概率论考试题及答案

概率论考试题及答案

填空题1.设事件A与B互不相容，P(A)=0.2，P(B)=0.3，则P(A∪B)=____。2.已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，则λ=____。3.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=____，在区域D上为常数，其他为0，且区域D的面积为S，则常数为____。4.若随机变量X的期望E(X)=3，方差D(X)=4，则E(X²)=____。5.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,...,Xₙ为样本，则样本均值X̅服从____分布。6.已知P(A)=0.6，P(B|A)=0.4，则P(AB)=____。7.设随机变量X的分布函数为F(x)，则F(+∞)=____。8.若事件A与B相互独立，P(A)=0.5，P(B)=0.4，则P(A∪B)=____。9.已知随机变量X的概率密度为f(x)=____，在区间[0,1]上为常数，其他为0，则常数为____。10.设总体X的均值为μ，方差为σ²，样本容量为n，则样本方差S²是总体方差σ²的____估计量。单项选择题1.设A,B为两个事件，且P(A)>0,P(B)>0，若A,B相互独立，则以下结论正确的是（）A.A,B互不相容B.P(B|A)=P(B)C.P(A|B)=0D.P(AB)=02.已知随机变量X服从正态分布N(1,4)，则P(X≤3)=（）A.0.8413B.0.1587C.0.5D.0.97723.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为P(X=i,Y=j)=pᵢⱼ，i,j=1,2，则P(X=1)=（）A.p₁₁+p₁₂B.p₁₁+p₂₁C.p₂₁+p₂₂D.p₁₂+p₂₂4.若随机变量X的概率密度为f(x)=2x,0<x<1，其他为0，则E(X)=（）A.1/3B.2/3C.1D.4/35.设总体X服从均匀分布U(0,θ)，X₁,X₂,...,Xₙ为样本，则θ的矩估计量为（）A.X̅B.2X̅C.X̅/2D.3X̅6.已知P(A)=0.3，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.6，则P(A|B)=（）A.0.2B.0.4C.0.6D.0.87.设随机变量X服从参数为n,p的二项分布B(n,p)，则E(X)=（）A.npB.n(1-p)C.pD.n8.若随机变量X与Y相互独立，且E(X)=2,E(Y)=3，则E(XY)=（）A.2B.3C.5D.69.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，样本容量为n，样本均值为X̅，样本方差为S²，则(X̅-μ)/(S/√n)服从（）分布A.N(0,1)B.t(n-1)C.χ²(n-1)D.F(n-1,1)10.已知事件A与B满足P(A∪B)=P(A)+P(B)，则A与B（）A.相互独立B.互不相容C.A包含BD.B包含A多项选择题1.设A,B为两个事件，则以下说法正确的是（）A.若A,B互不相容，则P(A∪B)=P(A)+P(B)B.若A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)C.若A包含B，则P(A-B)=P(A)-P(B)D.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)2.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则以下说法正确的是（）A.正态曲线关于x=μ对称B.P(X≤μ)=0.5C.σ越大，曲线越“矮胖”D.σ越小，曲线越“高瘦”3.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则以下说法正确的是（）A.∫∫f(x,y)dxdy=1B.P((X,Y)∈D)=∫∫ₐf(x,y)dxdy，其中D为平面区域C.f(x,y)≥0D.f(x,y)是关于x和y的二元函数4.若随机变量X的期望E(X)=μ，方差D(X)=σ²，则以下说法正确的是（）A.E(aX+b)=aμ+bB.D(aX+b)=a²σ²C.E(X²)=μ²+σ²D.D(X)=E(X²)-[E(X)]²5.设总体X服从均匀分布U(0,θ)，X₁,X₂,...,Xₙ为样本，则以下说法正确的是（）A.样本均值X̅是θ的无偏估计量B.样本方差S²是θ²/12的无偏估计量C.2X̅是θ的无偏估计量D.3X̅是θ的无偏估计量6.已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，P(A|B)=0.2，则以下说法正确的是（）A.P(AB)=0.1B.P(A∪B)=0.8C.P(B|A)=0.25D.A与B不相互独立7.设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则以下说法正确的是（）A.概率密度为f(x)=λe^(-λx),x>0，其他为0B.E(X)=1/λC.D(X)=1/λ²D.分布函数为F(x)=1-e^(-λx),x>0，其他为08.若随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布N(0,1)，则（）A.X+Y服从正态分布N(0,2)B.X-Y服从正态分布N(0,2)C.X²+Y²服从χ²(2)分布D.X²/Y²服从F(1,1)分布9.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，样本容量为n，样本均值为X̅，样本方差为S²，则以下说法正确的是（）A.(n-1)S²/σ²服从χ²(n-1)分布B.X̅与S²相互独立C.(X̅-μ)/(S/√n)服从t(n-1)分布D.当n充分大时，X̅近似服从正态分布N(μ,σ²/n)10.已知事件A,B,C满足A⊂B，B与C互不相容，则以下说法正确的是（）A.A与C互不相容B.A∪C⊂B∪CC.A∩C=∅D.P(A∪C)=P(A)+P(C)判断题1.若事件A与B互不相容，则P(A|B)=0。（）2.随机变量X的分布函数F(x)是单调递减函数。（）3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为P(X=i,Y=j)=pᵢⱼ，则∑ᵢ∑ⱼpᵢⱼ=1。（）4.若随机变量X的期望E(X)=0，则X一定是零随机变量。（）5.总体X的样本均值X̅是总体均值μ的无偏估计量。（）6.已知P(A)=0.5，P(B)=0.4，A与B相互独立，则P(A∪B)=0.7。（）7.随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则P(X<μ)=P(X>μ)。（）8.设总体X服从均匀分布U(0,1)，X₁,X₂为样本，则X₁+X₂服从均匀分布U(0,2)。（）9.若随机变量X与Y相互独立，则Cov(X,Y)=0。（）10.事件A的概率P(A)一定满足0<P(A)<1。（）简答题1.简述事件独立性与互不相容性的区别。事件独立性是指一个事件发生与否不影响另一个事件发生的概率；互不相容性是指两个事件不能同时发生。独立性强调概率关系，互不相容强调事件发生的实际情况。2.简述正态分布的性质。正态分布具有对称性，关于均值对称；概率密度函数在均值处取得最大值；方差决定曲线的“胖瘦”，方差越大越“矮胖”，越小越“高瘦”；且具有可加性等。3.简述矩估计的基本思想。矩估计是用样本矩来估计总体矩。通过计算样本的均值、方差等矩，利用总体矩与样本矩的关系，建立方程求解总体参数的估计值。4.简述二维随机变量(X,Y)的联合分布函数的性质。联合分布函数F(x,y)非负且单调不减；F(-∞,y)=F(x,-∞)=F(-∞,-∞)=0，F(+∞,+∞)=1；对x和y右连续；P(x₁<X≤x₂,y₁<Y≤y₂)=F(x₂,y₂)-F(x₂,y₁)-F(x₁,y₂)+F(x₁,y₁)。讨论题1.讨论如何判断两个事件是否相互独立。可通过定义判断，若P(AB)=P(A)P(B)，则A与B相互独立。也可根据实际情况分析，若一个事件发生与否不影响另一个事件发生的概率，如抛两枚硬币，正面出现情况相互独立。还可利用条件概率，若P(B|A)=P(B)，则A与B独立。2.讨论正态分布在实际生活中的应用。正态分布在许多领域有广泛应用。如在质量控制中，产品质量指标常服从正态分布，可据此制定质量标准；在教育领域，学生成绩分布近似正态，可用于评估教学效果；在医学中，人体生理指标如身高、体重等也近似正态，辅助疾病诊断等。3.讨论样本容量对估计量的影响。样本容量越大，估计量越接近总体参数真实值。大样本下，估计量的方差更小，精度更高，如样本均值更