对任意都存在，使得，，成等差数列，当时，数列为常数列，此时，，不会成等差数列，正确；对于，若数列递增，则有，由于，则有恒成立，必有，反之，若，则，由于，，，则有，故数列递增；综合可得：数列递增的充要条件是，正确．故选：．【精选练习】7.【解答】解：不妨设，因为，所以，所以，因为公差，且，所以，所以，所以．故选：．8.【解答】解：等差数列中，，对于，若，则，正确；对于，，则，，则，，因此，即，错误；对于，若，，则，即，此时，不符合题意，对于，由，得，解得，则，，正确．故选：．9.【解答】，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值；，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值；，时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零，所以等比数列有最大值，也有最小值；，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值，偶数项为正无最大值.故选：BC第五讲数列的通项与求和1.【解答】解：（1）当时，，当时，，，两式相减，得，，当时，，综上可知，．（2）由题意，，，．2.【解答】解：（1）等差数列的前项和为，设公差为，由，，可得，，即，解得．，则；（2）证明：，由，可得，则，对也成立，所以，．3.【解答】解：（1）证明：由，，可得时，，解得，当时，由，可得，两式相减可得，化为，即有，则数列首项为，公比为的等比数列；（2）由（1）可得，即为，则数列是首项为，公差为1的等差数列，即有，则，，可得数列的前项和为；（3）假设存在正整数，，使得，，成等差数列．由，由，，成等差数列，可得，即，当，2，3，4时，，，当时，，，时，，即是单调递减，又，所以，所以存在，，使得，，成等差数列．4.【解答】解：（1）等差数列的前项和为，设公差为，由，可得，即有，即，由为等差数列，可得，即有，，解得，可得；（2）证明：在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，可得，，，，上面两式相减可得，则，由，可得．5.【解答】解：（1）当时，，，整理得，（解法一）：假设存在常数使数列为等比数列，公比为，则即，令，解得，或，，故当时，为首项为2，公比为3的等比数列，当时，为首项为1，公比为2的等比数列．（解法二）：假设存在常数使数列为等比数列，则有，由已知得，，所以，，，所以，解得或，当时，，则为首项为2，公比为3的等比数列，当时，则为首项为1，公比为2的等比数列．（解法一）（2）由（1）知，解得，，则，又也满足，，，，，，，故证毕；（解法二）同解法一得到，由二项式定理得，当时，，即，所以时，，，．【精选练习】6.【解答】解：因为，所以，正确；因为，所以，正确；，故前10项和为，错误；因为，，适合上式，故，，前10项和为，正确．故选：．7.【解答】解：数列满足，，整理得：，转换为，故：，所以是以为首项，2为公比的等比数列．故：，整理得．则：为递减数列．进一步整理得：，所以的前项和：，故选：．8.【解答】解：（1）设数列的公差为，则，因为是等差数列，所以为常数，又，所以，解得；（2）因为，所以，所以，所以．9.【解答】解：（1）由题意可得，故，即，故数列中，且从第二项起单调递减．（2）证明：由题意可得，，有，即，令，则，则有，即有，即，故，又，故，即．10.【解答】解：（1），，又，，，，，，，，也满足上式，．（2）方法一：证明：由（1）可知：当时，，．又，，．方法二：由（1）可知：当时，，．当时，也成立，．11.【解答】解：（1）证明：由，可得时，，解得；当时，由，可得由，两式相减可得，即，则，可得数列是首项和和公比均为4的等比数列，则，即有；（2）由点在函数的图象上，可得，即有，，可得．12.【解答】解：（1）由，，可得，即为，可得数列是首项为，公比为的等比数列，可得，即为；（2）证明：，则；又，所以．微专题5数列的奇偶项问题与重构问题1.【解答】解：（1）解：因为数列满足，，所以，，，，即，所以，数列是公差为3，首项为2的等差数列，因此，．（2）当为偶数时，设，则，，所以，，此时，；当为奇数时，设，则，则．综上所述，．2.【解答】（1）解：由题意，当时，，可得，因为，可得，所以，，所以数列的奇数项和偶数项都是公比为9的等比数列，所以当为奇数时，设，则，当为偶数时，设，则，因此，；（2）解：由（1）得，．3.【解答】解：（1）由题意可知，，，由此可知，故是以公比为的等比数列，所以．（2）由得，，当为偶数时，，当为奇数时，，故．4.【解答】解：，，数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则，数列的前项和，故选：．5.【解答】解：（Ⅰ）由得，，若数列为单调递减数列，则满足恒成立，即，得恒成立，解得：，则的取值范围为；（Ⅱ）根据题意数列为：1，，，，，，，，，，，，，可将数列分组：第一组为：1，；第二组为：，，；第三组为：，，，；．第组为：，，，；则前组一共有项，当时，项数为90，故相当于是前12组的和再加上，1，2，，这五项，即，可看成是数列的前12项和，．6.【解答】解：（1）为等差数列且，则，，，且，是首项为，公差为的等差数列，，整理得，恒成立，．，；（2）因为，记，，，，又，则的元素个数即为中元素个数，而，3，，共个，，则．【精选练习】7.【解答】解：因为数列是公比为2的等比数列，且，所以，①所以，②由②①得：，分别取，4，6，，2022得，，，，，，以上各式左右分别相加得：，所以．故选：．8.【解答】解：依题意，由当时，，可得当为奇数时，，，数列的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，又当时，，即当为偶数时，，此时，故数列的偶数项是以2为最小正周期的周期数列，，，数列的偶数项为：1，，1，，．故选：．9.【解答】（1），，当时，，当时，，即，而，满足上式，所以数列的通项公式为；若数列满足，（，），则，从而数列的通项公式为；（2）令，解得，这表明，从而只能，所以，所以数列的通项公式为.10.【解答】解：（1）因为为等差数列，则，即，可得，，所以．（2）因为在与，2，之间插入个3，可知在数列中对应的项数为：，当时，则，即；当时，则，即；由题意可知：，所以．微专题6斐波那契数列