2025年湖南省益阳市数学高一上期末教学质量检测试题含解析

2025年湖南省益阳市数学高一上期末教学质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知O是所在平面内的一定点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（）A.内心 B.外心C.重心 D.垂心2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）A. B.C. D.3．化学上用溶液中氢离子物质的量浓度的常用对数值的相反数表示溶液的，例如氢离子物质的量浓度为的溶液，因为，所以该溶液的是1.0.现有分别为3和4的甲乙两份溶液，将甲溶液与乙溶液混合，假设混合后两份溶液不发生化学反应且体积变化忽略不计，则混合溶液的约为（）（精确到0.1，参考数据：.）A.3.2 B.3.3C.3.4 D.3.84．下列各式不正确的是（）A.sin(α+)=－sinα B.cos(α+)=－sinαC.sin(－α－2)=－sinα D.cos(α－)=sinα5．“”是“幂函数在上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6．已知，，，则的大小关系为A B.C. D.7．已知为上的奇函数，，在为减函数．若，，，则a，b，c的大小关系为A. B.C. D.8．已知，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.9．已知直线过，，且，则直线的斜率为（）A. B.C. D.10．若过两点的直线的斜率为1，则等于（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数,现有如下几个命题：①该函数为偶函数；

②是该函数的一个单调递增区间；③该函数的最小正周期为；④该函数的图像关于点对称；⑤该函数的值域为.其中正确命题的编号为______12．函数(且)的图象恒过定点_________13．在平面四边形中，，若，则__________.14．已知是幂函数，且在区间是减函数，则m=_____________.15．已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为___________.16．已知函数，若函数的最小值与函数的最小值相等，则实数的取值范围是__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数（且）的图象过点（1）求的值.（2）若.（i）求的定义域并判断其奇偶性；（ii）求的单调递增区间.18．已知函数的图象与的图象关于轴对称，且的图象过点.（1）若成立，求的取值范围；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.19．已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求a，b的值；（2）用定义证明在上是增函数；（3）解不等式：.20．集合A＝{x|}，B＝{x|}；（1）用区间表示集合A；（2）若a＞0，b为（t＞2）的最小值，求集合B；（3）若b＜0，A∩B＝A，求a、b的取值范围.21．已知二次函数的图象关于直线对称，且关于x的方程有两个相等的实数根（1）求函数的值域；（2）若函数（且）在上有最小值﹣2，最大值7，求a的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】表示的是方向上的单位向量，画图象，根据图象可知点在的角平分线上，故动点必过三角形的内心.【详解】如图，设，，已知均为单位向量，故四边形为菱形，所以平分，由得，又与有公共点，故三点共线，所以点在的角平分线上，故动点的轨迹经过的内心.故选：A.2、B【解析】根据分数指数幂的运算性质对各选项逐一计算即可求解.【详解】解：对A：，故选项A错误；对B：，故选项B正确；对C：，不能化简为，故选项C错误；对D：因为，所以，故选项D错误.故选：B.3、C【解析】求出混合后溶液的浓度，再转化为pH【详解】由题意pH为时，氢离子物质的量浓度为，混合后溶液中氢离子物质的量浓度为，pH为故选：C4、B【解析】将视为锐角，根据“奇变偶不变，符号看象限”得出答案.【详解】将视为锐角，∵在第三象限，正弦为负值，且是的2倍为偶数，不改变三角函数的名称，∴，A正确；∵在第四象限，余弦为正值，且是的3倍为奇数数，要改变三角函数的名称，∴，B错误；∵，在第四象限，正弦为负值，且0是的0倍为偶数，不改变三角函数的名称，∴，C正确；∵在第四象限，余弦为正值，且是的1倍为奇数，要改变三角函数的名称，∴，D正确.故选：B.5、A【解析】由幂函数的概念，即可求出或，再根据或均满足在上单调递增以及充分条件、必要条件的概念，即可得到结果.【详解】若为幂函数，则，解得或，又或都满足在上单调递增故“”是“幂函数在上单调递增”的充分不必要条件故选：A.6、A【解析】利用对数的性质，比较a,b的大小，将b,c与1进行比较，即可得出答案【详解】令,结合对数函数性质,单调递减,，，.【点睛】本道题考查了对数、指数比较大小问题，结合相应性质，即可得出答案7、C【解析】由于为奇函数,故为偶函数,且在上为增函数.,所以,故选C.8、D【解析】对A，B，C，利用特殊值即可判断，对D，利用不等式的性质即可判断.【详解】解：对A，令，，此时满足，但，故A错；对B，令，，此时满足，但，故B错；对C，若，，则，故C错；对D，，则，故D正确.故选：D.9、A【解析】利用，求出直线斜率，利用可得斜率乘积为，即可求解.【详解】设直线斜率为，直线斜率为，因为直线过，，所以斜率为，因为，所以，所以，故直线的斜率为.故选：A10、C【解析】根据斜率的计算公式列出关于的方程，由此求解出.【详解】因为，所以，故选：C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、②③【解析】由于为非奇非偶函数,①错误.,此时,其在上为增函数,②正确.由于,所以函数最小正周期为,③正确.由于,故④正确.当时,,故⑤错误.综上所述,正确的编号为②③.12、【解析】令对数的真数为，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；【详解】解：因为函数(且)，令，解得，所以，即函数恒过点；故答案为：13、##1.5【解析】设，在中，可知，在中，可得，由正弦定理，可得答案.【详解】设，在中，，，，在中，，，，，由正弦定理得：，得，.故答案为：.14、【解析】根据幂函数系数为1，得或，代入检验函数单调性即可得解.【详解】由是幂函数，可得，解得或，当时，在区间是减函数，满足题意；当时，在区间是增函数，不满足题意；故.故答案为：.15、【解析】根据函数的解析式作出函数的大致图像，再将整理变形，然后将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题解决.【详解】由题意得，即或，的图象如图所示，关于的方程有5个不同的实数根，则或，解得，故答案为：16、【解析】由二次函数的知识得，当时有．令，则，．结合二次函数可得要满足题意，只需，解不等式可得所求范围【详解】由已知可得，所以当时，取得最小值，且令，则，要使函数的最小值与函数的最小值相等，只需满足，解得或.所以实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查二次函数最值的问题，求解此类问题时要结合二次函数图象，即抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系进行求解，同时注意数形结合在解题中的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）（i）定义域为，是偶函数；（ii）.【解析】（1）由可求得实数的值；（2）（i）根据对数的真数大于零可得出关于实数的不等式，由此可解得函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义可证明函数为偶函数；（ii）利用复合函数法可求得函数的增区间.【详解】（1）由条件知，即，又且，所以；（2）.（i）由得，故的定义域为.因为，故是偶函数；（ii），因为函数单调递增，函数在上单调递增，故的单调递增区间为.18、（1）；（2）.【解析】利用已知条件得到的值，进而得到的解析式，再利用函数的图象关于轴对称，可得的解析式；（1）先利用对数函数的单调性，列出不等式组求解即可；（2）对于任意恒成立等价于，令，，利用二次函数求解即可.【详解】，，，；由已知得，即.（1）在上单调递减，，解得，的取值范围为.（2），对于任意恒成立等价于，，，令，，则，，当，即，即时，.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集19、（1），；（2）证明见解析；（3）.【解析】(1)根据奇函数定义及给定函数值列式计算作答.(2)用函数单调性定义证明单调性的方法和步骤直接证明即可.(3)利用(1)，(2)的结论脱去法则“f”，解不等式作答.【小问1详解】因数是定义在上的奇函数，则，即，解得，即有，，解得，所以，.【小问2详解】由(1)知，，，因，则，而，因此，，即，所以函数在上是增函数.【小问3详解】由已知及(1)，(2)得：，解得，所以不等式的解集为：.20、（1）；（2）；（3），.【解析】（1）解分式不等式即可得集合A；（2）利用基本不等式求得b的最小值，将b代入并因式分解，即可得解；（3）由题意知A⊆B，对a分类讨论即求得范围【详解】解：（1）由，有，解得x≤﹣2或x＞3∴A＝(-∞,-2]∪(3,+∞)（2）t＞2，当且仅当t＝5时取等号，故即为：且a＞0∴，解得故B＝{x|}（3）b＜0，A∩B＝A，有A⊆B，而可得：a＝0时，化为：2x﹣b＜0，解得但不满足A⊆B，舍去a＞0时，解得：或但不满足A⊆B，舍去a＜0时，解得或∵A⊆B∴，解得∴a、b的取值范围是a∈，b∈(-4,0).【点评】本题考查了集合运算性质、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力