专题16 导数中有关x与exlnx的组合函数问题(解析版)

专题16导数中有关x与e，lnx的组合函数问题在函数的综合问题中，常以x与xlnx组合的函数为基础来命题，将基本初等函数的概念、图象与性(或比较大小)值范围(或最值).着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类讨论和数形结合等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查．六大经典超越函数的图象函xxxexf(x)xex(x)＝()＝数图象函数lnxxxlnx()＝xlnx(x)＝(x)＝图象考点一x与lnx的组合函数问题(1)熟悉函数(x)h(x)ln((x)＝2bxc(ab不能同时为0))(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．(2)熟悉函数f(x)＝x(h(x)＝2＋bx＋c(a，b不能同时为0)，h(x)≠0)的图象特征，做到对图(3)(4)中两(x)个特殊函数的图象“有形可寻．【例题选讲】ax2[例1]设函数f(x)xlnx－＋－x(a∈)．2(1)若函数()有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；(2)若a2∈Ngx)22xx2x2时不等式(－2)g(x)＜(x)k的最大值．分析(1)将原问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合思想进行求解；(2)将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解．(1)由题意知，函数(x)的定义域为(0，＋∞)，′(x)x＋－－1x－，xx令′()0，可得a＝，xx令h(x)＝(x＞0)，则由题可知直线＝a与函数h(x)的图象有两个不同的交点，1－xh′(x)＝h′(x)＝x＝，可知(x)(0e)上单调递增，在(e，＋上单调递减，21e．0，1ehx)＝h(e)＝→0时，()→∞→∞时，h(x)→0，故实数a的取值范围为(2)当a2时，()xxx＋－xk(x－2)g(x)f(x)，即k(x2)＋－2－x＜xln－x＋2x，整理得k(x2)＜lnxx，xxxxxxx－－2lnx＞2，所以k＜F(x)＝(x2)F′(x)＝．x2x2(x－22x令m()x4－2lnx(x2)m′()1－＞，所以m(x)(2，＋∞)上单调递增，m(8)4－2ln8＜－2ln24－＝0m(10)6－2ln10＞－2ln366＝，所以函数m(x)在，10)上有唯一的零点x，即x－－2lnx0，故当＜xx时，m(x)0′(x)0＞x时，′(x)＞，0000x－41＋xx＋xx02x2x000＝0(x)＝(x)＝＝，所以k＜，x－2x－22x20x(8，，所以(4，5)k的最大值为4．01．极值点问题通常可转化为零点问题，且需要检验零点两侧导函数值的符号是否相反，若已知极值点求参数的取值范围，一定要对结果进行验证．解答任意性(恒成立)、存在性(有解)问题时通常有分离参变量、分拆函数等求解方法，可根据式子的结构特征，进行选择和调整，一般可转化为最值问题进行求2．对于有关x与lnx的组合函数为背景的试题，要求理解导数公式和导数的运算法则等基础知识，能够灵活利用导数研究函数的单调性，能够恰当地构造函数，并根据区间的不同进行分析、讨论，寻求合理的证明和解不等式的策略．【对点训练】2233661若a＝b＝，＝，则()A．<bc．cbaCc<<bD．<acxx－x1C设(x＝′(x)＝，所以()(0e)上单调递增，在(e，＋上单调递x26423减，即有(6)<(4)<f，所以<＝<a<b．64232ab>0a＝b，有如下四个结论：(1)<e；(2)b>e(3)aba·b<e；(4)，ba·>e，则正确结论的序号是(A．(1)(3)．(2)(3))．(1)(4)abD(2)(4)x2C由a＝ba两边取对数得ba＝b⇒＝．对于y＝，由图象易知当b<e<aabx(1)正确，(2)a＝aa4b＝a<e＝8>e，故正确，(3)错误．因此，选．3设x，，z为正数，且2＝35，则(A．x<3y<5z．zx<3y)．yz<2xD．y<2x<5z令23＝zt(>1)，两边取对数得＝log＝tt3t53D，ylogt＝，zlog5＝，2223355235从而2x＝t，3y＝t，5z＝t．由知，要比较三者大小，只需比较，，的大23524xe<3<4<5y＝在(e，＋上单调递减可知，345345小．又＝>>，从而<<，24x3453453y<2<5z，故选D．π4下列四个命题：5<5ln；π>e③211④3eln2>4．其中真命题的个数是()A．1B2．3D4x∈，e)时，′(x)>0(x)单调递增；当xxx1x4B构造函数(x)＝′(x)＝x252∈(e′(x)<0(x)5<5ln⇒2ln5<5ln⇒<2<5<e②5212πeππeee>π>e③211⇒2<ln2ln⇒2＝π>⇒2lnπ>⇒>＝eπ2e3332244>3eln2>42⇒2eln22>2×22⇒ee<>B．43225已知函数(x)＝kxx(在函数定义域内恒成立，则k的取值范围是()111e12e1e，，，＋∞A．eB．2eC．D．2e5D由题意得(x在函数定义域内恒成立，即kxx在函数定义域内恒成立，即xx2xxx(12lnx)xk>()＝g′()＝＝∈(0，e)时，′(x)>0，x2x2x44g(x)x∈(e∞)g′(x)<0g(x)＝g(x)取得最1，＋∞12e大值，此时最大值为g(e)＝，所以实数k的取值范围是2e，故选D．60<xx<1，则()12xxxx2A．1>2B．1<Cxx>xxD．xxxx21122112x2x1x2x111e∞6D设()＝x′(x)x＋′(x)>0x>，所以函数f(x)在e10，1e调递增；由′(x)<0，得x<，函数(x)在e上单调递减，故函数(x)在(0，1)上不单调，所以(1)x与f(x)的大小无法确定，从而排除AB；设()＝，则g′(x)＝1x，由g′(x)>0，得0<x<e，即函xx2xx12数g(x)在(0e)(x)(01)g(xg(x)<xxx12211x12x．故选D．x7已知函数(x)＝ax－a∈．x(1)若()≥0a的取值范围；(2)若yf(x)的图象与直线ya相切，求a的值．7由题易知，函数(x)的定义域为(0，＋．xxxxxx2由f()≥0ax－≥0，所以ax≥>0，所以a≥．x212lnx令g(x)＝′(x)＝g′()>00<x<g′(x)<0x>e．x3所以当0<x<e时，g(x)单调递增，当x>e时，()单调递减．12e所以当x＝e时，g(x)取得最大值(e)＝，1，＋∞1a≥a的取值范围是2e2e．()a，(2)设y＝(x)的图象与直线ya相切于点(，a)，依题意可得′()＝0.tat－a，t1x′(x)＝a－，所以a－－(21)lnt0．0，1tx2a－t21t令h()t1(2t1)lnh′()＝2ln－1，h′()在(0，＋上单调递减，且′(1)0，所以当0<t时，h′()>0，()单调递增，当时，h′()<0h(t)单调递减．11所以当且仅当＝1时，h()0，即(*)式成立，所以＝＝1．12x与ex与lnx若函数最值不易求解时，可重新分拆、组合、构建新函数，然后借助导数研究函数的性质来求解．xx2．本例中(1)先将不等式()≥0转化为a≥，再构造函数g(x)＝，求其最大值即可求得a的取值范x2x2围；(2)y(x的图象与直线＝a相切，得到方程组，再构造新函数，通过研究新函数的单调性，a的值．8已知函数(x)＝x－lnx(aR)．(1)讨论函数(x)的单调性；(2)若函数y＝(x)在区间(1，e]上存在两个不同零点，求实数a的取值范围．ax33a8∵′(x)3x－＝(x>0)．x①当a≤0时，f′(x)>0，此时函数在(0，＋上单调递增；33xaa3②当a时，令′()＝＝x＝，x30，3aa，当x∈3时，f′(x)<0，此时函数f(x)在3上单调递减；33a3a3，＋∞，＋∞当x∈时，fx)>0，此时函数()在上单调递增．x3(2)由题意知：a＝在区间(1e]上有两个不同实数解，xx3即直线y＝a与函数()＝的图象在区间(1e]上有两个不同的交点，xx(3lnx－1)3g′(x)＝′(x)0＝e，x)233所以当x∈(1，e)时，g′(x)<0，函数在(1，e)上单调递减；33当x∈(ee]时，g′(x)>0，函数在(ee]上单调递增；19e3119则g(x)g(e)＝(e)＝2727e>27g(e)e<27．1e27x3所以要使直线ya与函数g(x)＝的图象在区间(1，e]上有两个不同的交点，则3e<a≤e，xa的取值范围为，e]．考点二x与x的组合函数问题(1)熟悉函数f(x)h(xg(gx)为一次函数，()＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0))的图象特征，做到对(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．ex(x)(2)熟悉函数f(x)＝(h(x)＝2＋bx＋c(a，b不能同时为0)，h(x)≠0)的图象特征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻．【例题选讲】[例1]已知函数(x)＝a(x1)，(x)＝(ax1)·ea∈R．(1)求证：存在唯一实数a，使得直线y＝(x)和曲线y＝g(x)相切；(2)若不等式(x)g(x)有且只有两个整数解，求a的取值范围．(1)设切点的坐标为(xy)x000x－1x－从而通过求导研究新函数的单调性使问题得证；(2)首先将问题转化为aex＜1，然后令m()＝x－x1m()a≤00＜＜1≥1ex而求得a的取值范围．(1)f′(x)a，′(x)(axa－．设直线yf(x)和曲线yg(x)的切点的坐标为(x，y)ya(x1)(ax1)e，00000得a(xe0x＋1)e，①00又因为直线yf(x)和曲线yg(x)相切，所以ag′(x)＝(axa－x，00整理得a(xe0ex1)＝e，②00结合①②得xe0x＋1xe0ex1e＋x2＝(x)＝e＋－2，00000则h′(x)＝x1＞，所以h(x)在R上单调递增．又因为h(0)＝－10h(1)＝e10，所以存在唯一实数x，使得e＋x2＝x(0，，000所以存在唯一实数，使①②两式成立，故存在唯一实数a，使得直线y＝(x)与曲线y＝()相切．x1x－(2)令()＞g(x)a(x1)(－x，所以exaxae，所以aex＜1，x－1ex－2令m()x－m′()＝，exex(1)mx)(－x)上单调递减，在(x，＋上单调递增，且x(0，1)，000≤0时，m()≥m＝1x时，m(x)≥m(1)1，所以当xZ时，m()≥1恒成立．当≤0时，am(x)1恒成立，此时有无数个整数解，舍去；1a1a当＜a1时，m(x)＜，因为＞1m(0)m(1)＝，1am(2)≥，e2，＋∞e2所以两个整数解分别为，1a≥a∈21；1am(－1)≥，－11a1a1a当≥1时，m(x)＜，因为≤1m(x)在xZ时大于或等于1，所以m(x)＜无整数解，舍去．e2，＋∞综上所述，a的取值范围为2e－1．1导数研究函数的单调性、最大值、最小值等，再借助函数的大致图象判断零点、方程的根、函数图象的交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值等．2．在求解有关x与ex的组合函数综合题时要把握三点：(1)灵活运用复合函数的求导法则，由外向内，(2)(3)构建新函数，通过分类讨论新函数的单调性求最值．3．以形助数、数形沟通，实现数形结合，形象直观地得出结论，体现了直观想象等数学核心素养．考点三x与x，x的组合函数问题(1)熟悉函数(x)＝h(x)lnx±e(h()＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0))的图形特征，做到对图(1)(2)(3)(4)所示的特殊函数的图象“有形可寻”．exh(x)(2)熟悉函数(x)＝±lnx(h(x)＝＋bxc(ab不同时为0))(5)(6)所示的两个特殊函数的图象“有形可寻”．命题点1分离参数，设而不求【例题选讲】mxxx[例1]已知函数()＝x＋，g(x)＝(e＝2．71828……为自然对数的底数)，是否存在整数m，使1，＋∞得对任意的x∈2，都有＝f()的图象在yg(x)的图象下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，请说明理由．1，＋∞mxexx假设存在整数m满足题意，则不等式＋＜，对任意的x∈2恒成立，1即m＜exx对任意的x∈，＋∞恒成立．令v(x)e－x′()e－x－1，1∞1xφ(x)e－－1，则′(x)e－，易知′(x)在2上单调递增，111，1因为′2＝e2－20φ′(1)＝－10φ′(x)的图象在2上连续，11x10所以存在唯一的x∈2，使得′(x)0e－0x＝－x．000x01x0当x∈2时，(x)单调递减；当x(x0，＋时，φ()单调递增．x110φ(x)在xx处取得最小值，且最小值为(x)e－x1＝＋x－12x·11＞，00000xx00111，＋∞′()0v(x)在2121212上单调递增，所以m≤e2－e2＋2≈1995，故存在整数m满足题意，且m的最大值为1．1．对于恒成立或有解问题分离参数后，导函数的零点不可求，且不能借助图象或观察得到，常采用设而不求，整体代入的方法．12．本例通过虚设零点x得到x＝－lnx，将ex－lnx－1转化为普通代数式＋x－1，然后使用基本000000x0不等式求出最值，同时消掉x，即借助′(x)0作整体代换，采取设而不求，达到化简求解的目的．00命题点2分离x与x[例2]已知函数(x)＝2xx．(1)若函数()在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；1e(2)若ae，证明：当x时，(xxe＋．(1)由题意知，′()＝2－－1．x1因为函数(x)(0，＋∞)上单调递增，所以当x时，′(x2a≥在x时恒成立．xx＋1xx2令g(x)＝(>0)′()，x12()在(01)上单调递增，在(1，＋上单调递减，则(x)g(1)＝，所以2aa≥．1，＋∞故实数a的取值范围是2．1e1x1x(2)若＝e，要证()<xe＋，只需证e－x<e＋exex＋．1xe－1令h(x)x＋(x>0)h′(x)＝，ex21110，，＋∞1()在e上单调递减，在e上单调递增，则(x)＝he＝，所以x＋．ex再令(x)＝e－e，则′()eex，易知(x)在(01)上单调递增，在(1，＋上单调递减，则φ(x)φ(1)0，所以exe≤0．1ex()与(x)不同时为0，所以e－ex＋，故原不等式成立．1．若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．1x2．本题第(2)小题中变形后再隔离分析构造函数，原不等式化为x＋>exexx>0)(分离x与e)，1便于探求构造的函数h(x)x＋和(x)＝x－ex()的最小值与(x)“中x间媒介”证明不等式．【对点训练】ax1已知函数(x)＝lnx＋(a>0)．(1)若函数f(x)有零点，求实数a