《初中数学•同步练习》八上13.3.1 三角形的内角(第1课时)

PAGE113.3.1.1三角形的内角(1)1．如图，△ABC缺了一个角∠C，若∠A＝76°，∠B＝20°，则∠C的度数是（）A．96° B．86° C．84° D．66°2．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，BD是△ABC的角平分线，则∠ABD的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°3．将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝62°，则∠EDB的度数为（）A．12° B．13° C．17° D．18°第1题图第2题图第3题图4．若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形5．如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架设计成很多个三角形组成，这样做的数学根据是（）A．三角形的内角和等于180° B．三角形两边的和大于第三边 C．三角形两边的差小于第三边 D．三角形具有稳定性第5题图第7题图第8题图6．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝30°，则∠C＝°．7．如图，△ABC中，ED∥AC，∠B＝55°，∠DEB＝90°，则∠A的度数为．8．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C＝135°，∠A＝15°，则∠A′DB的度数为．9．如图，∠A＝60°，∠B＝40°．（1）求∠1的度数；（2）若∠BCD＝140°，求证：AB∥CD．10．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，且∠EBC=13∠ABC，∠ECB=13∠ACB，则∠A．3∠E﹣2∠D＝180° B．3∠D﹣2∠E＝180° C．3∠E﹣2∠D＝90° D．3∠D﹣2∠E＝90°第10题图第11题图11．如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点，若∠B+∠C＝60°，∠D＝70°，则∠1+∠2的度数为（）A．50° B．60° C．65° D．70°12．若△ABC中刚好有∠B＝2∠C，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（）A．45°或36° B．72°或36° C．45°或72° D．45°或36°或72°13．如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数；（2）如图2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）．14．问题解决问题三角形内角和为什么等于180°问题提出如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想；然而实验会存在误差，不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于180°呢？思路启迪从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以“移动”，组成一个平角呢？思考•尝试请过三角形的顶点A添加辅助线，使角“移动”到合适位置，便于说明三角形内角等于180°，要求如下：1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述．逻辑说理在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于180°的理由．触类旁通小华同学通过思考，发现在△ABC边AB上任意取一点P（不与点A重合），如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”．（1）完成“思考•尝试”中的操作与描述；（2）写出“逻辑说理”中的说理过程；（3）写出“触类旁通”中的说理过程．13.3.1.1三角形的内角(1)1．如图，△ABC缺了一个角∠C，若∠A＝76°，∠B＝20°，则∠C的度数是（）A．96° B．86° C．84° D．66°【分析】根据三角形内角和定理可得∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，由此即可求出答案．【解答】解：根据三角形内角和定理可得：∠C＝180°﹣76°﹣20°＝84°，故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握该知识点是关键．2．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，BD是△ABC的角平分线，则∠ABD的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠ABC的度数，再结合角平分线的定义，即可求出∠ABD的度数．【解答】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=12∠ABC故选：B．【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．3．将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝62°，则∠EDB的度数为（）A．12° B．13° C．17° D．18°【分析】由三角板的特征得出∠DEF＝45°，∠ABC＝30°，即可求出∠BED、∠ABE的度数，在△BED中根据三角形内角和定理即可求出∠EDB的度数．【解答】解：根据题意得，∠DEF＝45°，∠ABC＝30°，∵∠FEB＝62°，∴∠BED＝∠FEB﹣∠DEF＝62°﹣45°＝17°，∵∠ABC＝30°，∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣30°＝150°，∴∠EDB＝180°﹣∠ABE﹣∠BED＝180°﹣150°﹣17°＝13°，故选：B．【点评】本题考查了三角形内角和定理，一副三角板的特征，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．4．若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【分析】根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的度数进一步判断三角形的形状．【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：4，∴三个内角分别是180°×29=40°，180°×所以该三角形是锐角三角形．故选：A．【点评】此题考查三角形的内角和定理以及三角形的分类：三角形的内角和180°．5．如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架设计成很多个三角形组成，这样做的数学根据是（）A．三角形的内角和等于180° B．三角形两边的和大于第三边 C．三角形两边的差小于第三边 D．三角形具有稳定性【分析】从安全角度和三角形的稳定性质进行分析即可得出答案．【解答】解：从安全角度讲，塔吊机需要特别稳固，框架设计成很多个三角形是利用了三角形具有稳定性，故选：D．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，解题的关键是灵活运用三角形的性质．6．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝30°，则∠C＝110°．【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，即可求出∠C的度数．【解答】解：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝30°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣30°＝110°．故答案为：110．【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．7．如图，△ABC中，ED∥AC，∠B＝55°，∠DEB＝90°，则∠A的度数为35°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠D，再根据平行线的性质即可求解．【解答】解：∵∠B＝55°，∠DEB＝90°，∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠DEB＝180°﹣55°﹣90°＝35°，∵ED∥AC，∴∠A＝∠BDE＝35°，故答案为：35°．【点评】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，熟记以上知识点是解题的关键．8．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C＝135°，∠A＝15°，则∠A′DB的度数为120°．【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠B，根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE＝∠B，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE＝∠ADE，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵∠C＝135°，∠A＝15°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣15°﹣135°＝30°，∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，∴∠ADE＝∠B＝30°，∠A′DE＝∠ADE＝30°，∴∠A′DB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．故答案为120°．【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．9．如图，∠A＝60°，∠B＝40°．（1）求∠1的度数；（2）若∠BCD＝140°，求证：AB∥CD．【分析】（1）在△ABC中，由∠1＝180°﹣∠A﹣∠B，再代入数据计算即可；（2）先得出∠BCD+∠B＝180°，再根据平行线的判定即可得证．【解答】（1）解：∵在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，∴∠1＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，即∠1的度数为80°；（2）证明：∵∠BCD＝140°，∠B＝40°，∴∠BCD+∠B＝180°，∴AB∥CD．【点评】本题考查三角形内角和，平行线的判定，解题的关键是掌握：三角形的内角和为180°、同旁内角互补，两直线平行．10．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，且∠EBC=13∠ABC，∠ECB=13∠ACB，则∠A．3∠E﹣2∠D＝180° B．3∠D﹣2∠E＝180° C．3∠E﹣2∠D＝90° D．3∠D﹣2∠E＝90°【分析】根据角平分线的性质可得，∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，由∠EBC=13∠ABC，∠ECB=13∠ACB，可得∠DBC=32∠EBC，∠DCB=32∠ECB，由三角形内角和定理可得∠【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，∴∠DBC=12∠ABC∵∠EBC=13∠ABC，∠ECB=1∴∠DBC=32∠EBC∵∠D+∠DBC+∠DCB＝180°，∴∠D+3∵∠E+∠EBC+∠ECB＝180°，∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠E，∴∠D+3整理得3∠E﹣2∠D＝180°，故选：A．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和定理是解题的关键．11．如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点，若∠B+∠C＝60°，∠D＝70°，则∠1+∠2的度数为（）A．50° B．60° C．65° D．70°【分析】连接EF，利用三角形的内角和定理结合整体思想即可解决问题．【解答】解：如图，连接EF，∵∠B+∠C＝60°，∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝120°，∴∠AEF+∠AFE＝180°﹣∠A＝60°．∵∠D＝70°，∴∠DEF+∠DFE＝180°﹣∠D＝110°，∵∠1+∠AEF＝∠DEF，∠2+∠AFE＝∠DFE，∴∠1+∠2＝∠DEF+∠DFE﹣（∠AEF+∠AFE）＝110°﹣60°＝50°．故选：A．【点评】本题考查三角形内角和定理，熟知三角形的内角和定理及巧用整体思想是解题的关键．12．若△ABC中刚好有∠B＝2∠C，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（）A．45°或36° B．72°或36° C．45°或72° D．45°或36°或72°【分析】分设三角形底角为α，顶角为2α或设三角形的底角为2α，顶角为α，根据三角形的内角和为180°，得出答案．【解答】解：①设三角形底角为α，顶角为2α，则α+α+2α＝180°，解得：α＝45°，②设三角形的底角为2α，顶角为α，则2α+2α+α＝180°，解得：α＝36°，∴2α＝72°，∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°，故选：C．【点评】本题是新定义题，主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，运用分类思想是解题的关键．13．如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数；（2）如图2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）．【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义可得∠EBC＝60°，∠AEF＝60°，根据角平分线的性质和平行线的性质可得∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝30°，再根据三角形内角和定理可求∠BAD的度数；（2）过点A作AG∥BC，则∠BDA＝∠DBC+∠DAG＝∠DBC+∠FAD+∠FAG＝∠DBC+∠FAD+∠C＝β，依此即可求解．【解答】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF＝120°，∴∠EBC＝60°，∠AEF＝60°，又∵BD平分∠EBC，∴∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝30°，又∵∠BDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠BAD＝60°；（2）如图2：过点A作AG∥BC，则∠BDA＝∠DBC+∠DAG＝∠DBC+∠FAD+∠FAG＝∠DBC+∠FAD+∠C＝β，则∠FAD+∠C＝β﹣∠DBC＝β−12∠ABC＝β−【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键．14．问题解决问题三角形内角和为什么等于180°问题提出如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想；然而实验会存在误差，不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于180°呢？思路启迪从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以“移动”，组成一个平角呢？思考•尝试请过三角形的顶点A添加辅助线，使角“移动”到合适位置，便于说明三角形内角等于180°，要求如下：1．