《初中数学•同步练习》八上13.2.2 三角形的中线、角平分线、高

PAGE113.2.2三角形的中线、角平分线、高1．如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（）A．B．C．D．2．下列说法正确的个数有（）①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内；②直角三角形只有一条高；③三角形的高至少有一条在三角形内；④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．AB＝2BFB．AE＝BEC．∠ACE=12∠ACBD．第3题图第4题图第5题图4．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD为BC边上的中线，若△ACD的周长为22，则△ABD的周长是．5．如图，在△ABC中，AD为中线，DE和DF分别为△ADB和△ADC的高．若AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝．6．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为2，且AB与AC的和为14，则AB＝，AC＝．第6题图第7题图第8题图7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝度．8．如图，在△ABC中，AF是中线，AD是角平分线，AE是高．请完成以下填空：（1）BF＝=12；（2）∠BAD＝=12（3）∠AEB＝＝90°；（4）S△ABC＝．9．已知△ABC（如图），按下列要求画图：（1）△ABC的中线AD；（2）△ABD的角平分线DM；（3）△ACD的高线CN；10．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．（1）∠2与∠DCB相等吗？为什么？（2）试说明CD是△ABC的高．11．如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为．12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①BF＝AF；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④S△ABE＝S△BCE．上述结论中，所有正确结论的序号是．第11题图第12题图13．如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O．（1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为；（2）若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数；（3）若CD是角平分线，∠A＝78°，求∠BOC的度数．14．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．（1）作图：在△BED中作出BD边上的高EF；BE边上的高DG；（2）若△ABC的面积为40，BD＝5，则△BED中BD边上的高EF为多少？15．【问题背景】（1）已知点A（1，2），B（5，2），C（﹣1，﹣1），D（3，﹣3），在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段AB和CD的中点M，N，然后写出点M和点N的坐标；【尝试应用】（2）①结合上述结果，我们可以发现：如果线段的两个端点坐标分别为（a，b），（c，d），则这条线段的中点坐标为；②若点P（﹣3，7），Q（1，﹣3），用我们发现的结论可以直接得到线段PQ的中点坐标为；【拓展创新】（3）已知三点E（1，1），F（7，4），H（4，﹣2）．①直接写出线段EF的三等分点的坐标；②三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，该点叫做三角形的重心．请你写出△EFH的重心G的坐标．13.2.2三角形的中线、角平分线、高1．如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（）A． B． C． D．【分析】根据AD为三角形的高，则AD⊥BC．所以∠ADB＝90°，然后对各选项进行判断．【解答】解：选项D中的AD是△ABC的高，故选：D．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：正确理解三角形的角平分线、中线和高的定义是解决问题的关键．2．下列说法正确的个数有（）①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内；②直角三角形只有一条高；③三角形的高至少有一条在三角形内；④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各项分析判断求解．【解答】解：①钝角三角形的三条高两条在三角形外，故错误；②直角三角形有三条高，故错误；③三角形的高至少有一条在三角形内，故正确；④三角形的高，角平分线及中线都是线段，故错误；故选：A．【点评】本题考查三角形的中线、角平分线和高，解题的关键是清楚这三条线的定义和在三角形中的位置．3．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．AB＝2BFB．AE＝BEC．∠ACE=12∠ACBD．【分析】根据高线，中线，角平分线的定义，进行判断即可．【解答】解：A、∵CF是边AB的中线，∴AB＝2BF，正确，不符合题意；B、无法证明AE＝BE，说法错误，符合题意；C、∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=12∠D、∵CD是△ABC的高，∴CD⊥AB，正确，不符合题意，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟知以上知识是解题的关键．4．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD为BC边上的中线，若△ACD的周长为22，则△ABD的周长是24．【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可．【解答】解：∵AD为BC边上的中线，∴BD＝DC，∵△ACD的周长为22，∴AC+AD+CD＝22，∴AC+AD+BD＝22，∵AC＝8，∴AD+BD＝14，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝10+14＝24，故答案为：24．【点评】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．5．如图，在△ABC中，AD为中线，DE和DF分别为△ADB和△ADC的高．若AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝2．【分析】由题意，△ABC中，AD为中线，可知△ABD和△ADC的面积相等；利用面积相等，问题可求．【解答】解：∵△ABC中，AD为中线，∴BD＝DC，∴S△ABD＝S△ADC，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，∴12•AB•ED=12•AC∴12×3×ED∴ED＝2．故答案为：2．【点评】此题考查的是三角形的中线和高，掌握三角形的中线，把三角形的面积分成相等的两部分是解决此题的关键．6．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为2，且AB与AC的和为14，则AB＝8，AC＝6．【分析】根据三角形中线的定义，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．【解答】解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝2，即AB﹣AC＝2①，又AB+AC＝14②，①+②得．2AB＝16，解得AB＝8，②﹣①得，2AC＝12，解得AC＝6，故答案为：8；6．【点评】本题考查了三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键．7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝50度．【分析】由AE平分∠BAC，可得∠BAE和∠EAC相等，由∠1＝30°，∠2＝20°，可求得∠EAD的度数．已知∠1和∠EAD，在直角三角形ABD中利用两锐角互余，可求得答案．【解答】解：∵AE平分∠BAC，∠1＝∠EAC，∴∠1＝∠EAD+∠2，∴∠1﹣∠2＝EAD＝30°，∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝30°﹣20°＝10°，∴Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣30°﹣10°＝50°．故答案为：50．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识，观察图形可知在直角三角形ABD中，若能求得∠EAD，则可利用内角和求出∠B．8．如图，在△ABC中，AF是中线，AD是角平分线，AE是高．请完成以下填空：（1）BF＝CF=12BC（2）∠BAD＝∠CAD=12∠BAC（3）∠AEB＝∠AEC＝90°；（4）S△ABC＝12BC•AE【分析】由三角形的中线、高线、角平分线的定义，即可得到答案．【解答】解：（1）∵AF是中线，∴BF＝CF=12故答案为：CF，BC；（2）∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD=12∠故答案为：∠CAD，∠BAC；（3）∵AE是△ABC的高，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，故答案为：∠AEC；（4）∵AE是△ABC的高，∴S△ABC=12BC•故答案为：12BC•AE【点评】本题考查三角形的中线、高线、角平分线，关键是掌握三角形的中线、高线、角平分线的定义．9．已知△ABC（如图），按下列要求画图：（1）△ABC的中线AD；（2）△ABD的角平分线DM；（3）△ACD的高线CN；【分析】（1）取BC的中点D，然后连接AD即可；（2）作∠ADB的平分线交AB于M点；（3）过C点作CN⊥AD于N点；【解答】解：（1）如图，AD为所作；（2）如图，DM为所作；（3）如图，CN为所作；【点评】本题考查三角形的中线，高线，角平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．10．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．（1）∠2与∠DCB相等吗？为什么？（2）试说明CD是△ABC的高．【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行得到DE∥BC，再根据两直线平行，同位角相等证明结论；（2）根据平行线的性质得到CD⊥AB，根据三角形的概念证明即可．【解答】解：（1）∠2＝∠DCB，理由如下：∵∠1＝∠ACB，∴DE∥BC，∴∠2＝∠DCB；（2）∵∠2＝∠3，∠2＝∠DCB，∴∠3＝∠DCB，∴HF∥CD，∵FH⊥AB，∴CD⊥AB，即CD是△ABC的高．【点评】本题考查的是平行线的判定和性质、三角形的高的概念，掌握平行线的判定定理是解题的关键．11．如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为107【分析】连接AE，BF，CD，根据三角形面积公式、三角形的中线的性质解答即可．【解答】解：如图，连接AE，BF，CD，∵点D、E、F分别是线段AF、BD的中点，∴AD＝DF，BE＝ED，∴S△ADE＝S△ABE，S△ABE＝S△FDE，同理可得：△ABC被分为7个面积相同的三角形，∴阴影部分的三角形的面积是△ABC的面积的17∵△ABC的面积为10，∴阴影部分的面积是107故答案为：107【点评】本题考查的是三角形中线的性质，利用三角形中线的性质得出面积相等的三角形是解题的关键．12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①BF＝AF；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④S△ABE＝S△BCE．上述结论中，所有正确结论的序号是②③④．【分析】根据三角形的中线的性质判断S△ABE＝S△BCE；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等可得∠AGF＝∠AFG；根据角平分线的定义∠FAG＝∠ACB＝2∠ACF，即可求解．【解答】解：∵BE是△ABC的中线，∴S△ABE＝S△BCE，故④正确，符合题意；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD⊥BC，∴∠BCF+∠CGD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACF+∠AFG＝90°，∴∠CGD＝∠AFG，∵∠CGD＝∠AGF，∴∠AGF＝∠AFG，故②正确，符合题意；∵AD⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠FAG＝∠ACB＝2∠ACF，故③正确，符合题意；根据已知条件无法证明BF＝AF，故①错误，不符合题意；故答案为：②③④．【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．13．如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O．（1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为1；（2）若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数；（3）若CD是角平分线，∠A＝78°，求∠BOC的度数．【分析】（1）根据△BCD的周长为：BC+CD+BD，△ACD的周长为：AC+CD+AD，可得△BCD与△ACD的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD，再根据中线定义得AD＝BD，以及BC＝3，AC＝2即可得出答案；（2）根据BE是∠ABC的平分线得∠ABE＝31°，再根据CD是△ABC的高得∠CDB＝90°，再由三角形外角性质得∠BOC＝∠CDB+∠ABE，据此即可得出答案；（3）根据∠A＝78°得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝102°，再根据角平分线定义得∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）＝51°，然后再由三角形内角和定理即可得出∠【解答】解：（1）∵△BCD的周长为：BC+CD+BD，△ACD的周长为：AC+CD+AD，∴△BCD与△ACD的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD，∵CD是△ABC的中线，∴AD＝BD，又∵BC＝3，AC＝2，∴BC﹣AC+BD﹣AD＝3﹣2＝1，即△BCD与△ACD的周长差为：1．故答案为：1．（2）∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC＝62°，∴∠ABE=12∠ABC∵CD是△ABC的高，∴∠CDB＝90°，∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°；（3）在△ABC中，∠A＝78°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝102°，∵BE是∠ABC的平分线，CD是∠ACB平分线，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣51°＝129°．【点评】此题主要考查了三角形的角平分线，中线和高，理解三角形的角平分线，中线和高的定义，灵活运用三角形的内角和定理及外角性质进行角的计算是解决问题的关键．14．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．（1）作图：在△BED中作出BD边上的高EF；BE边上的高DG；（2）若△ABC的面积为40，BD＝5，则△BED中BD边上的高EF为多少？【分析】（1）根据高线的定义，画高即可；（2）根据中线平分三角形的面积以及三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：（1）如图所示，EF、DG即为所求作；（2）∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，∴S△ABD∴S△BDE∵△ABC的面积为40，BD＝5，∴S△BDE∴EF＝4，即△BED中BD边上的高EF为4．【点评】本题考查三角形的高线，三角形的中线，掌握三角形中线的性质是解题的关键．15．【问题背景】（1）已知点A（1，2），B（5，2），C（﹣1，﹣1），D（3，﹣3），在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段AB和CD的中点M，N，然后写出点M和点N的坐标；【尝试应用】（2）①结合上述结果，我们可以发现：如果线段