高考数学一轮题型归纳与解题策略考点07函数的单调性与最值4种常见考法归类(原卷版+解析)

考点07函数的单调性与最值4种常见考法归类

高频考点

考点一确定函数的单调性（3）三次函数

<-）判断函数的单调性<4）对数函数

（二）用定义证明函数的单调性（5）分段函数

（三）求函数的单调区间（6）与绝对值有关的单调性问题

考点二函数单调性的应用考点三函数的最值问题

（-）利用单调性比较大小（一）利用函数单调性求最值

（二）利用函数的单调性解抽象不等式（二）根据函数最值求参数

（三）利用函数的单调性求参数的取值范围（三）函数不等式恒成立问题

（1）分式函数（四）函数不等式有解问题

（2）二次函数考点四抽象函数的单调性问题

金二解题策略

1、函数单调性的判断方法：

（1）定义法：在定义域内的某个区间。上任取不超并使得为<与，通过作差比较/（M）与/（士）的大

小来判断单调性。

具体如下：设X”必£（4,b）,且记Ax=xi—X2,Ay=Jlxi）—f（X2）f那么

>0。加x）在（〃，力）内是增函数；

段V0弓（x）在（〃，力）内是减函数.

上式的几何意义：增（减）函数图象上任意两点（占，人注）），（肛，人刈））连线的斜率恒大于（或小于）零.

②增函数与减函数形式的等价变形：Vxi,X2^［afW且。声X2,则

j（xi）-f（X2）

（Xi—X2）LAXI）~/（X2）］>O<=>X\—X1>0=1AX）在l〃，W上是增函数；

j（XI）7（X2）

（X1--t2）［/（xi）一次X2）］vOOXI—X2vOO/tt）在［a,b］上是减函数.

(2)性质法：

①当常数c>0时，)，=°八》与y=/lx)的单调性相同；当常数cvO时，y=c叭x)与y=/(x)的单调性相反,

特别地，函数)，=一/(外与)，=〃x)的单调性相反.

②当)，=/m)恒为正或恒为负时，)，=/右-与y=/U)的单调性相反.

③若c为常数，则函数y=人工)与函数y=/U)+c的单调性相同.

④若函数/(X)为增函数，g(x)为增函数，〃(1)为减函数，W")为减函数，则有

1)/(x)+g(x)为增函数，2)/(%)-〃(%)为增函数,3)〃(#+奴x)为减函数，4)〃(x)-g(x)为减函数。

⑤若｛x)>0且g(x)>0,/lx)与g(x)都是增(减)函数，则Hx)・g(x)也是增(减函数)；若J(x)vO且g(x)<0,f(x)

与g(x)都是增(减)函数，则八x)・g的是减(增涵数.

⑥奇(偶)函数在其对称区间上的单调性相同(相反).

(3)图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单

调性。由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续

的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“U”连接.

(4)复合函数法：对于函数y=/[g(x)],可设内层函数为〃=g(x),外层函数为)，=/(〃)，可

以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函

数y=/[g(x)]在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则或数

y=/[.?(工)]在区间D上单调递减.

，=g(x)增函数rT减函数增函数/T减函数

y=/(O增函数yT减函数yT减函数增函数

产/[g(H])'随着x的增大而增随着X的增大而增)'随着X的增大而)随着X的增大而

大大减小减小

增函数增函数减函数减函数

(5)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数.

对于函数)，=4幻，如果在某个区间上外幻>0,那么｛X)在该区间上单调递增；如果在某个区间上八制

V0,那么Ax)在该区间上单调递减.

2、函数单调性的应用

（1）比较大小.比大小常用的方法是①利用单调性比大小；②搭桥法，即引入中间量，从而确定大小

关系；③数形结合比大小。

注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1,一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的

图像判断大小。比较函数值的大小，常由函数的奇偶性、周期性等，将自变量转化到同一单调区间内，再

利用函数的单调性，通过比较自变量的大小来比较其函数值大小.

（2）解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将符号脱掉，使其

转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.

解抽象函数不等式问题（如：-5）<2.）的一般步骤：

第一步：（定性）确定函数八x）在给定区间上的单调性；

第二步：（转化）将函数不等式转化为的形式；

第三步：（去。运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号V，，转化成一般的不等式或不等式组；

第四步：（求解）解不等式或不等式组确定解集；

第五步：（反思）反思回顾.杳看关犍点，易错点及解题规范.

注：自变量的大小关系和函数值的大小关系可正逆互推，即若人幻是增（减）函数，贝1」人加勺3）=《

X2（X1>X2）.在解函数不等式时，可以利用函数单调性的“可逆性”，“脱去”函数符号力化为一般不等式求解,

但运算必须在定义域内或给定的范围内进行.

（3）利用函数单调性求参数的取值范围.

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参

数；

②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。

③需注意若函数在区间加上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；

④分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对

断点处的函数值的大小有要求，如果是增函数，则在断点处左边的函数值〈右边的函数值，如果是减函数，

则在断点处左边的函数值2右边的函数值，

注意：“单调区间”与“在区间上单调”的区分

（1）函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域.（2）单调

区间是完整的区间，在区间上单调可能只是部分单调区间.

3、求函数最值（值域）的五种常用方法及注意点

（1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；

（2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；

（3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值；

（4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；

（5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

注：（1）求函数的最值时，应先确定函数的定义域；

（2）求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小

的作为分段函数的最小值.

4、函数最值的重要结论

（1）设大外在某个集合D上有最小值，机为常数，则人在D上恒成立的充要条件是仑姓

（2）设大X）在某个集合。上有最大值，加为常数，则/（X）SH在。上恒成立的充要条件是/WmaSm.

5、抽象函数的单调性

（1）所谓抽象函数，一般是指没有给出具体解析式的函数，研究抽象函数的单调性，主要是考查对函

数单调性的理解，是一类重要的题型，而证明抽象函数的单调性常采用定义法.

（2）一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是犷x+y）”型，二是犷孙尸型,对于人x

+y）型的函数，只需构造人x2）=/tn+（x2—xD],再利用题设条件将它用A©）与人也一xi）表示出来，然后利

用题设条件确定人以一XI）的范围（如符号、与“1”的大小关系），从而确定/（X2）与〃X1）的大小关系；对/（盯）型

的函数，则只需构造兀3=73年）即可.

4I

6、常见抽象函数及其原型

（l/x+y）=>AX）+穴>，）+次，原型为一次函数八x）=Ax+〃.

（2次r+y）=/U）：Ky）,原型为人幻=必（〃>0,且存1）.

（3次町）=知）+①），原型为府）=10宾3>0,且在1）.

（4次”十刃+於一切=羽40，）伏0）和），原型为/U）=cosx.

普考点精析

考点一确定函数的单调性

（-）判断函数的单调性

1.（2023・四川•高三统考对口高考）在定义域内单调递减的函数是（）

A.y=2-1B.y=hvcC.>'=sin2xD.y=x3

2.（2023・浙江•统考二模）下列函数在区间（0,2）上单调递增的是（）

A.y=(x-2)2

C.y=sin(x-2)D.y=cos(x-2)

3.（2023春,上海浦东新•高三华师大二附中校考阶段练习）下列各项中，既是奇函数，又是增函数的为（）

A.），=尸+1B.y=x4-2

C.y-A?D._3

）v~xr

4.（2023・北京•高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在区间（O,+R）上单调递增的是（）

A.y=cosxB.y=eHC.>'=IgxD.y=-

X

5.（2023春•黑龙江齐齐哈尔・高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在（0,十e）

上单调递增的为（）

A.y=taurB.y=ln（l+x）-ln（l-x）

C.y=D.y=e-e-x-2x

T

6.（2023•宁夏银川•统考模拟预测）已知函数/（x）=l-环］，则（）

A./（力是偶函数且是增函数B./（力是偶函数且是减函数

C./（%）是奇函数且是增函数D./（力是奇函数且是减函数

（二）用定义证明函数的单调性

7.（2023秋・河南许昌•高三校考期末）已知函数/（力="3,/（1）=；,/（0）=0.

人I乙a

⑴求了（力的解析式；

⑵判断并证明函数/（X）在（YO,-2）上的单调性.

8.（2023・全国•高三阶段练习）已知奇函数/3=啜"的定义域为［-。-2,b］

（1）求实数&b的值;

（2）判断函数/（力的单调性，并用定义证明；

⑶当八同1,2］时，2+0（切+2、>0恒成立，求机的取值范围.

|_y

9.（2023•高三课时练习）已知《数f（x）=Iogw—（0<«<1）.

11人

⑴求函数“力的定义域D,并判断外力的奇偶性；

（2）用定义证明函数/（“在。上是严格增函数;

⑶如果当xe（/,a）时，函数的值域是（f/），求a与/的值.

（三）求函数的单调区间

10.（2023春•内蒙古呼伦贝尔•高三校考开学考试）如图是函数），=/（工）的图象，则函数/（M的减区间是

C.(―l,O)<J(l,+cc)D.(―1,0),(1,4-co)

11.（2023春•河南洛阳•高三统考期中）函数），=（/-hr的单调递增区间为（）

A.(l,+oo)B.(“+8)

C.(-1,0)D.(0,1)

12.（2023・全国•高三专题练习）函数/（工）=471^7的单调递增区间是（）

A.《8,1]B.[l,+oo）C.「,3]D.[-1,1]

13.（2023・全国•高三专题练习）函数=的单调递减区间是

A.（-8,+8）B.（-00,1）C.（X-HX＞）D.

14.（2023•全国•高三专题练习）函数/（x）=ln（2f—3工+1）的单调递减区间为（）

A.（f（B.卜8,1）C.;,+8）D.（!,+℃）

15.（2023・河北•高三统考学业考试）己知函数/3=2--25+〃.关于函数f（x）的单调性，下列判断正

确的是（）

A./（幻在（-0,2）上单调递增B./（幻在（-8,2）上单调递减

C./（X）在上单调递增D./*）在上单调递减

16.（2023・全国•高三专题练习）函数/（x）=f-2国+5的单调增区间是（）

A.(YO,-1)和(0,1)B.（YO,-【）和（1*）

c.[-1,0]和[L”)D.(-1,0)和(0,1)

17.(2023・全国•高三专题练习)函数f(x)=k-2|x的单调递减区间是()

A.[1,2]B.[-1,0]C.(0,2]D.[2,+8)

18.(2023・全国•高三专题练习)函数/(同=k2-3%+2|的单调递增区间是()

A.E'*0)和[2,+8)

「3](3^r

C.(—00,1]和—,2D.和[2.+8)

考点二函数单调性的应用

(-)利用单调性比较大小

19.(2023秋・天津南开•富三统考阶段练习)已知〃=1。&2力=bg43,c=2°」，则().

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

20.(2023・安徽合肥•校考模拟预测)已知〃H,考,则。，"，c的大小关系为()

O

A.b<c<aB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c

21.(2023・高三课时练习)若函数y=/(幻在R上是严格减函数，则下列各式成立的是()

A.f(a)>f(2a)；B./(^2)</(«)；

C./(^+2)</(2«)；D.+1)>/(〃).

22.(2023秋•江苏常州•高三华罗庚中学校考阶段练习)已知函数/(x)=eT-e"卜为自然对数的底数)，若

a=7°5,〃=1叫$。7,c=log075,则()

A.f(b)<f(a)<f(c)B.fW<f(b)<f(c)

C.f[c)<f(a)<f(b)D.

23.(2023・全国•高三专题练习)已知函数f(x)=siiu-2x,且。=小沙=/(啕%=/(2%，则以

下结论正确的是

A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c

/、-2x+2-A(x>0)

24.(2023・重庆・统考模拟预测)设函数3/，若〃=M2,〃=3叫。=1。加2,则()

r(xWO)

A.f\a)>f(b)>f[c)B.f(b)>f(a)>f[c}

C.D.f(c)>f(a)>f(b)

25.（2023・全国•高三专题练习）若3“+log3a=9〃+31og”〃，则下列结论正确的是（）

A.a>2bB.a<2bC.a>b1D.a<b~

（二）利用函数的单调性解抽象不等式

26.（2023春・安徽阜阳,高三安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知函数/（力是定义域为（0,+8）的减函

数,若/（2-2团）>/（1+〃。，则实数〃?的取值范围是（）

fl1

A.1产B.C.D.

1

2

27.（2023・全国•高三专题练习）设函数/（%）=«1则满足〃2x—的x的取值范围是（）

log2x,x>-,

3

A.12B.C.—00,—D.

254［川45」

x2+3x+2,x>0.।

28.（2023春・天津宝城・高三天津市宝诋区第一中学校考阶段练习）已知函数/（6=・cc,则

2,x<0

满足不等式/（3-的1的取值范围是（）

A.(—3,1)B.[-c.(-⑸)D.[-6,6]

+21r>0

29.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=《2；一\则不等式/（3x+2）</（x-4）的解集为（）

—x+2x,x<

3

A.（一一3）B.—00,-----

2

C.(-oo,-l)D.（3）

T"<°,则不等式(的

30.（2023秋•山东荷泽・高三统考期末）已知函数〃x）=睛/2,2-l)>/(3r/+4)

2-x\x^0

解集为（）.

A.-\<a<-B."一1或

2

(5(,5]

C.(f-1)D-,+00D.七

12\JJ

31.（2023秋・河北秦皇岛•高三校考期中）已知函数/（x）=[若/（4-〃）>/（〃），则实数。的

4x-x\x<0

取值范围是（）

A.（一8,2）B.（2,H-OO）

C.（—8,—2）D.{—2,H-oo）

（三）利用函数的单调性求参数的取值范围

（1）分式函数

32.（2023秋・江苏盐城•高三盐城市伍佑中学校考阶段练习）若函数/（1）=竺?（。€2）在区间（-2,+00）上

x+2

单调递增，则〃的最小值为.

33.（2023•浙江杭州•模拟预测）设awR,则是”函数〃工）=竺?在（I,”）为减函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

34.（2023・全国•高三专题练习）函数/（力=一=二在（1，内）上是减函数，则实数。的范围是_______.

（2）二次函数

35.（2023秋•河北唐山・高三唐山市第十一中学校考阶段练习）若函数=+2a-2在（3,e）上是减

函数，则实数。的取值范围是（）

A.（—3]B.（"[）C.[3,-H»）D.（f3）

36.（2023・全国•高三专题练习）已知函数〃力=/-2⑪+3在区间[2,8]是单调递增函数，则实数〃的取值

范围是.

37.（2023秋・天津武清•高三天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）已知函数/（1）=9-2工+3在区间

上」+1]上是单调函数，则，的取值范围是（）

A.[1,+°°）B.[0,1]C.（fO]D.（-<®,0]U[1,4<O）

38.（2023秋•吉林四平•高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知函数/（x）=a^+（2a+2）x-2,若对

于任意-I?王修？1,都有""）>一2,贝三的最小值为（）

司一吃

A.—2B.—IC.—D.0

2

39.（2023秋•江苏扬州•高三江苏省高邮中学校考开学考试）已知函数f（x）=f+a|x-l|T在区间[0,y）

上单调递增，则实数。的取值范围为.

（3）三次函数

40.（2023春・北京・高三北京八十中校考期中）己知函数/。）=-丁+公,贝是TXY）在R上单调递

减”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

41.（2023•全国•高三专题练习）已知函数在（3,y）上单调递增，在（1,2）

上单调递减，则实数a的取值范围为（)

10_5

.B.(—8,-2]

AT，-2

D._3

（4）对数函数

42.（2023秋・湖北•高三校联考期中）己知函数/。）=网/-3/-4）在（a,y）上单调递增，则。的取值范闱

为（）

A,1^+8）B.[4,+00）C.（fTD.

43.（2023秋•四川遂宁•高三校考阶段练习）若函数/（力=1叫（2.■加）在区间上为减函数，则。的

取值范围是-

1\

44.（2023春•四川成都•高三校考阶段练习）若函数〃x）=log“（Y-a。（〃>0且"1）在区间-亍。内

单调递增，则〃的取值范围是（）

A.

45.上单调递增，则出的取

值范围为（）

46.（2023・全国•高三专题练习）己知实数x,y满足x+2'=2,2>'+log2y=I,则x+2y的值是

（5）分段函数

47.（2。23秋•湖北省直辖县级单位•高三校考阶段练习）已知/⑺=产二匕：?；；’2是定义在R上的

减函数，那么。的取值范围是—.

（a-l）.r+—,x<1

2"J在定义域R上满足对任

48.（2023秋•宁夏固原•高三隆德县中学校考期中）函数/（幻=

意实数x产与都有旦止&则〃的取值范围是

5之二:［在R上单调递减的一个充分不必

49.（2023秋・河南郑州•高三校考期末）函数〃x）=

要条件是（）

0.|

A.B.C.D.°4

-2）：+3,x；（。>0且存］）是口上

50.（2023秋・广西玉林•高三校联考阶段练习）已知函数/（x）=

x+5a,x>I

的单调函数，则。的取值范围是1）

0；U(l,+oo)

A.。彳卜。,+oo)B.

2八

C.rr（1，+8）D.(1，+8)

tx2+x+2,x<t

51.（2023・四川•模拟预测）已知函数/"）=<且f（x）在定义域上是单调函数，则实数/的取

x+>z

值范围为（）

A.(-oo,-l]B.(1,5)C.(-1,2)D.(-l,+oo)

（6）与绝对值有关的单调性问题

52.（2023・全国•高三专题练习）"a=2”是“函数/（x）=k-a|在区间［2,y）上为增函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

53.（2。23・全国•高三专题练习）若函数>=-口-川与丁=3在区间口⑵上都是严格减函数'则实数"的

取值范围为（）

A.(-oo,0)B.(-l,0)u(0,l]C.(0,1)D.(0,1]

54.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=2**（阳为常数），若/（%）在区间［2,”）上是增函数,

则阳的取值范围是

考点三函数的最值问题

（一）利用函数单调性求最值

55.（2023秋・山西阳泉•高三统考期末）已知函数=-在区间[〃,可上的最小值为3°,最大值为

3b,则4+〃=（）

113

A.-4B.-C.2D.—

66

ev-,,x<l

56.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（9=1，则/（x）的最大值为______.

——x+l,x>1

X

57.（2023秋・江苏苏州•高三校联考阶段练习）已知函数/。）=:金是R上的偶函数

⑴求实数川的值,判断函数/（X）在[0,+8）上的单调性;

⑵求函数/（X）在[-3,2]上的最大值和最小值.

（二）根据函数最值求参数

58.（2023秋・山东枣庄•高三统考期末）若函数/"）=与等在区间[0,1]上的最大值为3,则实数〃尸.

59.（2023•上海徐汇♦统考二模）已知函数/（力="+9+6,反抬），其中〃>0,aeR,若〃力的最

.1

小信为2,则实数。的取值范围是.

60.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=3"+J匚最小值为。，则〃=_____________.

3+13

61.（2023・高三课时练习）已知函数/（x）=2k—2|+or（xeR）有最小值，则实数〃的取值范围是.

/、f1-x<£7,/、

62.（2023秋・广东茂名•高三统考阶段练习）设函数/"）=2；若“X）存在最小值，则。的取

值范围为（）

A.[->/2,V2]B.[。词

C.[-V2,V2]u（2,+oo）D.[（）,&]52,+动

x2-2av+9,x^l

63.（2023•全国•高三专题练习）设awR,函数？16，若/（"的最小值为了⑴，则实

x+---3a,x>1

x

数"的取值范围为（）

A.[1.2]B.[1,3]C.[0,2]D.[2,3]

（三）函数不等式恒成立问题

64.（2023春•黑龙江哈尔滨・高二哈尔滨市第十二中学校校考开学考试）对任意的xw（1,4）,不等式

苏-21+2>0都成立，则实数。的取值范围是（）

。0

A.[!,+<»)C.-,+ooD•（卜

65.（2023•贵州黔东南•凯里一中校考三模）正数出人满足。+4〃-3"=0,若不等式〃『一功“<〃+0恒成

立，则实数小的取值范围________.

66.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/。）=9'-3川+0（其中c是常数）.若当xw[0,l]时，恒有/。）<0

成立，则实数c的取值范围为.

67.（2023・全国•高三专题练习）若关于x的不等式9'-1。8"％42在工£（0,；上恒成立，则实数。的取值范

围是.

（四）函数不等式有解问题

68.（2023・四川达州・统考二模）若会cJ,1,2sinx+---/n<0,则实数〃?的取值范围是______.

_o2Jsinx

69.（2023・全国•高三专题练习）若正实数x,了满足x+y=l,且不等式<+,<苏+如〃有解，则实数〃?

x+1y2

的取值范围是（）

、33

A."7<-3或〃？>一B.-3<m<-

22

33

C.〃区一3或〃?2—D.-3<m<-

22

70.（2023春・河南周口两三校考阶段练习）已知/（x）=f—ir-l,g（x）=k）g“x（a>0且awl）,若对

任意的.占4-1,2],都存在毛e[2,4],使得/a）vg（z）成立，则实数〃的取值范围是

考点四抽象函数的单调性问题

71.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/⑴对于任意x,y£R,总有/«）+/（y）=/（x+y）,且

当工>0时，/（X）v0,求证：f（x）在R上是减函数；

72.（2023•广西玉林•统考三模）函数/（“对任意居ywR总有〃x+），）=f（x）+/（y）,当x<0时，/（x）<0,

/（1）=1,则下列命题中正确的是（）

A./（工）是偶函数B./（力是R上的减函数

C./（刈在[-6,6]上的最小值为-2D.^/（x）+/（.r-3）>-l,则实数x的取值范围为[3,抬）

73.【多选】（2023•全国•模拟预测）已知函数/•（»的定义域为R,且/a+y）=〃x）〃y）+/a）+〃y）,

%>0时,/(x)>0,/(2)=3,则()

A./(1)=1

B.函数/(x)在区间(0,+e)单调澧增

C.函数f(x)是奇函数

D.函数/(x)的一个解析式为/卜)=2”-1

考点07函数的单调性与最值4种常见考法归类

善高频考点

考点一确定函数的单调性（3）三次函数

（一）判断函数的单调性（4）对数函数

（二）用定义证明函数的单调性（5）分段函数

（三）求函数的单调区间（6）与绝对值有关的单调性问题

考点二函数单调性的应用考点三函数的最值问题

（一）利用单调性比较大小（一）利用函数单调性求最值

（二）利用函数的单调性解抽象不等式（二）根据函数最值求参数

（三）利用函数的单调性求参数的取值范围（三）函数不等式恒成立问题

（1）分式函数（四）函数不等式有解问题

（2）二次函数考点四抽象函数的单调性问题

三二解题策略

1、函数单调性的判断方法：

（2）定义法：在定义域内的某个区间。上任取牛毛并使得苦<与，通过作差比较/（N）与”修）的大

小来判断单调性。

具体如下：设X1,X2W（mb）,且记Ax=X|—X2,^y=fiXl）—flX2）i那么

>0"x）在（G,3内是增函数；

普V0寸>）在（G,力）内是减函数.

上式的几何意义：增（减）函数图象上任意两点（XI，（12,人4））连线的斜率恒大于（或小于）零.

②增函数与减函数形式的等价变形：VXi,X2G［«,力］且X1WX2,则

/（X|）一/（X2）

（X1—X2）［/（X1）—/（X2）］>O<=>XI—X2>0=4X）在［。，力］上是增函数；

f（XI）1/（X2）

（XLX2）巩H）—/（X2）］VOOX\—X2〈。耸/5）在［。，上是减函数.

(2)性质法：

①当常数c>0时，>，=°/»与》=/5)的单调性相同；当常数cvO时，y=c：flx)与y=/(x)的单调性相反,

特别地，函数)，=一/(外与)，=〃x)的单调性相反.

②当)，=/m)恒为正或恒为负时，)，=/右-与y=/U)的单调性相反.

③若c为常数，则函数y=人工)与函数y=/U)+c的单调性相同.

④若函数/(X)为增函数，g(x)为增函数，〃(1)为减函数，W")为减函数，则有

2)/(x)+g(x)为增函数，2)/(%)-〃(%)为增函数,3)〃(#+奴x)为减函数，4)〃(x)-g(x)为减函数。

⑤若｛x)>0且g(x)>0,/lx)与g(x)都是增(减)函数，则Hx)・g(x)也是增(减函数)；若J(x)vO且g(x)<0,f(x)

与g(x)都是增(减)函数，则八x)・g的是减(增涵数.

⑥奇(偶)函数在其对称区间上的单调性相同(相反).

(3)图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单

调性。由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续

的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“U”连接.

(4)复合函数法：对于函数y=/[g(x)],可设内层函数为〃=g(x),外层函数为)，=/(〃)，可

以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函

数y=/[g(x)]在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则或数

y=/[.?(工)]在区间D上单调递减.

，=g(x)增函数rT减函数增函数/T减函数

y=/(O增函数yT减函数yT减函数增函数

产/[g(H])'随着x的增大而增随着X的增大而增)'随着X的增大而)随着X的增大而

大大减小减小

增函数增函数减函数减函数

(5)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数.

对于函数)，=4幻，如果在某个区间上外幻>0,那么｛X)在该区间上单调递增；如果在某个区间上八制

V0,那么Ax)在该区间上单调递减.

2、函数单调性的应用

（1）比较大小.比大小常用的方法是①利用单调性比大小；②搭桥法，即引入中间量，从而确定大小

关系；③数形结合比大小。

注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1,一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的

图像判断大小。比较函数值的大小，常由函数的奇偶性、周期性等，将自变量转化到同一单调区间内，再

利用函数的单调性，通过比较自变量的大小来比较其函数值大小.

（2）解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将符号脱掉，使其

转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.

解抽象函数不等式问题（如：-5）<2.）的一般步骤：

第一步：（定性）确定函数八x）在给定区间上的单调性；

第二步：（转化）将函数不等式转化为的形式；

第三步：（去。运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号V，，转化成一般的不等式或不等式组；

第四步：（求解）解不等式或不等式组确定解集；

第五步：（反思）反思回顾.杳看关犍点，易错点及解题规范.

注：自变量的大小关系和函数值的大小关系可正逆互推，即若人幻是增（减）函数，贝1」人加勺3）=《

X2（X1>X2）.在解函数不等式时，可以利用函数单调性的“可逆性”，“脱去”函数符号力化为一般不等式求解,

但运算必须在定义域内或给定的范围内进行.

（3）利用函数单调性求参数的取值范围.

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参

数；

②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。

③需注意若函数在区间加上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；

④分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对

断点处的函数值的大小有要求，如果是增函数，则在断点处左边的函数值〈右边的函数值，如果是减函数，

则在断点处左边的函数值2右边的函数值，

注意：“单调区间”与“在区间上单调”的区分

（1）函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域.（2）单调

区间是完整的区间，在区间上单调可能只是部分单调区间.

3、求函数最值（值域）的五种常用方法及注意点

（1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；

（2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；

（3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值；

（4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；

（5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

注：（1）求函数的最值时，应先确定函数的定义域；

（2）求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小

的作为分段函数的最小值.

4、函数最值的重要结论

（1）设大外在某个集合D上有最小值，机为常数，则人在D上恒成立的充