高考冲刺资源专题06 空间向量与立体几何（3考点+18题型）（含答案解析）

专题06空间向量与立体几何

5卦考点大集合

K多面爆溺嗝i）

K主向几何体厚S构械’♦的91灰I）

fi£oi空间几做均浮晚

交同几何体第

。考点一空间几何体及R表面积与体积,1＜主间几何馆的结构挎征）&S02

fifiO3至0几何礴外

、K空间几何体的.面醐肱积公点）8304七到几何体篦内切球校切球

“空间几何体的表面积町体积y〉〈

--------------------Jnn.M、台体体治词的关蒙）

四个公理

等用例

点.is逢.平面ZI句的位Si关系直送与直融位置关系

直送与H面的住

平面与五武的位查关系

,3««.共线.共点司JE的证明

srao＞先回关案有关华眸a法厮

■at■（和

较03平行与看既视证明

。考点二空同点、占蛾、理面之间的位西关基平行关Q间的转化sraoj平面几何所务西

B05空阊几分Q摊面雷

|-ii品与平面手=的丸，3湃，;无石h即sraos空间几何以一。色轨法同蒙

空间向工与立体几何直城.平面重=干面。平面更京的血友盒理与性防定这

箜质关血司的辅化

另nc吏戌所成为用

生可角且EE与平面所成的角

而S与平强所成的角

Rfioi向量矗本走冠及埃性运算

SS02空间向是数曼松及其应用

长型03求异面五法所或角

鬟堂04米直低与平面所或角

£b05求字面与平面所成角

餐堂06米空间更充

007利用向量解关建元性向暨

雌08克阍几何中的修值范田向望

茕点大过关

考点一：空间几何体及其表面积与体积

・核心提炼;查漏讣缺

知识点1空间几何体的结构特征

1、多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

D'小CO，

n#

图形

ABABAB

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似

侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点，但不一定相等

侧面形状平行四边形三角形梯形

3、旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球

®

图形SA&

旋转图形矩形直角三角形直角梯形半圆形

任一直角边所在的垂直于底边的腰直径所在的

旋转轴任一边所在的直线

直线所在的直线直线

互相平行且相等，垂直

母线相交于一点延长线交于一点

于底面X

轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆

侧面展开图矩形扇形扇环

3、空间几何体的直观图

（1）画法：常用斜二测画法画法.

（2）规则:

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，V轴、V轴的夹角为45。（或135。），，轴与f轴和了轴所在

平面垂直.

②原图形中平行于砸标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长

度不变；平行于》轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.

（3）直观图与原图形面积的关系：按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：

S4观图=.S班阴的:S丘国彬=22S）r（观图.

4

知识点2空间几何体的表面积和体积

1、空间几何体的表面积和体积公式

称

表面积体积

几何体

柱体（棱柱和圆柱）S表面帜=S偏+2S底V=S双h

}

锥体（棱锥和圆锥）V=SJ1

S表曲湖=S«+S底3位

台体（棱台和圆台）s衣诩织=s便+S上+S下P=；（S|：+SF+S$Jh

4

球S=4nR2/=兀/?3

3

几何体的表面积和侧面积的注意点

①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.

②组合体的表面积应注意重合部分的处理.

2、柱体、锥体、台体体积间的关系

・题型特训•精准提分______________

i题型1空间几何体的表面积】

道

IOO

j求空间几何体表面积的常见类型及思路

i1、求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表

:面积；

:2、求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们

:的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系

:3、求不规则几何体的表面枳：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、

•

:锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积；

j【注意】在求解组合题的表面积时，注意几何体表面的构成，尤其是重合部分，面积不要多加或少加

1.（23-24高三上•湖南・月考）己知圆锥的体积为侦兀，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的侧面积

3

为（）

A.2兀B.3兀C.47rD.6兀

2.（23-24高三下•湖南长沙•二模）蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁

都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐、毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一

个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的图为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为64几平方米，则该蒙古包

（含底面）的表面积为（）

A.（112+16J万）兀平方米B.（80+16J万）兀平方米

C.（112+18而）兀平方米D.（80+18J万卜平方米

3.（23-24高三下•全国•一模）已知正三棱台48c的上、下底面的边长分别为2和4,且棱台的侧面

与底面所成的二面角为60。，则此三棱台的表面积为（）

A.B.1073C.llx/3D.126

4.（23-24高三上•江苏徐州•学业考试）如图1是一栋度假别里，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是

该屋顶的结构示意图，其中四边形力用花和四边形。CTE是两个全等的等腰梯形，AB/81EFAEAD和

△尸BC是两个全等的正三角形.已知该多面体的棱与平面成的角45。，=20,BC=8,则该屋

图1图2

A.80B.80x/3C.160D.1605/3

【题型2空间几何体的体积】

空间几何体的体积

1、处理空间几何体体积的基本思路

（1）转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高

转换为容易看出并容易求解的高；

（2）拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算；

（3）拼：将小儿何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘

一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。

2、求体积的常用方法

（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；

（2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规

则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；

（3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作

为三棱锥的底面进行等体积变换

L“72023：基面前落宣藤；茬三熊EP二42c市：显宓K而2花琴宓三正扈〉4；〃一二2,小二员：

则该棱锥的体积为（）

A.1B.73C.2D.3

2.（2023•全国•高考真题）在正四棱台48CQ-44GA中，43=2,/e=1,/%=0,则该棱台的体积

为.

3.（23-24高三下•贵州贵阳•模拟预测）下图是一个圆台的侧面展开图，已知所4=12,8。=6且448c=120。,

则该圆台的体积为（）

4.（23-24高三下•天津•一模）祖瞄是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一

条原理：“鼎势既同，则积不容异”.这里的“哥”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的

几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖随原理可以将半球的体

积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷''的示意图，其中曲线4OC和80。

均是以2为半径的半圆，平面40。和平面80。均垂直于平面48CQ,用任意平行于帐篷底面48CQ的平面

截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正

四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2）,从而求得该帐篷的体积为（）

【题型3空间几何体的外接球】

[祓

IOO2

:1、求解几何体外接球的半径的思路

:（1）根据球的截面的性质，利用球的半径R、截面圆的半径，,及球心到截面圆的距离d三者的关系

*

R2=/+/求解，其中，确定球心的位置是关键；

:（2）将几何体补成长方体，利用该几何体与长方体共有外接球（1勺特征，由外接球的直径等于长方体的体对

:角线长求解.

a

「2：廨而耳后盼而琼…接而藏…真通法是作藏面「落空时冗而词做转花为#面元而面期采德;玉罐函前恿

:维流程是：

:第一步定球心：如果是内切球，则球心到切点的距离相等且为当径；如果是外接球，则球心到接点的距离

;相等且为半径；

:第二步作截面：选准最佳角度作截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些

;元素间的关系），达到空间问题平面化的目的：

［第三步求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.

二厂石。方至面而等宜画5巨而百员五瓦3药茬率至为5而球面E…7万下瓦成菽河3面落起三河朝“就工

平面力4C,则S4=.

2.（23-24高三下•河南•月考）直三棱柱力8c-4&G的各顶点都在同一球面上，若

力6=1,AC=AAy=2,/BAC《,则此球的表面枳等于.

3.（23・24高三下•江西・月考）已知某棱长为2拉的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积

为（）

C471

A.4兀B.27rC.—D.冗

4.（23-24高三下•辽宁抚顺一模）在三楂锥尸一中，AB=AC=4fZ5JC=120°,产力=6,

PB=PC=2瓦,则三楂锥P-48C的外接球的表面积为（）

A.100兀B.75TlC.80兀D.120兀

5.（23-24高三下•辽宁葫芦岛•一模）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似

隋道形状的几何体，如图，羡除"CQE/7中，底面48CZ）是正方形，EF//平面ABCD,Y/WE和△8CE

均为等边三角形，且所=2/e=6.则这个几何体的外接球的体积为

【题型4空间几何体的内切球、棱切球】

I、内切球的相关结论与方法：

（1）多面体的内切球：多面体的各面均与球面相切；球心到各面距离相等（球半径），利用等体积法求解;

（2）旋转体的内切球：旋转体的各面均与球面相切；球心在旋转轴上；利用轴截面确定内切球半径；

2、棱切球常用结论：

（1）正〃棱柱的棱切球的球心为上下底面中心连线的中点0,正棱雉的棱切球的球心在其高线上球心位置

的确定可以根据对称性找到或过截面圆圆心垂线找到：

（2）多面体的每一个面与此棱切球都相交，且截面圆是多面体面的内切圆；

（3）棱长都为。的正〃棱柱，则棱切球的半径为c.兀

2sin—

n

1.（2023•荃国•高常K翁）云宿务很疝而一彳&<西市，E,尸分别药力B,C.D^+i,试.无置荏而

球的球面与该正方体的棱共有个公共点.

2.（23-24高三下•吉林•模拟预测）已知圆锥的侧面积是4兀，且它的侧面展开图是•个半圆，则这个圆锥

的内切球半径为（）

A2〃nGr2x/3n>/6

3333

3.（23-24高三下广西•二模）在三棱锥P-48。中，JAB,APBC,APAC,ZX/IB。的面积分别3,4,

12,13,且乙1PB=NBPC=N4PC,则其内切球的表面积为.

4.（23-24高三下•内蒙古赤峰•开学考试）已知上底面半径为近,下底面半径为2及的圆台存在内切球（与

上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（）

A.14X/6TTB.56兀C.如知D.孚

33

5.（23-24高三上•江苏连云港•月考）已知正三棱柱44G的体积为18,若存在球。与三楂柱

ABO的各棱均相切，则球。的表面积为.

考点二：空间点、直线、平面之间的位置关系

I■■■■■■■■■MB■■■■MB■■■■»■■■■

・核心提炼•查漏补缺_____________

知识点1点、直线、平面之间的位置关系

1、四个公理

（1）公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

【拓展】公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线处二点有且只有一个平面.

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线.

（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

3、直线与直线的位置关系

（1）空间两条直线的位置关系

位置关系特点

相交同一平面内，有且只有一个公共点

平行同一平面内，没有公共点

异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点

4、直线与平面的位置关系

直线。在平面a外

位置关系直线a在平面a内

直线。与平面a相交直线a与平面。平行

公共点无数个公共点一个公共点没有公共点

符号表示quaaC\a=Aa//a

---a

图形表示3二

5、两个平面的位置关系

位置关系两平面平行两平面相交

公共点没有公共点有无数个公共点（在一条直线上）

符号表示a//paC/}=l

口

图形表示口

知识点2直线、平面平行

1、直线与平面平行的判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

平面外一条直线与此平面内

____a_____a<la,bua,

判定定理的一条直线平行，则该直线

a//b=a//a

平行于此平面

一条直线和一个平面平行，

a//a,aup,

性质定理则过这条直线的任一平面与

aC\p=b=>a//b

此平面的交线与该直线平行

2、平面与平面平行判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

一个平面内的两条相交直线与另一aua,bua,aC\b=P,

判定定理

个平面平行，则这两个平面平行/£_/a//p,

两个平面平行，则其中i个平面内的/二/

a〃P，aua=a〃B

直线平行于另一个平面__/

性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平

a//fitaCiy=a,pC\y=b^a//b

面相交，那么它们的交线平行

3、平行关系之间的转化

性质定理

i判定定理判定定理

线线平行、、线面平行、二面面平行

|性一定理性质定理[

判定定理

在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转叱，即从“线线平行”到“线面平行”，再至上面

面平行”：而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的,

不可过于“模式化

知识点3直线、平面垂直

1、直线与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形看言符号语言

一条直线与一个平面内的两a,bua

1

aC\b=O

判定定理条相交直线都垂直，则该直

lA.a

线与此平面垂直7

ILh

ab

垂直于同一个平面的两条直

7aVa

性质定理=>a//b

线平行b工a

2、平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面上另一个平面的l±a

判定定理0a邛

垂线，则这两个平面垂直4hMJ

两个平面垂直，则一个平面aA-fl

曰

性质定理内垂直于交线的直线与另=>/±a

aC\/J=a

一个平面垂直修

£l±a

3、垂直关系之间的转化

在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件.同时抓住线线、线面.、面面垂直的

转化关系，即:

判定

I判定判支I

线线垂直手三线面垂直面面垂直

I性质性质।

姓质

在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的亘线，若这样的直线在图中不存在，则可通

过作辅助线来解决.

知识点4空间角

1、异面直线所成的角

（1）定义：设。，力是两条异面直线，经过空间任一点。作直线〃〃小hf//b,把"与加所成的锐角（或直

角）叫做异面直线。与人所成的角（或夹角）.

（2）范围：（0°,90°］.

2、直线和平面所成的角

（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线

垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0.

（2）范围：［0,

3、平面与平面的角

（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

（2）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条

射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

・题型特训•精准提分______________

【题型1共面、共线、共点问题】

,返

IOOC-

:1、证明点或线共面问题的2种方法

:（1）首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再征其余的线（或点）在这个平面内；

:（2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.

j2、证明点共线问题的2种方法

j（1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；

:（2）直接证明这些点都在同一条特定直线（如某两个平面的交线）上.

:3、证明线共点问题的常用方法

j先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.

…二…7殍打篙三示：海防三蓝5”如画;…茬三谖茬「前二工瓦］市;…瓦瓦弓方芬前%丽:色;7瓦。商南市

点，则下列说法错误的是（）

B

C

B.EFHGH

C.EG,FH,.以三线共点、D./EGB「WFHC\

2.（23・24高三下•全国•模拟预测）己知圆柱。。2中，AD,4C分别是上、下底面的两条直径，且

AD//BC,AB=BC=4f若也是弧8C的中点，N是线段的中点，则（）

A.⑷必=。乂4,。,加,7四点不共面B./1MHCV,4C,M,N四点共面

C.4W18DZX4CW为直角三角形D.4WHCN,Z\4CM为直角.三角形

3.（23-24高三上•山西大同•月考）（多选）已知正方体力BCQ-44GA中，。为8a的中点，直线4c交

平面月4A于点则下列结论正确的是（）

A.4M。三点共线B.4M。，4四点共面

C.4。。,收四点共面D.氏耳,O,M四点共面

4.（23-24高三下高三・江苏•专题练习）（多选）如图，在四棱柱月8c。-44GA中，48=4。=44=1，

AD1AA,,AD1AB,^A]AB=60°,M,N分别是棱力3和5c的中点，则下列说法中正确的是（）

A.4,C,,M,N四点共面B.B\N与AB共面、

C.4。_L平面/吕44D.4必，平面48CO

【题型2线面关系有关命题的判断】

判断空间线、面位置关系的常用方法:

（I）根据空间线面平行、垂宜的判定定理和性质定理逐项判断解决问题

（2）必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面位置关系，并结合有关定理

进行判断：

（3）借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作

出判断.

匚…，531%百兰下••迂苧王逐二横厂巨而直线二：英三蔡示同南直及「幸而基三不不同的卑面；

下列命题正确的是（）

A.若a_Lc,bLcy则

B.若aHb,alia,则Ma

C.若alia,bHa,c_La,且c_L6,则c_La

D.若/?_La,yLa,且夕0/=。，则〃_La

2.（23-24高三下•湖北•二模）a、B、V是平面，。，b,c是直线，以下说法中正确的是（）

A.aVy,ynB.:_1_.，clb=>a/!c

C.al/,夕a1P=a=>aLyD.b//a,bHBn°

3.（23-24高三下•贵州•三模）已知〃八〃是不同的两条直线，名夕是不重合的两个平面「则下列命题中，真

命题为（）

A.若用〃。,〃？〃n,则〃〃aB.若加_La,m_L人〃ua,则〃〃/

C.若〃ua,6_L〃，则m_LaD.若mUa,mH昵H讨H。，则a〃£

4.（23-24高三卜.・江苏南通•模拟预测）已知。，〃是两个平面,小，〃是两条直线，则下列命题错误的是

()

A.如果a//月，〃ua,那么〃//夕B.如果mJLa,nHa,那么m_L〃

C.如果，〃//〃，〃?_La,那么〃_LaD.如果，〃_L〃，rnla,n///?,那么a_L£

5.（23-24高三下•湖南娄底•一模）（多选）已知。,仇。是空间中三条不同的直线，a,力是空间中两个不同

的平面，下列命题不正确的是（）

A.若。_16,。1。,6（=。,0<3。，则a_LaB.若al0,ata,则。〃夕

C.若aHb,"c,aHa,则力/Z。或。〃a.D.若a_La,6_LA。〃3则a〃夕,

【题型3平行垂直关系的证明】

eo❽4

上体几何证明问题中的转化思想

1、证明线面平行、垂直关系问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的

判定定理和性质定理；

2、线线关系是线面关系、面面关系的基础，证明过程中要注意利用平面几何中的结论，起目中隐含的平行

和垂直关系，以及平行关系和垂直关系的相互转化。

7：石023荷苒桢救福记而囱二茬三标底7拓二彳瓦"市：箫；=工：7《工汨:吊而入前工下而1芮区:万

为44的中点.

(1)求证：4。//平面国;〃；

(2)求证：BCLAA,.

2.(23-24高三上•黑龙江大兴安岭地•月考)如图，底面为正方形的四棱锥尸-力8。中，P/_L平面48CRE

为棱尸C上一动点，PA=AC.

(1)当上为PC中点时，求证:4//平面BOE;

PF

(2)当/1E_L平面P8。时，求的值•

CE

3.(23-24高三上•山东洵泽•月考)如图，在四棱锥产一力8。中，平面平面,48CQ,PD1CD,

AB=2CD,CDHAB,已厂分别为棱48,24的中点.

(1)证明：平面尸力。〃平面CEF；

（2）利用题中条件能否得出PQL平面力4CQ?若不能，试添加一个适当的条件后证明POL平面力8C。.

4.（23-24高三下•青海西宁•二模）如图，在三棱柱48c中，ABAC=90°,AB=AC=242,

AXA=Afi=4,/4力8=AA.AC'

（1）求证：平面48CJ•平面N5C；

（2）求四棱锥4—用U的休积.

【题型4平面几何折叠问题】

gf

注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要注意哪些变了，哪些没变，还要注

意位置关系的变化.

0。@点

翻折问题的两个解题策略

1、确定翻折前后变与不变的关系：画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量

关系的变与不变.一般地，位于“圻痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于6折痕”两侧的

点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在

立体图形中解决

2、确定翻折后关键点的位置：所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点.因为这些点的位置移动，会

带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化.只

有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与

计算

工…苍二万高W下近防塞列子为5…，3逃黑巨而定为形7反方而扬系为Z「箴后春额葭1万工丁丽二匚酒

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