2025年专升本高等数学专项试卷（含答案）

2025年专升本高等数学专项试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数f(x)=√(4-x²)的定义域是().(A)(-∞,-2)∪(2,+∞)(B)[-2,2](C)(-2,2)(D)(-∞,-4]∪[4,+∞)2.当x→0时，下列函数中极限存在且不为零的是().(A)sin(1/x)(B)e^x-1(C)1/x²(D)log(1+x)3.函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值是().(A)-4(B)4(C)0(D)84.若函数f(x)在点x₀处可导，且f'(x₀)=2，则当Δx→0时，函数f(x)在点x₀处的增量Δy与Δx的比值极限为().(A)1(B)2(C)Δx(D)05.曲线y=x²-4x+3的拐点是().(A)(1,-2)(B)(2,-1)(C)(0,3)(D)(4,-1)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。6.极限lim(x→2)(x²-4)/(x-2)=_______.7.若函数f(x)=3x²+ax+b的导函数f'(x)在x=1处的值为6，则a=_______，b是任意常数。8.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=_______.9.若f(x)=∫(from0tox)t²dt，则f'(x)=_______.10.不定积分∫xcos(x²)dx=_______(结果不含积分符号).三、计算题：本大题共4小题，每小题7分，共28分。11.求极限lim(x→∞)(3x³-x+2)/(x²+5x-1).12.求函数f(x)=x³-3x²+2的单调区间和极值点。13.计算不定积分∫(x²+2x+3)/xdx.14.计算定积分∫(from0to1)x²e^x³dx.四、应用题：本大题共2小题，每小题10分，共20分。15.某企业生产一种产品，固定成本为10万元，每生产一件产品，可变成本增加3元，产品的售价为每件10元。问企业至少生产多少件产品才能盈利？16.求由抛物线y²=4x和直线x=1所围成的平面图形的面积。五、证明题：本大题共1小题，共12分。17.证明：函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上至少存在一个零点。试卷答案1.B2.B3.B4.B5.A6.47.08.(f(b)-f(a))/(b-a)9.x³10.(1/2)sin(x²)+C11.解：lim(x→∞)(3x³-x+2)/(x²+5x-1)=lim(x→∞)[3-(1/x²)+(2/x³)]/(1/x+5/x²-1/x³)=lim(x→∞)(3-(1/x²)+(2/x³))/(1/x+5/x²-1/x³)=3/0=+∞12.解：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2).令f'(x)=0，得x₁=0,x₂=2.当x<0时，f'(x)>0；当0<x<2时，f'(x)<0；当x>2时，f'(x)>0.故函数在(-∞,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增.极值点：x=0为极大值点，x=2为极小值点.13.解：∫(x²+2x+3)/xdx=∫(x+2+3/x)dx=∫xdx+∫2dx+∫(3/x)dx=(1/2)x²+2x+3ln|x|+C.14.解：令u=x³，则du=3x²dx，x²dx=(1/3)du.当x=0时，u=0；当x=1时，u=1.∫(from0to1)x²e^x³dx=∫(from0to1)e^u*(1/3)du=(1/3)∫(from0to1)e^udu=(1/3)[e^u]_(0)^(1)=(1/3)(e^1-e^0)=(1/3)(e-1).15.解：设生产x件产品，总收入为R(x)=10x，总成本为C(x)=10+3x.盈利即R(x)>C(x)，10x>10+3x，得7x>10，x>10/7.故至少生产15件产品才能盈利.16.解：联立方程组{y²=4x,x=1}，得y=±2.所围图形的面积S=∫(from-2to2)(1-y²/4)dy=[y-(1/12)y³]_(from-2to2)=(2-(1/12)×2³)-(-2-(1/12)×(-2)³)=2-(1/3)+2-(1/3)=4-(2/3)=10/3.17.证明：令g(x)=x³-3x-f(0).则g(x)在[-2,2]上连续，且g(0)=0³-3×0-f(0)=-f(0).若f(0)=0，则x=0就是函数f(x)的零点.若f(0)≠0，则g(0)≠0，那么g(0)要么大于0，要么小于0.若g(0)>0，则g(0)=-f(0)>0，即f(0)<0.又g(-2)=(-2)³-3×(-2)-f(0)=-8+6-f(0)=-2-f(0).因为f(0)<0，所以-2-f(0)>0，即g(-2)>0.由介值定理，在(-2,0)内至少存在一点ξ₁，使得g(ξ₁)=0，即f(ξ₁)=0.若g(0)<0，则g(0)=-f(0)<0，即f(0)>0.又g(2)=2³-3×2-f(0)=8-6