《概率论与数理统计》期末考试试题及答案

《概率论与数理统计》期末考试试题(A)

专业、班级：姓名：学号：

题号一二三四五六七八九十H—十二总成绩

得分

二？单项选择题(每题3分共18分)

1.D2.A3.B4.A5.A6.B

若事件4、B适合P(A3)=0,则以下说法正确的是().

(A)A与8互斥(互不相容)；

(B)P(A)=O或P(B)=O;

(C)A与8同时出现是不可能事件；

(1)(D)尸(A)〉0,则P(I3\A)=0.

(2)设随机变量X其概率分布为X|-1012

P0.20.30.10.4

则P{XWL5}=()0

(A)0.6(B)1(C)0(D)-

2

(3)

设事件A与4同时发生必导致事件A发生，见下列结论正确的是()

(A)P(A)=P(44)(B)P(A)>P(Ai)+P(A2)-\

(C)P(A)=P(A1UA2)(D)尸⑷“⑷+夕㈤)-1

(4)

设随机变量X~N(-3,1),y~N(2,1),且X与Y相互独

立，令Z=X-27+7,则Z~().

(A)N(O,5);(B)N(O,3);(C)N(O,46);(D)N(O,54).

(5)设MX?,…,X〃为正态总体N(〃Q2)的一个简单随机样本，其中。=2.〃

未知，则()是一个统计量。

(A)(B)f氏-〃)2

r=li=l

(C)x-A(D)土N.

(7

(6)设样本X，X2,…,X。来自总体X~N(必未知。统计假设

为“0：〃=4o(〃o己知)H\：H手No。则所用统计量为()

(A)[/=AZ^(B)T=

crJnS；Jn

22

(C)z(D)Z_"产

bb9

二、填空题(每空3分共15分)

l.P(B)2.f(x)=\,3*23.-14./(9)

0x<0

(1)如果P(A)>0,P(B)>0,P(A忸)=尸(A),则P(qA)=.

(2)设随机变量X的分布函数为

0,x<0,

F(x)=

l-(l+x)e-\x>0.

则X的密度函数〃x)=,P(X>2)=.

(3)

设济力2，03是总体分布中参数e的无偏估计量,0=aOx-2。+3。3：

当。=时，&也。是的无偏估计量.

(4)设总体X和y相互独立，且都服从N(0,l),X-X2,…X9是来自总体X的

样本，匕,匕,…匕是来自总体y的样本，则统计量u=『十十八

田+…+田

服从分布(要求给出自由度)。

三、(6分)设A8相互独立，P(A)=0.7,P(AU8)=0.88,求P(A—8).

解：0.88二P(A\JB)=P(A)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)(因为A3相互独立)....2分

=().7+P(B)-().7P(B)...............3分

则P(B)=0.6................4分

P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)~P(A)P(B)

=0.7-0.7x0.6=0.28...............6分

四、(6分)某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T,各电梯在

运行的概率均为0.7,求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。

解：用X表示时刻7运行的电梯数，则X~〃(4,0.7)..............2分

所求概率P{X>\}=\-P{X=0}...............4分

=1一(0.7)°(1-0.7)4=0.9919................6分

p-x>()

五、(6分)设随机变量X的概率密度为'r足之，

求随机变量Y=2X+1的概率密度。

解：因为y=2x+l是单调可导的，故可用公式法计算........1分

当X20时，Y>\................2分

由y=2x+l,得x'=—...............4分

22

v-11

从而Y的密度函数为fY(y)=.................5分

0y<\

1-T

—■e-），21

2

.........6分

0y<i

六、（8分）已知随机变量x和y的概率分布为

X-101Y01

]_

pP

42422

而且p{xy=（）}=i.

（1）求随机变量x和y的联合分布；

（2）判断x与y是否相互独立？

解：因为P{XY=O}=I,所以p{xywo}二o

（1）根据边缘概率与联合概率之间的关系得出

X-101

0[_0

4142

10201

2

11

424

........4分

⑵因为尸{x=o,y=o}=o工p{x=O}P{Y=o}=^xl=l

所以x与y不相互独立

.......8分

七、（8分）设二维随机变量（x,y）的联合密度函数为

12e-(3r+4y),x>D,y>(),

f(x,y)=•

.0,其他

求：(1)P(0<X<1,0<y<2)；(2)求X的边缘密度。

I2

解：(1)P(0WXW1,()WYW2)=J可1263+4”.........2分

00

=［：3e&6r=［一

................4分

(2)fx(x)=012e-。…力.................6分

3"兔JV>0

..................8分

0x<0

八、（6分）一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从参数为工的指数分

4

布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设

备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的

期望。

11,X

X>Q

解：因为X~e(—)得/=.........2分

40x<0

用y表示出售一台设备的净盈利

10()X>1

Y=<........3分

100-3000<X<l

户81上-1

则p(y=100)=I^dx=e4

Ji4

P(Y=-200)=］公=1—JZ.......4分

所以EY=ICOx"+(―200)x(l—e7)

二3。。)4_200。33.64(元).......6分

九、（8分）设随机变量乂与丫的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,

而相关系数为一0.5,求E（2X-y）,D（2X-y）0

解：已知£%=-2,EY=2,DX=1,DK=4,pXY=-0.5

则E(2X-r)=2EX-£y=2x(-2)-2=-6......4分

D(2X-Y)=£)(2X)+DY-2cov(2X,Y)......5分

=2DX+DY-4cov(X,r)......6分

=2DX+DY-4/DXyfDYpXY=\2.........8分

十、（7分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。已

知每户每日用电量（单位：度）服从[0,20]上的均匀分布，利用中心极限定

理求这1000户居民每日用电量超过10100度的概率。（所求概率用标准正

态分布函数①。）的值表示）.

解：用X,表示第i户居民的用电量，则X,〜U[0,20]

(20-0)2100

EX21221ODX.=2分

1=2=123

1（X）0

则1000户居民的用电量为X=£Xj,由独立同分布中心极限定理

p{x>10100}=l-p{x<10100}3分

X—1000xl0<10100—1000x10

=1一旦4分

100。斐lOOOxly

10100-1000x10)

X1-0)(6分

Iioo

JlOOOx不

一①启）

7分

H^一、（7分）设七,々，…，％是取自总体X的一组样本值,X的密度函数为

(。+1)一,0<x<1,

fM=

0,其他，

其中。＞0未知，求。的最大似然估计。

解：最大似然函数为

，…,上”,。）=口/（七）二口（。+i）xf2分

r=lr=l

=（夕+1）”但，3分

则

InL(x1,---,x„,0=nln(^+l)+(9In(x1,­••,.r„)

0<»,•••/〃<1.............4分

AdInLn..、八c/k

令-^-=^T7+ln(为，…，x〃)=°....