2025年专升本数学专业高等代数测试试卷（含答案）

2025年专升本数学专业高等代数测试试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设向量组α₁,α₂,α₃线性无关，向量β₁=α₁+α₂,β₂=α₂+α₃,β₃=α₃+α₁，则向量组β₁,β₂,β₃的秩为（）。(A)1(B)2(C)3(D)不能确定2.设A是n阶可逆矩阵，B是n阶矩阵，则下列运算中（）一定正确。(A)AB=BA(B)(AB)ᵀ=AᵀBᵀ(C)|AB|=|BA|(D)(AB)⁻¹=A⁻¹B⁻¹3.设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，若AB=O（零矩阵），则必有（）。(A)A=O或B=O(B)r(A)+r(B)=n(C)r(A)≤n(D)s=04.n阶矩阵A满足A²-2A-3I=O，则A的特征值可能是（）。(A)-3(B)-1(C)1(D)35.二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+ax₃²+2x₁x₂+4x₁x₃+2x₂x₃的正惯性指数为2，则实数a的取值范围是（）。(A)a>1(B)a=1(C)a<-2(D)a≥-2二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。6.设A=[aij]是三阶矩阵，其中aij=i+j，则|A|=_______。7.若线性方程组Ax=b有无穷多解，其中A是4×3矩阵，则其增广矩阵(A|b)的秩r(A|b)=_______。8.设向量α=(1,k,2)ᵀ与β=(0,1,-1)ᵀ正交，则实数k=_______。9.设A是三阶矩阵，其特征值为1,2,-1，则|A|=_______，tr(A)=_______。10.设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁x₂+x₂x₃通过正交变换x=Pz化为标准形f=z₁²-z₂²+2z₃²，则原二次型的矩阵A的特征值为_______，_______，_______。三、计算题：本大题共4小题，共55分。11.（10分）计算行列式|A|，其中A=⎡⎢⎣1234⎤⎥⎦。12.（15分）设线性方程组\[\begin{cases}x₁+2x₂+3x₃=1\\2x₁+3x₂+ax₃=3\\x₁+3x₂+4x₃=b\end{cases}\](1)讨论该方程组何时有解、无解；(2)若有解，求其通解。13.（15分）设向量组α₁=(1,1,1)ᵀ,α₂=(1,2,3)ᵀ,α₃=(1,3,t)ᵀ。(1)当t为何值时，向量组α₁,α₂,α₃线性无关？(2)当t为何值时，向量组α₁,α₂,α₃线性相关？并在此时求出它的一个极大无关组。14.（15分）设矩阵A=⎡⎢⎣011⎤⎥⎦，求A的特征值与特征向量，并判断A是否可对角化。若可对角化，求可逆矩阵P，使得P⁻¹AP为对角矩阵。试卷答案一、选择题1.C2.B3.C4.B5.D二、填空题6.67.38.-19.-2,310.1,-1,2三、计算题11.解：原式=|1234|（按第一行展开）=1×|234|-2×|134|+3×|124|-4×|123|=1×(2×4-3×4)-2×(1×4-3×1)+3×(1×3-2×1)-4×(1×2-2×1)=1×(-4)-2×(1)+3×(1)-4×(0)=-4-2+3=-3.12.解：对增广矩阵(A|b)进行行变换：(123|1)→(123|1)(23a|3)→(123|1)R₂-2R₁→(01a-6|1)(134|b)→(123|1)R₃-R₁→(011|b-1)→(123|1)→(01a-6|1)→(011|b-1)→(01a-6|1)R₃-R₂→(00a-7|b-2)(123|1)(01a-6|1)(00a-7|b-2)(1)当a=7且b≠2时，r(A)=2,r(A|b)=3，方程组无解。当a=7且b=2时，r(A)=r(A|b)=2<3，方程组有无穷多解。当a≠7时，r(A)=r(A|b)=3，方程组有唯一解。(2)若方程组有解，即a≠7或(a=7且b=2)。若a≠7，则增广矩阵可化为(123|1)(01a-6|1)(001|(b-2)/(a-7))，解得x₃=(b-2)/(a-7)，x₂=1-(a-6)x₃=1-(a-6)(b-2)/(a-7)，x₁=1-2x₂-3x₃=1-2[1-(a-6)(b-2)/(a-7)]-3(b-2)/(a-7)=(a+b-5)/(a-7)。通解为(x₁,x₂,x₃)=[(a+b-5)/(a-7),1-(a-6)(b-2)/(a-7),(b-2)/(a-7)]。若a=7且b=2，则增广矩阵可化为(123|1)(011|1)(000|0)，解得x₂=1-x₃，x₁=1-2x₂-3x₃=1-2(1-x₃)-3x₃=-1+x₃。通解为(x₁,x₂,x₃)=(-1+x₃,1-x₃,x₃)，即x=(-1,1,0)ᵀ+x₃(1,-1,1)ᵀ，其中x₃为任意常数。13.解：构成矩阵A=[α₁,α₂,α₃]=[(111),(123),(13t)]。(1)对A进行行变换：(111)→(111)(123)→(123)R₂-R₁→(012)(13t)→(13t)R₃-R₁→(02t-1)→(111)→(012)→(02t-1)→(012)R₃-2R₂→(00t-5)当t≠5时，r(A)=3，向量组α₁,α₂,α₃线性无关。当t=5时，r(A)=2<3，向量组α₁,α₂,α₃线性相关。(2)当t=5时，向量组线性相关。由行简化阶梯形(111)(012)(000)可知，α₁,α₂线性无关，α₃=-2α₁+α₂。极大无关组为{α₁,α₂}。14.解：设A=[aᵢⱼ]，其中a₁₁=0,a₁₂=1,a₁₃=1,a₂₁=0,a₂₂=0,a₂₃=1,a₃₁=0,a₃₂=1,a₃₃=0。|λI-A|=|λ0-1|=|λ0-1|λ|-(-1)|(-1)|+0|=λ[λ(λ)-0]+1[-(λ)-0]=λ³-λ=λ(λ²-1)=λ(λ-1)(λ+1)。令|λI-A|=0，得特征值λ₁=0,λ₂=1,λ₃=-1。(1)对于λ₁=0，解(0I-A)x=0，即(-A)x=0，得(0-1-1)(x₁)=(0)(x₂)=(0)(x₃)(00-1)()=()()(010)()=()()→(0-1-1)(x₁)=(0)(x₂)=(0)(x₃)→(00-1)(x₂)=(0)(00)→(010)(x₃)=(0)(00)→(001)(x₃)=(0)(00)→(000)()=(0)()→(010)(x₂)=(0)(00)→(001)(x₃)=(0)(00)得x₂=0,x₃=0,x₁任意。特征向量为k₁(1,0,0)ᵀ，k₁≠0。(2)对于λ₂=1，解(1I-A)x=0，即(10-1)(x₁)=(0)(x₂)=(0)(x₃)(01-1)()=()()(0-11)()=()()→(10-1)(x₁)=(0)(x₂)=(0)(x₃)→(01-1)(x₂)=(0)(00)→(0-11)(x₃)=(0)(00)→(000)()=(0)()→(10-1)(x₁)=(0)(x₂)=(0)(x₃)→(01-1)(x₂)=(0)(00)→(000)()=(0)()得x₂=x₃,x₁=x₃。特征向量为k₂(1,1,1)ᵀ，k₂≠0。(3)对于λ₃=-1，解(-1I-A)x=0，即(-10-1)(x₁)=(0)(x₂)=(0)(x₃)(0-1-1)()=()()(01-1)()=()()→(-10-1)(x₁)=(0)(x₂)=(0)(x₃)→(0-1-1)(x₂)=(0)(00)→(01-1)(x₃)=(0)(00)→(-10-1)(x₁)=(0)(x₂)=(0)(x₃)→(0-1-1)(x₂)=(0)(00)→(01-1)(x₃)=(0)(00)→(-10-1)(x₁)=(0)(x₂)=(0)(x₃)→(0-1-1)(x₂)=(0)(00)→(002)(x₃)=(0)(00)→(001)(x₃)=(0)(00)→(000)()=(0)()→(101)(x₁)=(0)(x₂)=(0)(x₃)→(011)(x₂)=(0)(00)→(000)()=(0