高考数学核心考点专题训练专题20平面向量的线性运算及其坐标表示(原卷版+解析)

专题20平面向量的线性运算及其坐标表示

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1.在AABC中，OA=a.而=5,OP=若［=嚅+jfj）,【A凡则点。在（）

A.乙4。8平分线所在的直线上B.线段AB垂直平分线上

C.AB边所在直线上D.AB边的中线上

2.已知点A,B,C在圆。上，\OA+OB\=\OA-OB\,XOA-n~OB=OC^则"+/=（）

A.1B.1C.；D.2

22

3.如图，在△48。中，ADA.AB,TH)「而+”中(八!/6lib\AD\=2,且而•而=12,则2x+y=

4.已知△48C所在的平面内一点P（点P与点A,B,C不重合），且而=5司+2而+3小，则aACP与

△BCP的面积之比为（）

A.2/1B.3/1C.3.2D.4/3

5.如图所示，矩形ABC。中，AB=4,AD=2,对角线AC、8。交于点。，点E是线段AO的中点，点

户是线段8c的中点，则屈=（）

6.将函数"幻二45而©-］幻和直线0。）=》一1的所有交点从左到右依次记为41，&,•••,若P点

坐标为（0,遮），则|西+西+…+艰|=（）

A.0B.2C.6D.10

7.。是平面上一定点,力,8,C是平面上不共线的三个点，动点P满足晶=0A+〃（箫+备），［。，+8）,

则。点的轨迹一定经过△48。的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

8.定理：点P是448。内任一点，则63小”1•*.mM+可讯其中S』BPC，S^APC'^AAPB分

别是ABPC,AAPC,ZL4PB的面积）.该定理的几何图形类似于奔驰车标，也被戏称为平面向量的“奔驰

定理”.已知44BC内一点O,满足280c=1，SAABC=7,且2次+3而+m小=0，则加=（）

A.9B.5C.2D.7

9.已知在Rt△48C中=90。〃8=1MC=2,。是△A8C内一点，且40/18=60。，设而=人而+

〃硝尢〃WR），则：=（）

A.2B.在C.3D.2Vs

33

1（）.在等腰梯形中，AB//CD,AB=2,AD=1,^DAB=点〃是线段A8上的一点，M为直线8C上

的动点，若前=3族,~AF=AA6，且荏•而=一1，则标•而的最大值为（）

A.:B.-普C.-1D.

46464

11.在平面直角坐标系xQy中，八和B是圆。:（％-1）2+丫2=1上的两点，且力B=冠，点尸[2,1）,则

|2对一而|的取值范围是（）

A.[V5-V2,V5+V2]B.[V5-1,'+1]

C.[6-266+2伺D.[7-2710,7+2V10]

12.设|力8|=10,若平面上点P满足对任意的4ER.,恒有|2而一2而|38，则一定正确的是（）

A.\~PA\>5B.|7\4+PS|>10

C.PA•PB>-9D.LAPB<90°

二,单空题（本大题共6小题，共30分）

W

13.如图，在△4BC中，已知力B=10,AC=5,,点M是边/W的中点，点N在直线AC上，

且前=3标，直线CM与BN相交于点P,则线段A尸的长为.

14,在梯形A8C。中，已知AB//CD,AB=2CD,DM=MC，CN=2'NB^若而7=/l前+〃而7，则2+

M=---------

A

B

N

15.如图，在等腰三角形A3。中，已知|AB|=|AC|=1,Z71=120°,E,尸分别是边AB,AC上的点，且彘=

AAB,AF=赢，其中九〃G（0,1）且2+4〃=1,若线段EF,BC的中点分别为MN,则即|的最小值是

16.如图，在△/1BC中，BD=?BC,点E在线段A。上移动（不含端点），若荏=/1而+〃宿贝吟+［的

取值范闱是.

17.已知正方形A8C。的边长为1.当儿《=1,2,3,4,5,6）每个取遍±1时，Mi而+%同+%而+，而+

A5ACI乙万目的最大值是.

18.如图，在△N8C中，AB=4,AC=2,加已知点£,小分别是边A8,AC的中点，点。

在边8C上.若丽•前=：,则线段40的长为_____.

4

三、解答题（本大题共2小题，共30分）

19.设两个非零向量〃与A不共线，

⑴若"=%+〃，4d=2。+汕，CD=3（a-Z?）,求证：4B,〃三点共线;

（2）试确定实数上使总+人和°+初共线.

20.平面内给定三个向量。=(3⑵，〃=(-l,2),c=(4.1).

(1)求满足。=mb+nc的实数〃7、〃：

(2)若(a+h)//(28-〃)，求实数〃;

(3)若向量2满足3-联)〃(。+加，且ld-小石，求4的坐标.

专题20平面向量的线性运算及其坐标表示

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

19,在AABC中,OA=a，OB=OP=p>若万=t（'+各,fWR,则点「在（）

A.乙408平分线所在的直线上B.线段AB垂直平分线上

C.A8边所在直线上D.48边的中线上

【答案】A

【解析】解：♦.♦耐=日，OB=b^OP=p，

月尸=嗡+制L

•••■74r和Y4r是aOAB中边OA、OB上的单位向量，

I«IIb|

・•舄+给在〃州平分线上，

，•幅+给在〃。B平分线上，

・••则点P一定在乙40B平分线上，

故选A.

20.已知点A,B,C在圆。上，|雨+丽|=|而一丽雨一〃砺=能，则"+〃2=（）

A.1B.1C.\D.2

【答案】B

【解析】解：••・点A，B,。在圆。上，设圆O半径为r,M|O4|=\0B\=\0C\=r,

^\OA+OB\=\OA-OB\f

（OA+OB）2=（OA-而『，

于是2r2+2OAOB=2rz-2OA-OB^

.'.OA-'OB=0^从而瓦？_1,抽.

因比，可以。为原点，直线OA,04分别为心），轴，建立平面直角坐标系，如图所示：

则圆。的方程为“2+y2=r2(r>0),z4(r,0),8(0,r),设C(x,y),

于是由2瓦？一〃而=0?,得：A(r,0)-^(0,r)=(x,y),

一川)=(x,y),从而二

又一+y2==2,

(Ar)2+(—〃r)2=r2,

因此;12+〃2=I.

故选B.

21.如图,在△ABC中，4。1AB.BD-IAS+£R卜\AD\=2»且而.同=12,则2x+y=

()

【答案】C

【蚱析】解：因为前=¥而+），前，

所以彳了一通=%35+y彳？

则而=（x+1）南+y宿AD•AD=AD-[（x+1）AB+yAC]

=[X+1）而•而+y而•宿

因为|而|=2，且而♦而二12,ADLAB,

所以4=12y,所以y=g,

又B,D,C共线，

则x+l+y=l,x=

所以2%+y=一;.

*5

故选C.

22.已知A/IBC所在的平面内一点P（点P与点A,B,C不重合），且丽=5万+2而+3厉，则与

△8CP的面积之比为（）

A.2/1B.3/1C.3/2D.4；3

【答案】A

【解析】解；_5~P0+20B+30C-2'PB+3'PC-2（AB-AP）+3（AC-APy

其中。为AC中点，AE=^AB,

J

则=§SMC8，S^ABP=2^hACB，

故选A.

23.如图所示，矩形ABC。中，AB=4,AD=2,对角线AC、8。交于点O,点E是线段AO的中点

A.-DE--COB.-DE-COC.-DE--COD.-DE--CO

2433324

【答案】A

【解析】解：以南，而为基底，

CO=--AC=--AB--AD,

222

DE=AE-AD=加一而=：（而+碉-而=海-海，

AF=AB+~BF=AB+-AD.

2

设而=xDE+y访，

则通+［而=xQAS-^^0）+y（~|AB-|AD）.

11.7,

尸一尸二1，

所以311解得7

一二一尸=

即#=癖_酒.

故选A.

24.将函数/(%)=45也©-］幻和直线9(吗=无一1的所有交点从左到右依次记为/11，/，…，4若。点

坐标为(0,6)，则|西+万石+~+双|=()

A.0B.2C.6D.10

【答案】D

【解析】解：/(x)=4sinQ-^x)=4cos(］x)与g(x)=x-1的所有交点从左往右依次记为力「公、4、

①和小，

且国和鱼，只和4,都关于点力3对称，显然4(1,0)，

.••4=(1.-V3),

如图所示:

则两+两+…+讯=5两=5(1,一6)，

所以俨否+网+…+户“|=10.

故选：D.

25.。是平面上一定点,4,8,C是平面上不共线的三个点，动点尸满足加=0A+〃(儡+售)，［0，+°°)，

则P点的轨迹一定经过△4?。的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

【解析】解.：・•・jg、翡分别表示向量而、前方向上的单位向量，

.•喘+款勺方向与血。的角平分线一致,

义・•丽=a+〃喘+蜀

...而一羽%=〃(篇+悬

.••向量而的方向与MAC的角平分线一致,

••.P点的轨迹一定经过△力8C的内心.

故选艮

26.定理：点P是44BC内任一点,则"i♦.”」一八力+、工“山可0(其中S/BPC，S/4PC，SAAPB分

另ij是48PC,AAPC,41PB的面积).该定理的几何图形类似于奔驰车标，也被戏称为平面向量的“奔驰

定理”.已知ZL48C内一点O,满足28℃=1，S/ABC=7,且2西+3砺+m沅=6，则m=()

A.9B.5C.2D.7

【答案】A

【解析】解：因为。是\|〃「内一点，满足.、＞；-1,、、i，,

所以若、3」，“厂/•⑴，则、X，小6」，

因比由“奔驰定理”知：OA+xOB+^-x)OC=0^

即方=-X丽+(%-6)南

又因为257+3而+mO?=6，

所以2[—工赤+(x-6)06]+30F+mOC=0,

即[3-2x)08+(2x-12+〃i)0C=0.

又因为而与无不共线，

所以[厂2：；0解得血=9.

故选4.

27.已知在Rt/iABC中，4B4C=90。,88=1,AC=2,。是△718C内一点，且乙ZM8=60。，设而=4荏+

〃配Q,〃WR)，则：=(।

A.巫B.在C.3D.2V3

33

【答案】4

【解析】解：山题意可建立坐标系并作出如下图形:

/1(0,0),8(1,0),C(0,2),

设。点坐标为(Q,b),ZJL4B=60。，b=V5a，

•••D{a,V3cz)»AD=(a,V3a)>

AD=AAB+〃AC(%〃£/?)•

•••(a,V3a)=A(l,0)+“(0,2)=Q,2〃)，

故选A.

28.在等腰梯形中，AB//CD,AB=2,AD=1,/-DAB=点尸是线段A8上的一点，M为直线8。上

的动点，若前=3廉,AF=AAB，且荏・丽=一1，则而•丽的最大值为（）

A.；B.C.-1D.

46464

【答案】B

【解析】解：因为力B〃CO,AB=2,AD=1,/〃八"-；，BC=3CE,AF=AAB

J

则4O=8C=1,由而•标=一1，

得到（诟-BAy（AF-AD）=（士前+AB）-（AAB-AD）

3

解得人=:,

4

设人B的中点为O,C。的中点为“，

以AB的中点。为坐标原点，为x轴，。，为y轴建立直角坐标系,

则见1,0）,以［4），。（一±日），F（-pO）,

直线8C.的方程为y=-1）即y=-V3X+遮，

5T

设M（x,一信+百），所以而•而=（一;x,V3x-V3）­（x+1,-V3x+y）

=--1--x2£-x-3、xz2+.9-x——3=-4/x2z1+7-x——7，

42224

当x=——&—=1时而•两取最大值，

2x（-4）16

最大值为-4x（6+"卷一：二一导

故选艮

29.在平面直角坐标系宜为中，八和4是圆。：（工一1）2+丫2=1上的两点，且AB=VL点P[2,l），则

|2两-丽|的取值范围是（）

A.[V5-V2,x/5+V2]B.[V5-1,N+1]

C.[6-2V5,6+2V5]D.[7-25M7+2\fw]

【答案】人

【解析】解：AB=五,取A3中点为M,CM=立，且CMJL/18,

2

延长M4至Q,使得MQ=3M/1=¥，

所以2而一而=而+同一而=两+两+说=两+3而=两+丽=而，

因为QC=JMC2+MQ2=遍，

所以。的轨迹是以C为圆心，石为半径的圆，

因为PC=V（2-l）2+（l-0）2=V2,

所以|所|e[V5-V2,V5+V2].

故选：A.

30.设[48|=10,若平面上点P满足对任意的aER.,恒有|2而一2而|>8，则一定正确的是（）

A.|R4|>5B.|R4+PF|>10

C.PAPB>-9D.Z.APB<90°

【答案】C

【解析】解：由|2所一入彳矶N8,得到|布一[彳同N4可知点P到直线/W的距离为4,

[PA\>4,所以选项A不正确，

设线段AB的中点为M,则|PM|mE=4,

A\PA+~PB\=|2PM|>8,所以选项8不正确，

当|P"lnun=4时，^APD>90°，,•・选项。不正确，PA-'PD=(PM-AM)•(/W+AM)=\PM\2-\MA\2>

16-25=-9，西・丽之一9，故选C

二,单空题(本大题共6小题，共30分)

31.如图，在a/IB。中，已知4B=10,AC=5,NO"'—二,点M是边相的中点，点N在直线AC上,

且近=3标，直线CM与6N相交于点P,则线段AP的长为

【答案】底

【解析】解：因为从P,N三点共线,

所以存在实数x满足而=xAB+(1-％)而=xAB+甘尼,

因为C,P,M三点共线,

所以存在实数)，满足而=yAM+(1-y)芯=+(1-y)正,

(x=y

乂而，近不共线，则

号：一「4'

所以3?=(南十;前,

所以府『=±(4|而(+4AB-AC+麻()

金X(4X1O2+4X1OX5X打52)=21,

所以府|=同,

故答案为

32.在梯形A6c。中，已知A8〃CD,AB=2CD,~DM=MC»CN=2~NB^若丽=2前十4而7，则/l十

〃=.

【答案】7

【解析】如图示；•••梯形ABO中，AB"CD,AB=2CD,而二祝，CN2~NB..■.AM=AC+'CM=

AC=+-(^+1^)=AC+-(^NC+NA)=+-NC+-NA=AC+-~AC--AN--AN

44、'4、2'84884

=1AC-^AN.又•.•宿=2配+〃宿，.,.4=:〃=_今故4+〃=：+(_?)==•故答案为：

oooooo44

33.如图，在等腰三角形4BC中，已知|AB|=|AC|=1,匕力=120。，E,F分别是边AB,AC上的点，且彘=

AAB,AF=/^AC»其中/l,〃W（0,l）月乂+4〃=1,若线段EF,BC的中点分别为M,N，则而的最小值是

【答案】g

7

【解析】解：连接AM、AN,

•••等腰三角形ABC中，\AB\=MC|=lfA=120°,：.AB-AC=\AB\­\AC|cosl20°=

•••AM是△/IE尸的中线，

1…一一"T1一…T..

••.AM=；G4E+AF)=；(44B+〃4C♦),

同理，可得而="而'+??),

2

由比可得丽=而一宿=11—入)而+)]_〃)；?？.•.而2=[l(i-A)AS+1(l-^)^C]=i(l-

4)2通.2+一浦(1一〃)南.前十；(1一〃)2万2=：(]—Q2一一%)(1-〃)+一4)2,

v2+4^=1,可得1—2=4〃，.,•代入上式得=二x(4〃)2-2x4〃(1—u)+(1—〃＞二色〃2-+

4442

：=日(〃一｝2+“..九〃6(0,1),.•.当4=1时，而2的最小值为]此时|丽|的最小值为了.

故答案为：,

N

AB

34.如图，在△ABC中，BD=；BC,点以在线段A，上移动（不含端点），若荏=4南+〃宿贝城+；的

取值范围是

【答案】谓,+8）

【解析】解：因为点E在线段A。上移动（不含端点），

所以设近=上而（0<k<1）.

又因为前=:就，

所以瓦5就=3（正一彳瓦），

因此荏=上而=上.（四+前）=上（而+^AC-：而）=k•（|而+］而）=日而+^AC.

又因为荏=4通+〃彳乙

"空

（一「因此扑户》右

设/W=与+*2+3（0VAV1）,

而由对勾函数的单调性知：函数y=&+：在（0,1）上单调递减，

所以函数f（k）=9+：在（01）上单调递减，

SK

因比f（k）>/（D=?，

所以1+%勺取值范围是（3,+8）.

故答案为（三,+8）.

35.已知正方形/WCO的边长为1.当入<=1,234,5,6）每个取遍±1时，|入南+/12近+43而+羽万彳+

前|的最大值是.

ASAC+A6

【答案】2V5

【解析】解：如图，

正方形A4C。的边长为1,可得而+同=而，BD=AD-AB^AB-AD=O^\A1AB+A2BC+A3CD+

''，•....♦,.一''....♦，♦''.♦,.，•'',♦’.

A4DA+A5AC+A6BD\=MlAB+A2BC+A3CD+〃DA+A5(AB+AD)+A6(AD-AB)\=|(乙-

_+-2Z

a3+改一入6)48+(九2-A4+As+A6)ADI=7(^1^3^6)+(^2-A4+As+A6)»

由于入(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1,

•••&-匕+原一狗，&一4+原+及1的最大值都为%

但是①当%+及=2或-2时，A5-A6=0,

出-入4+&+461可取最大值4,&一入3+4一及1最大值只能取2：

②当％+及=。时，A5-A6=2或-2,

&一%+七一人1可取最大值4,&一4+原+及1最大值只能取2.

可得所求最大值为"42+22=2V5.

故答案为：2v

36.如图，在△48C中，/8=4,AC=2,//LK'-间.已知点£,〃分别是边A8,4c的中点，点。

在边3C上.若瓦•前=¥，则线段8。的长为_____.

4

【答案】包

2

【解析】解：以A为坐标原点，八B为x轴，过A点的AB的垂线为），轴建立坐标系，如下图:

由题意得4(0,0),8(4,0),C(l,意),E(2,0),尸(；,鸟,

设D(x,y)(l<x<4,0<y<6)，

则配=（2—居-y），DF=配=（-3,6），前=（x-4,y）,

则而-D?=（2-x）Q-x）-y（y-y）=①，

又从D、C三点共线，则