重庆市江津、巴县、长寿等七校联盟2025年高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

重庆市江津、巴县、长寿等七校联盟2025年高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是A. B.C. D.2．用样本估计总体，下列说法正确的是A.样本的结果就是总体的结果B.样本容量越大，估计就越精确C.样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态D.数据的方差越大，说明数据越稳定3．若向量，，满足，则A.1 B.2C.3 D.44．已知，且，则（）A. B.C. D.5．关于函数下列叙述有误的是A.其图象关于直线对称B.其图像可由图象上所有点横坐标变为原来的倍得到C.其图像关于点对称D.其值域为6．已知，，为正实数，满足，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.7．若，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.8．函数的图象可由函数的图像（）A.向左平移个单位得到 B.向右平移个单位得到C.向左平移个单位得到 D.向右平移个单位得到9．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是A. B.C. D.10．，表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则（）A.0 B.1C.7 D.8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．计算___________.12．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？（参考数据：，）13．若函数的图象与的图象关于对称，则_________.14．某种商品在第天的销售价格（单位：元）为，第x天的销售量（单位：件）为，则第14天该商品的销售收入为________元，在这30天中，该商品日销售收入的最大值为________元.15．下列说法中，所有正确说法的序号是_____终边落在轴上的角的集合是；

函数图象与轴的一个交点是；函数在第一象限是增函数；若，则16．设当时，函数取得最大值，则__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．化简求值：（1）；（2）.18．已知函数f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=-（其中e为自然对数的底数）（Ⅰ）比较f（2）与f（-3）大小；（Ⅱ）设g（x）=2（1-3a）ex+2a+（其中x＞0，a∈R），若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围．19．已知集合A为函数的定义域，集合B是不等式的解集（1）时，求；（2）若，求实数a的取值范围20．如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点，，分别是，，的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面21．已知函数，当时，取得最小值（1）求a的值；（2）若函数有4个零点，求t的取值范围

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】化简函数，根据表示不超过的最大整数，可得结果.【详解】函数，当时，；当时，；当时，，函数的值域是，故选D.【点睛】本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.2、B【解析】解：因为用样本估计总体时，样本容量越大，估计就越精确，成立选项A显然不成立，选项C中，样本的标准差可以近似地反映总体的稳定状态，、数据的方差越大，说明数据越不稳定，故选B3、A【解析】根据向量的坐标运算，求得，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，向量，，，则向量，所以，解得，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4、B【解析】利用角的关系，再结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，即可求解.【详解】，，.故选：B5、C【解析】由已知，该函数关于点对称.故选C.6、D【解析】设，，，，在同一坐标系中作出函数的图象，可得答案.【详解】设，，，在同一坐标系中作出函数的图象，如图为函数的交点的横坐标为函数的交点的横坐标为函数的交点的横坐标根据图像可得：故选：D7、A【解析】根据指数函数和对数函数的单调性进行判断即可.【详解】∵，∴，∴，，，∴.故选：A8、D【解析】异名函数图像的平移先化同名，然后再根据“左加右减，上加下减”法则进行平移.【详解】变换到，需要向右平移个单位.故选：D【点睛】函数图像平移异名化同名的公式：，.9、A【解析】因为，且各段单调，所以实数的取值范围是，选A.点睛：已知函数零点求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解10、D【解析】根据函数的新定义求解即可.【详解】由题意可知4－(－4)＝8.故选：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、2【解析】利用指数、对数运算法则即可计算作答.【详解】.故答案：212、（1）；（2）5年；（3）17年.【解析】（1）设森林面积的年增长率为，则，解出，即可求解；（2）设该地已经植树造林年，则，解出的值，即可求解；（3）设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，则，再结合对数函数的公式，即可求解.【小问1详解】解：设森林面积的年增长率为，则，解得【小问2详解】解：设该地已经植树造林年，则，，解得，故该地已经植树造林5年【小问3详解】解：设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年，则，，，，即取17，故为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林17年13、【解析】求出的反函数即得【详解】因为函数的图象与的图象关于对称，所以是的反函数，的值域是，由得，即，所以故答案为：14、①.448②.600【解析】销售价格与销售量相乘即得收入，对分段函数，可分段求出最大值，然后比较．【详解】由题意可得（元），即第14天该商品的销售收入为448元.销售收入，，即，.当时，，故当时，y取最大值，，当时，易知，故当时，该商品日销售收入最大，最大值为600元.故答案为：448；600.【点睛】本题考查分段函数模型的应用．根据所给函数模型列出函数解析式是基本方法．15、【解析】取值验证可判断；直接验证可判断；根据第一象限的概念可判断；由诱导公式化简可判断.【详解】中，取时，的终边在x轴上，故错误；中，当时，，故正确；中，第一象限角的集合为，显然在该范围内函数不单调；中，因为，所以，所以，故正确.故答案为：②④16、【解析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据最值情况可得解.【详解】由辅助角公式可知，，，，当，时取最大值，即，，故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】(1)根据根式的性质，指数运算公式，对数运算公式化简计算；(2)根据诱导公式和同角关系化简.【小问1详解】原式.【小问2详解】原式.18、（I）；（II）.【解析】（Ⅰ）由偶函数在时递减，时递增，即可判断（2）和的大小关系；（Ⅱ）由题意可得在时有且只有一个实根，可得在时有且只有一个实根，可令，则，求得导数判断单调性，计算可得所求范围【详解】解：（Ⅰ）函数f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=-，可得f（x）在x＜0时递减，x＞0时递增，由f（-3）=f（3），可得f（2）＜f（3），即有f（2）＜f（-3）；（Ⅱ）设g（x）=2（1-3a）ex+2a+（其中x＞0，a∈R），若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点，即为2（1-3a）ex+2a+=-在x＞0时有且只有一个实根，可得3a=在x＞0时有且只有一个实根，可令t=ex（t＞1），则h（t）=，h′（t）=，在t＞1时，h′（t）＜0，h（t）递减，可得h（t）∈（0，），则3a∈（0，），即a∈（0，）另解：令t=ex（t＞1），则h（t）==1+，可令k=4t+7（k＞11），可得h（t）=1+，由3k+在k＞11递增，可得h（t）在k＞11递减，可得h（t）∈（0，），则3a∈（0，），即a∈（0，）【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查函数方程的转化思想，以及构造函数法，运用导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19、（1）（2）【解析】(1)由函数定义域求A，由不等式求B，按照集合交并补运算规则即可；(2)由A推出B的范围，由于a的不确定性，可以将不等式转换，用基本不等式解决.【小问1详解】由，解得：，即；当时，由得：或，∴，∴，∴；【小问2详解】由知：，即对任意，恒成立，∴，∵，当且仅当，即时取等号，∴，即实数a的取值范围为；综上：，.20、（1）见解析（2）见解析【解析】（1）根据三角形的中位线，可得，由此证得平面.（2）利用中位线证明,，故，由（1）得，证明分别平行于平面，由此可得平面平面.【详解】（1）由题意：四棱锥的底面为平行四边形，点，，分别是，，的中点，∴是的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面（2）由（1），知，∵，分别是，的中点，∴，又∵平面，平面，平面同理平面，平面，平面，，∴平面平面【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，考查面面平行的判定定理.要证明线面平行，需在平面内找到