高考数学总复习《导数-利用导数求函数的极值、最值》专项练习题（附答案）

高考数学总复习《导数-利用导数求函数的极值最

值》专项练习题(附答案)

常见考点

考点一极值与极值点

典例1.设/(K)=alnx+1-3x+l曲线y=/(x)在点(1/(D)处取得极值.

x

(1)求。的值

(2)求函数/(x)的单调区间和极值.

【答案】(1)。=4

⑵在区间(0：)和(I+8)单调递减在区间(:1)单调递增极大值为T

极小值为3-4n3

【解析】

【分析】

(1)求出函数得导函数根据曲线y=/(x)在点(1，(1))处取得极值可得r(i)=o

从而可求出。的值

(2)根据导数的符号求出函数的单调区间再根据极值的定义求出极值即可。

(I)

/(x)=alnx+--3x4-1贝lj/*(^)=---y-3

XXX

又丁r⑴=。故可得。-4=0解得4=4

经检验4=4符合题意

所以4=4

(2)

由(1)可知/(x)=4lnx+--3x+l

x

则/。)=-吐竽少卜>0)

.1

当0<x<：或X>1时，(工)<0当;vxvl时/'3>0

故可得了(X)在区间(0：)和(I+8)单调递减在区间(:1)单调递增

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故/⑴的极大值为/⑴=-1/(x)的极小值为唱=3-41n3.

变式1-1.已知函数/(力=丁+加+c在x=l处有极值2。

⑴求bc的值

⑵若/(力=，〃有3个大同实根求”的范围。

【答案】⑴力=-3c=4

(2)(2,6)

【解析】

【分析】

(1)根据题设条件可得由此可解得〃与。的值⑵依题意可知直线？=，〃

［川)=2

与函数)，=/(“)的图象有二个不同的交点则〃?的取值范围介于极小值与极大值之

问。

(1)

f(x)=3x2+b

因为函数/。)=/+加+°在x=l处有极值2

广⑴=。3”=0

所以即《

/⑴=2\+b+c=2

解得力=-3c=4o

(2)

由(1)知〃幻=/-3%+4

f'M=3x2-3

所以在上f\x)>0/(幻单调递增

在(-11)上ru)<o/(幻单调递减

在。，转)上f'(x)>0/(.t)单调递增

所以f(力极大值=/(-1)=(-1)3-3X(-I)+4=6

〃用极小值=〃D=F_3X1+4=2

第2页共23页

若f(x)=，”有3个不同实根

则2<m<6

所以，"的取值范围为(2,6)。

变式12已知函数/(”=8sx+ln(x+l)广(司为的导函数证明：

⑴小)在区间卜用存在唯一极大值点

⑵/(力在区间(0,万)存在唯一极小值点

(3)/(外有且只有一个零点。

【答案】(1)证明见解析

⑵证明见解析

⑶证明见解析

【解析】

【分析】

⑴首先求函数的导数g(x)=r(x)=-sinx+占利用函数的导数判断函数的单调

性以及结合零点存在性定理即可说明函数在区间卜吟)存在唯一极大值点

(2)由g'(x)的单调性结合零点存在性定理说明存在唯一-极小值点

(3)分和工《三江)两个区间结合函数的单调性以及零点存在性定理

说明函数有且只有一个零点。

(1)

/(x)的定义域为(T，

设g(x)=r(x)=-sinx+占则/(X)=-COSA

当日-用时^(x)<0所以g(x)=/M)单调递减

且g(0)"'(0)=」>0£图=韦卜。

由零点存在定理可知在区间(-吟)存在唯一的。使g(m=r(a)=o

第3页共23页

又当时g(x)=/'(x)>0当刍时g(x)=r(x)>0

即工=。是区间卜吃)上f(“唯一的极大值点。

(2)

当"(。，乃)时g'(x)单调递增且/(。)=-2<0g'怎)<°

，(幻=]_八\>0

(1+乃)

所以g'(x)在区间停，有唯一零点设为％=〃

当xe(O,0时g，(x)vo此时g(x)=r(x)单调递减

当X€(/?,不)时g'(x)>0此时g(X)=/l'(•¥)单调递增

所以X=，是g(1)=f3在(0,万)上唯一的极小值点c

(3)

①当XG卜时由⑴可知/(x)=cosx+ln(x+l)在(-1,。)上单调递增

且/(0)=1>0/(《—l)=8s(5—l)+ln(5)=cos(5—l1—2v0

所以/(x)在(Ta)上行唯一零点

当时/(同单调递减且/(£|=1,1+8>0

所以/(“在(a，"上没有零点。

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此时g(x)=r(])单调递

‘国＜0故有人力＜0此时/3单谎递减

且g副，且低=ln1+->0

I2)

由/(0=。得纥》=一"》

所以〃4)=cos?+ln(l+4)=ln(l+/?)■>ln(l+0-—>ln2-->0

1+/72。

当X£(夕，乃)时由(2)知g'(x)＞0所以g(x)单调递增

，㈤5TT

=-cos----T>o

又gI6)62故言‘(OK)

(吟)O

(5吟

="sin—5乃+-1--=—1+-1--<八0/\1.

61+阴2"2«?W->0n

66

5乃

e一、刀使g(7)=0即r(y)=o故、=/为/(力的极小值点。

所以存在7I6

止匕时/(y)=cosy+ln(y+l)>ln^■+1j+cos/>l+cos/>0。

乃

上没有零点。

5''

③当xw(肛yo)时ln(l+x)>ln(l+^-)>l

所以/(x)=8sx+ln(l+力＞1+8SXN0所以/(x)在区间(乃,*o)上没有零点。

综上/(x)在区间(T位)上有且仅有一个零点。

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【点睛】

利用导数研究函数的零点一方面利用导数判断函数的单调性借助零点存在性定

理判断另一方面也可将零点问题转化为函数期象的交点问题利用数形结合

判断。

变式1-3.己知函数/=+aY+〃+l)”wR其中《为自然对数的底数。为常

数.

⑴若a=-2求函数/⑶的极值点

⑵若函数/“)在区间,T，2)上有两个极值点求实数。的取值范围.

【答案】(1)极小值点为极大值点为G

【解析】

【分析】

(1)首先求函数的导数再利用导数与函数极值点的关系即可求解

(2)根据r(x)=O得换元后转化为产T与g")=f+1-2且

x+2/

有两个交点利用数形结合即可求得实数〃的取值范围。

(1)

由题可知f\x)=e'x2+ia+2)x+(2。+1)]令f\x)=0得£+(a+2)x+(2a+1)=0

(1)当。=-2时上式为：x2-3=0解得：x=±抠

当/(力＞0解得：或x＜-6当/'(“＜。解得：4x3

・•・/(X)的单调递增区间为(小-3("+8)单调递减区间为(-瓜国

•••/“)极小值点为Y极大值点为6。

(2)

,/函数/*)在4-|,21上存在两极值点

/'(x)=0在xw(-■|,2)有两不等实解即12+(4+2]工+(2。+1)=0

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由9+(〃+2)工+(2〃+1)=0分离参数可得：-a=^L

x+2

令t=x+2•--6Z=^^-=/2~2Z+1=/+-

设g(/)=/+:2且/《；，4)

「•易知g⑺在(；，1)上单调递减在(1,4)上单调递增

f1A]9

二g«)min=g⑴=0T=-^(4)="

24

考点二最值

典例2.已知函数/(x)=e'sinx-x+l。

⑴求曲线)，=〃x)在点(OJ(O))处的切线方程

⑵求函数/(x)在区间卜*］上的最大值和最小值c

—一

【答案】⑴y=i

⑵/(x)1nin=l"Ma=5+1

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【解析】

【分析】

(1)利用导数的几何意义求解即可

(2)对函数二次求导后可得y=r(x)在区间-早，上递增再由r(0)=0可分析得

在其上单增

)，=/("在-*0上单减从而可求出函数的最值

⑴

由/(1)=e*sinx—x+\得/r(x)=e1(cosx+sinx)-l

/(o)=ir(o)=。

函数曲线)，=/(x)在点(0J(0))处的切线方程为y=]。

(2)

当--/*(x)=e'2cosx>0

产小)在区间匚用上递增

J乙乙■

又/'(0)=0

所以当XW-冽/350)=0

所以y=/'(x)在-与。)上单减

当卷r(x)>/(0)=0所以y=〃x)在(0金上单增。

所以〃xL=f(O)=l

因为f(4)=”Sin(-2)+1+[=+y+,]

所以/传)小g)=-q+l+e-二/l=_+eq―乃

\JI，/L，

令g(x)=e*+e~*-2%则g'(x)=e、-e-x-2gff(x)=e+e-x>0

所以短(x)在R上递增

因为g<l)=e-eT-2=e」-2>0

e

所以g。)在(1，e)上递增

所以g图〉g(l)=e+e--2>0所以何一斤小

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所以小心=/岗=3-畀1。

变式2-1.已知函数/(/)=9+加+瓜在»±1处取得极值.

⑴求/(x)的单调区间

⑵求〃x)在［-2』上的最值.

【答案】(1)单调递增区间为(―，-1)和(1，依)单调递减区间为(T/)

⑵“"2=2〃矶讪=一2。

【解析】

【分析】

(1)根据r(-i)=r⑴=。可构造方程组求得。力进而得到(a)根据(a)的正

负口」得单调区问

(2)根据单调性可确定/⑴皿=/(-1)/(%)_=min{/(-2),/(l))由此可求得最

值。

(1)

广(x)=3x2+lax+b

・・・〃x)在.±1处取得极值.-.r(-i)=/,(i)=o.・•.；：«解得：.工3

•,J(x)=V-3%/f(x)=3x2-3=3(.r+l)(x-l)

.•.当XG(YO,-1)5L欣)时/'(力>0当XG(-1,1)时/'(x)<0

・・J(x)的单调递增区间为(fl)和。，位)单调递减区间为㈠，1)

(2)

1+3=2=min21

由(1)知：/WnttX=/(-i)=-/Wmin{/(-)»/()}

X/(-2)=-8+6=-2/(1)=1-3=-2/./(x)min=-2o

变式2-2.已知函数办

⑴若a=T求/⑺的极值

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Q

⑵当时/（x）在［0,2］上的最大值为10求小）在该区间上的最小值.

【答案】⑴极大值为1极小值为-捺

⑵得

【解析】

【分析】

（1）利用导数可求得/（X）单调性由此得到极值点代入/（X）可得极值

（2）利用导数可求得/（x）单调性结合内<0<.<2可知/（4代=/（占）利用

“耳网="2）=10可构造方程求得。从而得至IJ/Ghn=/（；）=-搂。

（I）

当a-—1时f(x)=x3lx2xf'(A)-3x2+2.v—1=(3x-1)(x+1)

令广(力=0解得：x,=-lx2=1

则xJ'（x）J（力变化情况如下表:

X(—，-1)-1

3

小）+0一0+

/W极大值极小值/

.•・〃力的极大值为〃i）=i极小值为1

⑵

8

1.•//（x）=3x2+2x+a:.A=4-\2a又-§<a<0..A>0

令r（H=o解得：x尸土手豆9=上手豆

则乐r（力，f（A-）变化情况如下表：

(内㈤

X(一X)*2（孙+00）

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广(力+0—0+

小)/极大值、极小值

・・•/（力在（口,内）（孙g）上单调递增在（内,公）上单调递减

Q

v--<«<0X.<0<X2<2:.f（x\nin=f（x2）

又〃0）=0/（2）=12+2«>0

."⑴在［0,2］上的最大值为〃2)=12+*=10解得：a=T

・・・/（・%=/（W）=唱=导5

327

变式2-3.己知函数/(八)=/一以2一〃晨一1.

⑴若。=1求/(')的图象在工=0处的切线方程

⑵若。>。/(x)在(L4)上存在最小值且最小值不大于-9求。的取值范围.

【答案】⑴y=T-i

⑵［2,4)

【解析】

【分析】

(1)利用导数的几何意义求解即可

(2)对函数求导由导数的正负求出函数的单调区间由在。，4)上存在最小

值且最小值不大于-9得｛,⑷=；：；钎9,从而可求出。的取值范围

⑴

因为a=l所以/(x)=P—x—lf(x)=3x2-2^-\

则八0)=-1.

因为〃。)=一1

所以/(刈的图象在人=0处的切线方程为y二r-l.

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(2)

因为a>0/*(x)=3x2-lax-ci1=(3x+t/)(x-«)

所以当xw-00,-1卜(凡”)时f(x)>0

当日一早可时r(x)<。.

故〃丫)的单调递增区间为18，-£|和(〃，□)单调递减区间为

闪为“X)在(1,4)上存在最小值且最小值不大于-9

..[1<«<4,

所以(〃)=_/_/_9,

解得2<a<4即〃的取值范围为[2,4).

巩臼练习

练习一极值与极值点

1.已知函数其中awR.

(1)当々=4求"D的极值

(2)若曲线y=f(x)与直线尸断在(0,4]上有且只有一个交点求。的取值范围.

【答案】(1)/3的极小值为3-41n；无极大值

(2)4£(F0){4}U[8,4OD)

【解析】

【分析】

(1)对函数求导利用导函数即可求出原函数的极值。

(2)设g(x)=/(x)-ov对g(x)进行求导由g(%)只有一个零点对。进行讨论即

可得到答案。

(I)

由题意/(x)=x2+2x-4ln^,x>0

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Io2

则=2x+2——=—(A2+x-2)=—(x-l)(x+2)

故/(X)在(0,1)单调递减在(l，y)单调递增。

有极小值/⑴=3-44无极大值。

(2)

设g(x)=/(x)-at=寸+(2--aln；,xe(O,4]

贝Ug'(x)=2x+(2—a)—色=—[2x2+(2-a)x-a~\=—(x+l)(2x-a)

J

XXLX

①当。=0时g(x)=f+2x在(0,4]上无零点不合题意

②当，<0则以外单调递增g⑵=4+(2-a)x2>0

x->0时t?(-v)<0

由零点存在性定理得g(x)在(。，4]中只有一个零点即曲线y=/(x)与直线)=仆在

。4]上有且只有一个交点。

②a>0时.g(x)在.(0.Q中-调递减(§,+8)।p.调递增

若二<4则只能g(S=〃-，-alnf=ajla-lnf)=0=>。=4

224414"

若则g(X)在(04单调递减xrO时g(x)>0

24

则要g(4)=16+4(2—a)—〃ln2<0则a>

4+ln2

故aN8

综上：ae(YO,0){4}J[8,+ao)o

2.已知函数/(A)=X3+3办2+a+4在X=—1时有极值0.

(1)求函数/(X)的解析式

⑵记g*)=〃x)-2Z+l若函数g(x)有三个零点求实数k的取值范围.

【答案】⑴/*)=丁+6/+9工+4

⑵七1,

【解析】

【分析】

(1)求出函数的导函数根据题意可得从而可得出答案

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(2)求导根据导数的符号求出函数的单调区间从而可求出函数的极值再根据

函数g(x)有三个零点列出不等式解之即可得出答案。

(I)

解：=3x2+6av+Z?

因为函数/(x)=1+3ad+法+4在x=-1时有极值0

1)=3-6〃+8=0

所以八-。

3a-/?+3=O

解得花

经检验符合题意

所以/(x)=丁+6x2+9x+4

(2)

解：由(1)得g(x)=F+6/+9x-2£+5

则/*)=3/+12工+9=3|：+1)(工+3)

当x>7或xv-3时g，(x)>0当-3vxv-l时g[x)<0

所以函数g(x)在(YO,-3)和(-1,+co)上递增在(-3,-1)上递减

所以函数g(x)的极大值为鼠-3)=-2攵+5极小值为g(T)=-2k+l

因为函数g(x)有三个零点

所以「2：+5>：解得匕

-2%+1<0J22

即实数攵的取值范围为(，()。

3.已知函数、f(x)=lnx-gar2+x,aeR.

(1)求函数JU)的单调区间

(2)是否存在实数。使得函数人工)的极值大于0?若存在求。的取值范围若不存

在说明理由.

【答案】(1)答案见解析

(2)存在0VaV2.

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【解析】

【分析】

(1)由/(x)=lav-1ar+A-可求得广(刈=一然后分与"0讨论导数的正

负即可得yu)的单调区间

⑵由⑴可知当々>0函数有极大值〃%)结合/"伍)二。化简极大值”£)令

/(X2)>O解出4的范围即可.

(1)

\11Nc_.、1,—d+X+1/

/(x)=Inx--av+xfl€RJ(zx)=——av+1=--------(x>0)

2xx

当aV0时由于x>0故-ax2>0于是-ax2+x+1>0

r(x)>o故/(A)在(0.-HX))上单调递增

当a>0时令r(x)=。G|Jav2-x-l=0

解得百二上四工&=11追正

2a'2a

'：^1+JC=—>0,xx=一■-<0

“2a}2-a

：.X1<()<x2

•••。<工<占时ra)>o/a)单调递增当x>与时rw<0/(x)单调递减。

综上“40时1Ax)的单调增区间是(0,*o)无单调减区间

71+J1+4”

〃>o时凡『)的单调增区间是(。."厅1单调减区间是2a-，+°°°

(2)

由(1)可知当心0时8)在(0,+8)上单调递增为极大值

当〃>0时Ar)在*=占=1+处取到极大值.

尸2a

，

由⑴可知/(A2)=0即渥一%一1=。=渥=与+1

极大值”占人也占一;国十七=In^2-^(x2+1)+^2=ln.v2+"1

2

令g(x)=lnx+?••飞(x)在(。,+8)单调递增且g(1)=0

时g(x)>0即马>1时/(x2)>0

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...£+1+4">!=>!+Jl+4a>2anJ1+4a>2a-\

la

当加-IWO时0<a弓不等式显然成立

当加一1>0即时l+4a>(2a—l)2=0<a<2：.-<a<2

22

综上0VoV2。

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值突出分类讨论思

想与转化思想的渗透与应用.第二问的关键是看出极大值g(x)=lnx+F在定义域

内单调递增且g(l)=0利用单调性将函数值大于。转化为自变量大于1从而简

化计算.

4.已知函数/(力=(1一1)3一0¥。

⑴讨论/(X)的极值点的个数

⑵若函数/(力有两个极值点为，9证明：中：2<1。

【答案】(I)答案见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)/(另的极值点的个数等价于/(力二祀、-〃=。的解的个数分离参数。得4=总、

构造函数g(x)=.E求导分析作出其图象数形结合可得“X)的极值点的个数

(2)由(1)可知一：<”0设为<三则内«-1,0)由“*-4=0得

e"=£取对数得X=ln(-a)-ln(fi)同理赴=ln(-Q-InG9)进一步分析可得

入I

电(,)=1.最后利用分析法与换元法将问题转化证明re(0,1)

Inf-XoJ-ln(-xJt

即可。

(1)

解：由题意得/(x)=Ae'-«=0即4=把，故令g(x)=北

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所以函数的极值点的个数的等价于g(x)=^e'与)'=〃的交点个数。

/(x)=er(x+l)

/(”＞0得人＞-1g'(x)〈。得xv-1

所以g(x)在(-，-1)上单调递减在(-1，y)上单调递增

所以g(x)极小俏=g(—)=T

因为当X趋近于Y时g(x)趋近于0当X趋近于-8时g(x)趋近于+8

所以g("的大致图象如图：

当屋」时/("=疣一/0恒成立函数/3单调递增极值点的个数为0

e

当」＜a＜0时g(x)=疣"与丁=的交点个数有两个分别设为不，占且斗＜七

e

当R£(F0)5w，”)时f\x)＞0xe(X|，w)时/W＜°故函数/(x)有两个

极值点

当"0时g(x)=w'与的交点个数有两个不妨设为M则当

/(x)vO当x《不，网时/(x)＞0故函数/(x)有1个极值点。

(2)

证明：因为函数/(公有两个极值点由(1)可知-,＜。＜0

e

设内则内e(^»,-l),x2e(-l,O)显然工内＞。

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所以由极值点的概念知^ex,-a=O故9二三

所以％=ln(-a)-ln(-x,)

同理毛=ln(-a)-ln(f2)

两式相减得不一W=皿一「)一ln(-xj即“(•''，=1。

In(-9)-瓜(-％)

另一方面要证内工2<1只需证"i^<l即

因为为<与所以-%>-占

故上式可化为ln(-x2)-ln(-x,)>(一、户X)即m土>

六々A,

令后=1则小(0，1)上式即为“(0,1)。

令〃a)=ln--r+-=21nr-/+-(0</<1)

tt

则力，⑺=2一1一1=2二=！=£12i<0故力⑺为减函数

t厂rr

所以W)>M1)=O即原命题得证。

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值点利用导数证明不等式考查分类讨论思想

运算求解能力是难题.本题第二问解题的关键在于借助第一问的结论得

%,-1)，9G(-1,0)进而根据极值点的导数值为0等价转换得

^=ln(-«)-ln(-x.)进而将问题转化为M彳〉氏-祗再结合换元法证明

Inr〉，一；re(0,l)即可。

练习二最值

5.已知函数/")=三。

e

(I)求函数的单调区间

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（2）求函数/（.v）在1。2上的最大值和最小值。

【答案】（1）单调增区间（-81）单调减区间。，一）

（2）最大值，最小值0

e

【解析】

【分析】

根据导函数分析函数单调性在闭区间内的最值

（1）

小）=二

e

x>i时/'*）<（）xvi时ru）>（）

单调增区间（-8J）,单调减区间（1,田）

（2）

由（1）可知/⑴在［Q1］上单调递增在R2］上单调递减

所以八幻最大值为/⑴=’

e

2

又/（0）=（）/（2）=-

e2

故/（x）最小值为0

6.已知函数/（力=耳/一3|.

⑴求函数/（x）在［0，内）的单调区间

⑵求函数/（x）在区间但同上的最大值（其中。为正实数）.

【答案】（1）/（6的单调递增区间为（0」）（"y）单调递减区间为（1，白）

⑵答案见解析

【解析】

【分析】

（1）化简函数/"）在［0,+。）上的解析式利用导数与函数单调性的关系可求得函

数/（x）的增区间和减区间

（2）解方程/-3x=/（l）=2nJ得x=-l或％=2然后分0<aWl\<a4£

^3<a<2々>2四种情况讨论结合（1）中的结论分析函数/（切在区间［。，同上的

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单调性由此可得出函数/(x)在［。⑷上的最大值。

(1)

丁-3,">6

解:〃”=小2

3A-X\()<X<V5

①当OJK百时/'(刈=3-3/=-3(x+I)(x-1)

当ocvi时rw>°所以〃力在(O，l)上单调递增

当1<、<6时rw<0所以“4)在(1，G)上单调递减

②当时/'(耳=3/-3=3(犬+1)(工一1)>0恒成立所以/(力在［6,包)上单调

递增。

综上/")的单调递增区间为(0,1)(后+句单调递减区间为"6)。

(2)

解：令/一3%=/⑴=2即(x+l『(x-2)=。解得x=T或户2。

①当0<〃Wl时/(x)在［0川上单调递增/(x)a=/(〃)=-/+3〃

②当1<〃工6时/(“在［05上单调递增在［1间上单调递减此时

小小/⑴=2

③当时/。)在［0』］上单调递增在［1，G］上单调递减在［港同上单

调递增

则/(x)2=max{/(l)/Z)}=f⑴=2

④当。>2时“X)在［0,1］上单调递增在［1,6］上单调递减在［石,上单调递

增

则=max{/(l),/i»}=f(a)=a3-3a。

综上当xe［0,〃］(a>0)时/“)皿,=•2,1<〃工2。

-3a,a>2

【点睛】

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方法点睛：求函数/(X)在区间卜耳上的最值的方法：

(1)若函数/(X)在区间句上单调则与/(»一个为最大值另一个为坡小

值

(2)若函数/(X)在区间田内有极值则要求先求出函数/(“在区间［。,可上的极

值再与/(〃)/(力)比大小最大的为最大值最小的为最小值

(3)若函数/(“在区间［。,可上只有唯一的极大点则这个极值点就是最大(最小)

值点此结论在导数的实际应用中经常用到。

7.己知函数/(%)=/一6寸一6x+3(aeR)且/'⑴=-6.

⑴求。的值

⑵求函数/(A)在区间［-2,31卜的最大值和最小值.

【答案】⑴；

⑵最大值