高考数学一轮复习试题第6节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

第6节事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

考试要求1.了解两个事件相互独立的含义2理解随机事件的独立性和条件概率

的关系，会利用全概率公式计算概率.

知识诊断,基础夯实

知识梳理

1.相互独立事件

(1)概念：对任意两个事件A与8,如果PG48)=P(A)P(8),则称事件A与事件8

相互独立，简称为独立.

(2)性质：若事件A与6相互独立，那么A与忆，A与&A与8也都相互独立.

2.条件概率

p(48)

⑴概念：一般地，设A,8为两个随机事件，且P(A)>(),我们称PGBIA尸「小

为在事件A发生的条件下，事件8发生的条件概率，简称条件概率.

(2)两个公式

①利用古典概型，P(B\A)=S===；

②概率的乘法公式：2(A切=F(A)产出IA).

3.全概率公式

一般地，设设,Ai,…，4?是一组两两互斥的事件,4U4口…UA〃=O,且P(4)

>0,/=1,2,…，小则对任意的事件BG。，有P(B)=gp(4)P(3胤)，

我们称上面的公式为全概率公式.

|常用结论，

p(AR)

1.计算条件概率除了应用公式P(5|A)=p外,还可以利用缩减公式法，即

1V/

P(B|A)=〃(管,其o"(A)为事件A包含的样本点数，〃(/W)为事件AB包含的

flV/I7

样本点数.

2.全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，

转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

⑴若事件A,B互斥,则P(B|A尸1.()

(2)全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率.()

(3)P(A)=P(A)P(BIA)+P(A)P(B|A).()

(4)P(A)=P(BA)+2(8A).()

答案(1)X(2)V(3)X(4)X

解析(1)若事件A,B互斥,则P(B|A)=0；

(3)P(B)=P(4)P(3|4)+P(A)P(B\A)；

(4)P(5)=尸(3A)+P(ZM).

2.(易错题)某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分

别为本*只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且是否通

过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为()

25

-C-

B.36D.

答案c

解析设4="第，・次通过第一关"，Bi="第i次通过第二关“，其中i=l,2；

由题意得，选手能进入第三关的事件为A\B\-VA\A2B\A\A2B\B2,

231232131

所求概率为尸(AiBi+442Bi+4i8i及+AiA23i&)=qXj+QXqX]+qXwX1+Q

2135

X-X-X---

3446

3.(易错题)(2021•滁州期末)根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为

4，下雨的概率为茶，既吹东风又下雨的概率为1，则在吹东风的条件下下雨的

概率为()

88

-C

A.9D.TT

答案A

解析设事件A表示某地四月份吹东风，事件B表示四月份下雨.

8

30«

根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率为P（B|A）=y=1.

30

4.（2021.新高考I卷）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有

放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，

乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字

之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7"，则（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

答案B

解析事件甲发生的概率P（甲）=:，事件乙发生的概率P（乙）=:，事件丙发生的

概率P（丙）=亳=今，事件丁发生的概率P（丁）=$=*.事件甲与事件丙是互

OXOJOOxOO

斥事件，不是相互独立事件，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为七

1

一而

P（甲丁）=P（甲）尸（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为康=表，

P（乙丙）WP（乙）P（丙），故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事

件，故D错误.

5.（2022•青岛检测）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件

实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有

受损的概率为0.85,当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为

0.80,则该构件通过质检的概率为（）

A.0.4B.0.16C.0.68D.0.17

答案C

解析设4•表示第i次打击后该构件没有受损，i=l,2,则由已知可得尸（4）=

0.85,P（A2|Ai）=0.80,因此由乘法公式可得P（AiA2）=P（Ai）P（A2|Ai）=0.85X0.80

=0.68,即该构件通过质检的概率是0.68.

6.（2021.天津卷）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一

方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率

分别为总和I且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则

O3

一次活动中，甲获胜的概率为,3次活动中，甲至少获胜2次的概率为

较安222

口木327

解析由题意可得一次活动中，甲获胜的概率为15X41号2；在3次活动中，甲至少

V*JJ

23

获胜2次的概率为dxg)x|+Q=瑞

I考点突破,题型剖析

[]考点一相互独立事件的概率

例1(2020・全国1卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如卜：

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛

的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人

被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛

结束.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为;.

⑴求甲连胜四场的概率；

⑵求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率.

解⑴甲连胜四场的概率为七.

(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.

比赛四场结束，共有三种情况：

甲连胜四场的概率为七乙连胜四场的概率为七；

丙上场后连胜三场的概率为！

O

所以需要进行第五场比赛的概率为

(3)丙最终获胜，有两种情况:

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为《；

O

比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空

结果有三种情况；胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为七1.

因此丙最终获胜的概率为

1+±+1.1=2,

8十16十8十816-

感悟提升求相互独立事件同时发生的概率的方法

(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.

(2)正而计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立

事件入手计算.

训练1在生活小常识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关生活小

常识的问题，已知甲答对这道题的概率是本甲、乙两人都回答错误的概率是已

乙、丙两人都回答正确的概率是".设每人回答问题正确与否相互独立.

(1)求乙答对这道题的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.

解(1)记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对这道题”分别为事件A,

B,C,设乙答对这道题的概率P(B)=x,由于每人回答问题正确与否相互独立，

因此A,B,。是相互独立事件.

由题意可知,P(A)=1,尸&3)=尸(A)P(5)=(1—[)x(1—%)==解得k|,所

2

以乙答对这道题的概率为P⑹得.

(2)设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M,丙答对这道题的

?13

概率P(C)=y,由题意可知，P(BO=P(B\P(C)=^y=^解得)，=嬴

甲、乙、丙三人都回答错误的概率为PCABC尸PS)尸⑻尸(0=(1—皆X(l一§

所以甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率为P(M)=1—P(4BC)=^.

考点二条件概率

例2(1)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.现

需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第

二次拿到红球的概率为()

3132

-C--

A.389

10

答案B

解析设“第一次拿到白球”为事件A,“第二次拿到红球”为事件从依题意

212X31

P(A)=73=M尸(AB)=]()X9=正,

P(AB)1

尿尸仍■)=.(4)=?

(2)对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2

件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是()

3广2「2

A5B5C9D-3

答案D

解析记4="第一次摸出的是次品“，8=“第二次摸到的是正品“，由题意知,

42464

P(A)=正=5，P(AB)=-^X-=—,

4

小P(A8)L52

川P(B]A)=p(A)=?=?•

5

感悟提升求条件概率的常用方法

p

(1)利用定义，分别求尸(4)和P(AB),得「(3]A)=口(4)

(2)借助古典概,型概率公式，先求事件A包含的基本事件数〃(4),再在事件A发生

〃(A8)

的条件下求事件B包含的基本事件数，即〃(A8),得P(8|A)=

〃(4)

训练2(1)某射击选手射击一次击中10环的概率是小连续两次均击中10环的概

率是:，已知该选手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是()

25

--

A.5B.8C.TD.T

答案B

解析设该选手某次击中10环为事件A,随后一次击中10环为事件8,则尸(A)

41

=5»P(ABf,

p(ziR)25

・••某次击中10环，随后一次击中10环的概率是P(B|A)=Q1八=W=R.

1\/I7±O

5

(2)有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中，随机

抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为.

答案0.72

解析设种子发芽为事件A,种子成长为幼苗为事件8(发芽又成活为幼苗).

依题意P(5H)=O8,P(A)=0.9.

根据条件概率公式尸(/W)=P(8|A)・P(A)=0.8X0.9=0.72,即这粒种子能成长为幼

苗的概率为().72.

考点三全概率公式的应用

例3甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,().5,0.7.

飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都

击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.

解设8=”飞机被击落“，4="飞机被i人击中“，i=l,2,3,则8=43

+42A+A3&P(用4)=02,0(用42)=0.6,。(用4)=1,

由全概率公式，得

P⑻=P(A\)P(B\A\)+P(Ai)P(B\A^+P(A3)尸(5队3).

为求P(4),设F=｛飞机被第i人击中｝,

；=1,2,3,且％,H?,“3相互独立，

则尸(Hi)=0.4,P(“2)=0.5,尸(“3)=07

故P(Ai)=P(HiH2H3+HTH2H3+HTH2H3)

=P(”])P(“2)P(H3)+P(F)P(“2)P(”3)+P(F)P(”2)P(“3)=0.36,

P(A2)=P(H\H2H3+H1H2H3+HlH2H3)=尸(Hl)P(”2)P(”3)+P(”l)「(“2)P(”3)+P(H

I)P(H2)P(“3)=0.41,

P(A3)=P(H1H2H3)

=P(”I)P(“2)P(”3)=O.I4.

于是P(B)=P(A1)P(8|AI)+P(A2)P(B|A2)+

=0.36X0.2+0.41X0.6+0.14X1=0.458,

即飞机被击落的概率为().458.

感悟提升利用全概率公式的思路

(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件4(i=l,2,…，力；

⑵求P(4)和所求事件B在各个互斥事件4发生条件下的概率P(B\Ai);

(3)代入全概率公式计算.

训练3某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产

量的15%,20%,30%和35%,且四条流水线的产品不合格率分别为0.05,0.04,

0.03和0.02,现从该厂的这一产品中任取一件，问抽到不合格品的概率是多少？

解设4="任取一件这种产品，抽到不合格品”，

Bi="任取一件这种产品，结果是第i条流水线的产品"(i=1,2,3,4),则Q

=BIUB2UB3U&,且BI,&,以两两互斥，根据题意

尸(B)=0.15,P(B2)=0.20,P(&)=0.30,尸(物)=0.35,P(A|Bi)=0.05,P(A\Bi)=

0.04,P(A|B3)=0.03,P(4|&)=0.02,

由全概率公式，得

P(A)=P(Bi)P(A|Bi)+尸(B2)P(A|&)+P(&)尸(A|&)+P(&)P(A|&)=0.15X0.05+

0.20X0.04+0.30X0.03+0.35X0.02=0.0315,

故从该厂产品中任取一件，抽到不合格品的概率是0.0315.

I分层训练,巩固提升

A级基础巩固

1.甲、乙两个袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，

其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球，现分别从甲、

乙两袋中各抽取1个球，则取出的两个球都是红球的概率为（）

A5「5厂1n13

A.无B6C9D,l8

答案C

解析由题意知，“从甲袋中取出红球”和“乙袋中取出红球”两个事件相互独

立，

42

从甲袋中取出红球的概率为厂示

从乙袋中取出红球的概率为右

211

-X-=-

369

2.（2022・广州调研）甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能

荣获一等奖的概率分别为2各3味甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个

人中恰有一人获得一等奖的概率为（）

3255

----

A.437

12

答案D

解析根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获奖乙没获奖或甲没获奖乙获奖,

I2

3.设A,8为两个事件，且P(A)>0,若P(43)=§,P(A)=y则P(8|A)=()

A.；B.,C.^

答案A

5JLP(AB)31

解析P(B|A)=尸(A)-=2=2'

3

4.已知P(B)=Q3,P(B|A)=0.9,P(用4)=0.2,则P(A)=()

C.0.33D.0.1

答案A

解析由P(8)=P(A)P(8|A)+P(A)P(8|A),可得O.3=P(A)XO.9+(1一尸(A))X0.2,

解得P(A)=1.

5.(多选)下列各对事件中，M,N是相互独立事件的有()

A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M=“出现的点数为奇数”，事件N="出

现的点数为偶数”

B.袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件

M=”第1次摸到红球"，事件N="第2次摸到红球”

C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M="第1枚为正面”，事件N="两枚结果

相同”

D.一枚硬币掷两次，事件M="第一次为正面”，事件N="第二次为反面”

答案CD

解析在A中，P(MN)=。，所以例，N不相互独立；

在B中，M,N不是相互独立事件；

在C中，P(M)=1,P(/V)=1,P(MN)=：，P(MN)=P(M).P(N)，因此M,N是相

互独立事件；

在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M,N是相互独立事件.

6.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀

老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件

A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项

目”，则P(4|B)等于()

132

---

A.449D-9

答案C

3

解析由已知得尸(8)=3a=老27，

P(AB)=N=128,

疗,P(AB)2

所以尸(A|B)=p(B)-=§•

7.开元通宝是我国唐代的一种货币，向开元通宝上任意投掷一粒芝麻，第一次投

进方空的概率约为0.5,在第一次投到开元通宝上的条件下第二次也投进方空的概

率约为0.3,则这样连续两次都可把芝麻投进方空的概率是.

答案0.15

解析设4•表示第i次把芝麻投进方空，，=1,2,则由已知可得尸(4)=0.5,尸(42|4)

=0.3,

因此由乘法公式可得PTAIA2)=P(A1)P(A2\A1)=0.5X03=0.15,

即连续两次都可把芝麻投进方空的概率是0.15.

8.一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝

球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A=“取出的两个球颜

色不同"，事件8="取出一个黄球，一个蓝球”，则P(8|A)=.

宏口案呆—47

解析因为P(A8)=罂=M

CiCRCiCi+ClCi47

P(A)=cb=诿，

工，P(AB)20

故「(8)A)=p⑷=行

9.甲、乙两名同学参加一项射击比赛，其中任何一人每射击一次击中目标得2分,

3

未击中目标得。分.已知甲、乙两人射击互不影响，且命中率分别为与和p.若甲、

9

乙两人各射击一次得分之和为2的概率为方，则p的值为.

答案I

解析设“甲射击一次，击中目标”为事件A,“乙射击一次，击中目标”为事

件&则“甲射击一次，未击中目标”为事件4“乙射击一次，未击中目标”为

3-32-3

事件B,则P(A)=.&A)=1一$=予P(B)=p,尸(B)=l—p.依题意得5*(1—p)

293

+§义〃=与，解得〃=工.

10.(2022・济宁模拟)甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点4,

在点A处投中一球得2分，不中得()分；在距篮筐3米线外设一点3,在点区处

投中一球得3分，不中得0分.己知甲、乙两人在A处投中的概率都是多在B处

投中的概率都是:，旦在A,8两处投中与否相互独立，规定甲、乙两人先在A处

各投篮一次，然后在8处各投篮一次，总得分高考获胜.

(1)求甲投篮总得分4的分布列；

(2)求甲获胜的概率.

解(1)设“甲在A点投中”为事件A,“甲在3点投中“为事件注

根据题意，4的所有可能取值为0,2,3,5,则

P(『)=P(AB)=(I_£)><(I_?=/

P(i=2)=P(A8)=3X(1_g)=g,

P(0=3)=P(AB)=(l

P(f=5)=P(AB)=|x|=|,

所以4的分布列为

0235

1111

P3366

因此所求概率为P=Pe=2)XP(〃=0)+PQ=3)XP(〃V3)+PQ=5)XP(〃V5)=g

xi+ixa+|>ixfi-1)=B

36133/6l0736

II.现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放

回地依次抽取2个节目，求

(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；

(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；

(3)在第1次抽到舞蹈羊目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.

解设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈节目为事件&则第1次

和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.

⑴从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数〃(0)=A3=3O.

根据分步乘法计数原理，有〃(A)=A1Ag=20,

c〃(A)202

所以P(A)=〃⑺=而=]

(2)因为〃(A8)=AW=12,

”,n(AB)122

所以P(AB尸〃(Q)=%=:

⑶法一由(1)(2),得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概

率

2

PCAB)53

P(8|A)=p(4)=7亍

3

法二因为〃(A