《初中数学•同步练习》八上11.1.2三角形的高、中线与角平分线

PAGE111.1.2三角形的高、中线与角平分线题型一三角形的高1．（22-23八年级上·湖北咸宁·期中）如图，是的高的线段是（）A．线段 B．线段 C．线段 D．线段2．（23-24八年级上·广西柳州·期中）在中，是边上的高的图形是（

）A． B． C． D．3．（23-24八年级上·甘肃庆阳·阶段练习）下列四个图形中，线段是的高的是（

）A．B．C． D．4．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，作边上的高线，下列画法正确的是（）A．B．C． D．题型二与三角形的高有关的计算1．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，于D，于E，，则的长为．2．（23-24八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，分别为和边上的高线，已知，若，则=

3．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，于点E，于点D，交于点B．若，，则．4．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，，F是边上任意一点，过F作于D，于E，若，则．题型三根据三角形中线求长度1．（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为。2．（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，为的中线，，．若的周长，则的周长为．3．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则．4．（23-24八年级上·北京丰台·阶段练习）如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为．题型四根据三角形中线求面积1．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则阴影部分的面积等于．2．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，如图，在中，，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为．3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中D、E分别是的中点，，则．4．（22-23八年级上·云南昆明·期中）如图，是的中线，点、分别为、的中点，的面积为，则的面积是．题型五角平分线的应用1．（23-24八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，请完成以下填空：

(1)____________；(2)____________；(3)______；(4)______．2．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）完成下面证明：如图，平分，．求证．证明：∵平分∴（）∵（）∴（）．∴（）3．（19-20八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，．（1）求的度数；（2）若，求的长．4．（2022七年级下·上海·专题练习）已知：如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：BC//DE．题型六利用网格求三角形面积1．（2023八年级上·安徽合肥·专题练习）如图，点都落在网格的顶点上．(1)画出先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度的，并写出的坐标；(2)求的面积．2．（22-23八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，．(1)点的坐标为______；点的的坐标为______．(2)①画出三角形；

②求出三角形的面积．3．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上．(1)将先向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到，画出．(2)的面积为________．4．（23-24八年级上·广西贺州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，先向右平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，完成以下问题：(1)画出；(2)写出点的坐标；(3)求的面积．1．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（

）A．10 B．12 C．14 D．162．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，四边形面积为，，，则的面积等于（

）

A． B． C． D．3．（2020·福建泉州·模拟预测）如图，△ABC的面积为30cm2，AE＝ED，BD＝2DC，则图中四边形EDCF的面积等于（）A．8.5 B．8 C．9.5 D．94．（23-24八年级上·重庆九龙坡·开学考试）如图，在中，点是线段的中点，点将线段分成，若四边形的面积是22，则的面积是．

5．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，若的面积是12，则的面积是．

6．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形的边和延长相交于E，H和G分别是和的中点，已知四边形的面积为33，则的面积为7．操作示例：如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1=S2．解决问题：在图2中，点D、E分别是边AB、BC的中点，若△BDE的面积为2，则四边形ADEC的面积为.拓展延伸：（1）如图3，在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1与S2之间的数量关系为．（2）如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接BE、CD交于点O，且BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面积为3，则四边形ADOE的面积为.8．（23-24八年级上·广西南宁·期中）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为等面积法．

(1)如图1，是边上的高，是边上的高，我们知道，则______．(2)如图1，若，，，，是斜边上的高线，用等面积法求的长．(3)如图2，在等腰三角形中，，，过A作于点H，且，P为底边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为M，N，连接，利用，求的值．11.1.2三角形的高、中线与角平分线题型一三角形的高1．（22-23八年级上·湖北咸宁·期中）如图，是的高的线段是（）A．线段 B．线段 C．线段 D．线段【答案】C【分析】本题考查了三角形的高，“从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高”，根据三角形的高的画法即可得，正确认识三角形的高是解题的关键．【详解】解：由三角形的高的定义可知，选项C中的线段是的高，故选：C．2．（23-24八年级上·广西柳州·期中）在中，是边上的高的图形是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了三角形的高；从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，据此判断即可．【详解】解：A.不是边上的高，不符合题意；B.不是边上的高，不符合题意；C.不是边上的高，不符合题意；D.是边上的高，符合题意；故选：D．3．（23-24八年级上·甘肃庆阳·阶段练习）下列四个图形中，线段是的高的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了钝角三角形的高的画法，解题关键是三角形高的条件的正确掌握．由，过所对顶点B，得D图形中，线段是的高中边的高．【详解】解：，过所对顶点B，D选项中，线段是的高中边的高，故选：D．4．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，作边上的高线，下列画法正确的是（）A．B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了三角形高线的作法．中边上的高线是过A点作的垂线，据此判断即可．【详解】解：在中，作边上的高线为：．故选：D题型二与三角形的高有关的计算1．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，于D，于E，，则的长为．【答案】/【分析】本题考查了三角形的面积计算，根据，即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴．故答案为：2．（23-24八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，分别为和边上的高线，已知，若，则=

【答案】【分析】本题考查了三角形的面积计算，属于基础知识的考查，难度不大，利用三角形中的不同的底与其上高的乘积都等于三角形的面积是解答的关键．根据的面积等于底高，分别以为底，为高和以为底，为高两种方式计算，面积相等，列出等式，再将已知数据代入，解出AB即可．【详解】解：∵在中，分别为和边上的高线，∴，∴，∵，，∴∴，故答案为：．3．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，于点E，于点D，交于点B．若，，则．【答案】【分析】本题主要考查了三角形面积公式，熟知三角形面积公式是解题的关键．根据进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．4．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，，F是边上任意一点，过F作于D，于E，若，则．【答案】4【分析】连接，根据，即可求解．熟练掌握等腰三角形的性质，正确理解题意，根据等面积法列出等式是解题的关键．【详解】解：连接，如图：则，，，∴，∵，∴，∴故答案为：题型三根据三角形中线求长度1．（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为。【答案】/13厘米【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，由是的中线得到，由的周长为得，再由比长得到，等量代换后即可得到答案．【详解】解：∵是的中线，∴，∵的周长为，∴，∴，∵比长，∴，∴，∴，∴的周长，故答案为：2．（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，为的中线，，．若的周长，则的周长为．【答案】/31厘米【分析】本题考查了三角形的中线，以及线段的和差，找出线段之间的数量是解题关键．由题意可知，，进而得出，即可求出的周长．【详解】解：为的中线，，，的周长，，的周长，故答案为：．3．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则．【答案】7【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；先根据三角形中线的定义可得，再根据三角形的周长公式即可得．【详解】解：是的边上的中线，，的周长比的周长多，且，，即，解得，故答案为：7．4．（23-24八年级上·北京丰台·阶段练习）如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为．【答案】17【分析】本题考查三角形的中线，根据为边长的中线，可得出和的周长关系，进而解决问题．【详解】解：因为是边上的中线，所以．又，，所以．又，，的周长为20，所以．故答案为：17．题型四根据三角形中线求面积1．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则阴影部分的面积等于．【答案】【分析】本题考查了中线的性质．熟练掌握中线将大三角形分成两个面积相等的小三角形是解题的关键．由中线的性质可得，，则，进而可求阴影面积．【详解】解：∵点分别为边的中点，∴，，∴，∴（），故答案为：．2．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，如图，在中，，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为．【答案】2【分析】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．由点为的中点，可得与的面积之比，同理可得和的面积之比，即可解答出．【详解】解：为的中点，，同理可得，，，，故答案为：2．3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中D、E分别是的中点，，则．【答案】【分析】本题考查了利用三角形中线求解三角形的面积，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【详解】解：为的中点，，为的中点，，故答案为：．4．（22-23八年级上·云南昆明·期中）如图，是的中线，点、分别为、的中点，的面积为，则的面积是．【答案】【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等和的面积为，可求得，，，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用．【详解】解：∵点是的中点，∴，∵点是的中点，∴，，∴，∵点是的中点，∴，故答案为：．题型五角平分线的应用1．（23-24八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，请完成以下填空：

(1)____________；(2)____________；(3)______；(4)______．【答案】(1)，(2)，(3)(4)【分析】此题考查了三角形的中线、角平分线、高，用到的知识点是三角形的中线、角平分线、高的定义和面积公式，（1）根据三角形中线的性质即可得出答案；（2）根据三角形角平分线的性质即可得出答案；（3）根据三角形高的定义与性质即可得出答案；（4）根据三角形的面积公式即可得出答案．【详解】（1）解：是的中线，，故答案为：，；（2）解：是中的角平分线，，故答案为：，；（3）解：是中边的高，，，故答案为：；（4）解：，，故答案为：．2．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）完成下面证明：如图，平分，．求证．证明：∵平分∴（）∵（）∴（）．∴（）【答案】角平分线定义；已知；3；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定．熟练掌握角平分线的定义，平行线的判定是解题的关键．按照步骤作答即可．【详解】证明：∵平分，∴（角平分线定义），∵（已知），∴（等量代换），∴（内错角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线定义；已知；3；等量代换；内错角相等，两直线平行．3．（19-20八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，．（1）求的度数；（2）若，求的长．【答案】（1）10°；（2）2．【分析】(1)由题知∠ABE=∠BAE=40°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和求得∠AEC=80°，因为是边上的高，即可求解.(2)是的角平分线，结合题(1)得出∠DAC=30°，即可求解.【详解】解：（1）∵∴∴∵是边上得高，∴∴（2）∵是的角平分线，∴∴∵∴【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的性质，掌握这两个知识点是解题的关键.4．（2022七年级下·上海·专题练习）已知：如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：BC//DE．【答案】见解析【分析】由BE平分∠ABC，可得∠1＝∠3，再利用等量代换可得到一对内错角相等，即∠2＝∠3，即可证明结论．【详解】证明：∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴BC//DE．【点睛】本题主要利用了角平分线的性质以及内错角相等、两直线平行等知识点，灵活运用平行线的判定定理成为解答本题的关键．题型六利用网格求三角形面积1．（2023八年级上·安徽合肥·专题练习）如图，点都落在网格的顶点上．(1)画出先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度的，并写出的坐标；(2)求的面积．【答案】(1)作图见解析，(2)3【分析】本题主要考查了利用平移变换作图，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．（1）依据先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，即可得到；（2）依据三角形面积计算公式，即可得到的面积．【详解】（1）解：如图所示：；（2）解：的面积是．2．（22-23八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，．(1)点的坐标为______；点的的坐标为______．(2)①画出三角形；

②求出三角形的面积．【答案】(1)，；(2)①见解析；②．【分析】本题考查了坐标系中的平移问题，画平移图形，坐标系中的面积计算．（1）根据平移规律，横坐标减去6，纵坐标加上2，依次计算即可；（2）①根据画图形即可；②运用割补法计算面积即可．【详解】（1）∵任意一点，经平移后对应点为，∴，，平移后的坐标依次为，故，故答案为：；（2）①∵，，平移后的坐标依次为，故，画图如下：

②根据题意，．3．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上．(1)将先向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到，画出．(2)的面积为________．【答案】(1)见解析(2)6【分析】本题考查了直角坐标系中的平移变换作图，求三角形面积等知识，掌握平移的变换是解题的关键．（1）利用平移变换的性质分别作出、、，顺次连接即可；（2）直角利用三角形面积公式计算即可．【详解】（1）解：如图，即为所求，；（2）解：的面积为，故答案为：6．4．（23-24八年级上·广西贺州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，先向右平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，完成以下问题：(1)画出；(2)写出点的坐标；(3)求的面积．【答案】(1)见解析(2)、、；(3)11【分析】本题考查了作图﹣平移变换，三角形的面积的计算．（1）利用点平移的性质描出点的位置，然后连线即可；（2）根据点的位置写出坐标即可；（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；；（2）解：由图得、、；（3）解：的面积．1．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】此题考查了三角形面积的求解方法．解题的关键是由三角形的面积的求解方法与三条高的比是，求得三条边的比，设三边为，，三条对应的高为，，，根据的面积的求解方法即可求得，由的三条高的比是，易得，又由三条边的长均为整数，观察4个选项，即可求得答案．【详解】解：设三边为，，三条对应的高为，，，可得：，已知，可得，三边均为整数．又个答案分别是10，12，14，16．的边长可能是12．故选：B．2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，四边形面积为，，，则的面积等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，设，，根据已知得出①，进而得出，可得②，解方程组，即可求解．【详解】解：如图所示，连接，

设，∵∴，，∵，∴，即整理得①∵，则∴∴即解得②联立①②得∴，故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形面积公式，得出是解题的关键．3．（2020·福建泉州·模拟预测）如图，△ABC的面积为30cm2，AE＝ED，BD＝2DC，则图中四边形EDCF的面积等于（）A．8.5 B．8 C．9.5 D．9【答案】B【分析】连接CE，由AE=ED可得△ABE和△BED面积相等、△AEC与△DEC面积相等，同理可得△ABD的面积是△ADC面积的2倍，由△AEB与△BEC的面积比可得到其BE边上高之比，进而得到△EFC与△AEF的面积之比，求得△AEF的面积，再用△ADC的面积减去△AEF的面积即可得到四边形EDCF的面积．【详解】解：连接CE．∵△ABC的面积为30，AE=ED，BD=2DC∴S△ABD=20，S△ADC=10，S△ABE=S△BDE=10∴S△EDC=5∴S△BEC=15∴S△ABE:S△BEC=2:3∴△ABE与△BEC边上高之比为2:3∴S△AEF:S△EFC=2:3∵S△AEC=S△ADC-S△EDC=5∴S△AEF=∴四边形EDCF的面积为S△ADC-S△AEF=8．故选：B．【点睛】本题主要考查三角形面积计算的应该用，掌握面积公式并能熟练运用是解题关键．4．（23-24八年级上·重庆九龙坡·开学考试）如图，在中，点是线段的中点，点将线段分成，若四边形的面积是22，则的面积是．

【答案】18【分析】连接，设，，由题意可知，结合中点及，可得，，，，进而，整理得，求出，的值即可求得的面积．【详解】解：连接，设，，

∵四边形的面积是22，∴，∵点是线段的中点，∴，，则，∵，则∴，，即：，，则，∴，解得：，，∴，故答案为：18．【点睛】本题考查与三角形中线有关的面积问题，利用等高求得面积之比是解决问题的关键．5．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，点是线段的中点，连接交线段于点，若的面积是12，则的面积是．

【答案】【分析】连接，．由题意中的线段的比和，可推出，，从而可求出，．结合中点的性质即得出，从而可求出，进而得出，最后即得出，最后即可求出．【详解】解：如图，连接，．

∵，，∴，．又∵，∴，．∵点是线段的中点，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即,∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查线段的中点的性质，线段的n等分点的性质，与三角形的高有关的计算问题．正确的连接辅助线是解题关键．6．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形的边和延长相交于E，H和G分别是和的中点，已知四边形的面积为33，则的面积为【答案】/8.25/【分析】本题考查掌握三角形面积的求法、三角形中位线的性质．连接，设则设，则即可．【详解】解：连接，如图：设，设，则，．故答案为：．7．操作示例：如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1=S2．解决问题：在图2中，点D、E分别是边AB、BC的中点，若△BDE的面积为2，则四边形ADEC的面积为.拓展延伸：（1）如图3，在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1与S2之间的数量关系为．（2）如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接BE、CD交于点O，且BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面积为3，则四边形ADOE的面积为.