江苏省南京市玄武区2025-2026学年九年级上学期期中数学模拟试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江苏省南京市玄武区2025-2026学年九年级上学期期中数学模拟试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（

）A． B． C． D．2．用配方法解一元二次方程，则方程可化为（）A． B．C． D．3．方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定4．若在一组数据，，，中，再添加一个数据，则这组新数据与原数据相比发生变化的统计量是（

）A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数5．如图，四边形内接于，为的直径，连接，若，则的度数为（

）A． B． C． D．6．如图，C、D是以为直径的上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦始终保持不变，M是弦的中点，过点C作于点P．若，则最大值是（

）A．1 B． C．2 D．2.5二、填空题7．一元二次方程的解为：．8．每年的4月23日是“世界读书日”，某校开展了“书香浸润心灵阅读点亮人生”读书系列活动，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：小时）进行统计，数据如下：甲组乙组两组数据的方差分别为，，则（填“”，“”或“”）9．学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，列方程，并化为一般形式是．10．工人师傅用一张半径为24，圆心角为的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为．11．如图，在，点，分别是和上的点，，，连接．现假设可以在图中随意取点，则这个点取在阴影部分的概率是．12．如图，等腰直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D是量角器上刻度线的外端点，连接交于点E，则的度数为．13．如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为4的正六边形的顶点处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟一次跳正六边形的1个边长，黑跳棋按逆时针方向3秒钟一次跳正六边形的1个边长，经过2022秒钟后停止跳动，此时两枚跳棋之间的距离是．14．已知实数m，n满足，，且，若，则代数式的最小值是．15．如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为，与x轴相切，点P在y轴正半轴上，与相切于点B．若，则点P的坐标为．16．如图，是正方形的外接圆，点是劣弧上的任意一点，连接，作于点，连接则当点从点出发按顺时针方向运动到点时，长的取值范围为．

三、解答题17．解方程：(1)(2)18．咸阳市博物馆是国家二级博物馆，属国家级旅游景区．如图是该博物馆附近某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放．(1)甲停放在位置的概率为______；(2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率．19．已知：．(1)尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）(2)如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积．20．某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：成绩得分用x表示，共分成四组：，，，九年级（1）班10名学生的成绩是：，，，，，，，，，．九年级（2）班名学生的成绩在C组中的数据是：，，通过数据分析，列表如下：九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数方差九年级（1）班bc九年级（2）班根据以上信息，解答下列问题：(1)直接写出上述a、b、c的值：______，______，______；(2)学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．(3)九年级两个班共人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是多少？21．某体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为136米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽3米的门（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点F必须在线段上，设的长为x米．(1)_______米；（用含x的代数式表示）(2)若围成的篮球场的面积为1200平方米，求的长；（围网及墙体所占面积忽略不计）22．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．

（1）求证：AE=AB；（2）若AB=10，BC=6，求CD的长．23．已知关于的方程有两个实数根．(1)求的取值范围；(2)当取最大整数值时，方程与有一个相同的根，求的值；(3)若方程的两个根均为正整数，直接写出的值．24．如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接．

（1）求证：是的切线；（2）若，求阴影部分的面积．25．如图1，，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称∠CPD是的“相望角”，如图，(1)如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接．求证：∠CPD是的“相望角”；(2)如图3，若直径，弦，的“相望角”为，求的长．26．为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC与BD相交于点E．【特殊情形】(1)如图①，，过圆心O作，垂足为F．当BD是圆O的直径时，求证：．【一般情形】(2)如图②，，过圆心O作，垂足为F．当BD不是圆O的直径时，求证：．【经验迁移】(3)如图③，，，F为上的一点，，若M为DF的中点，连接AM，则AM长的最小值为___________．27．如图①，矩形中，，，半径为的与线段相切于点M，圆心P与点C在直线的同侧，沿线段从点B向点D滚动．(1)________；的度数为________；(2)①当切点与点重合时，求与矩形重叠部分的面积②求的最小值．(3)①若与矩形的两条对角线都相切，求此时线段的长；②如图③，是上任意一点，直接写出的最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《江苏省南京市玄武区2025-2026学年九年级上学期期中数学模拟试卷》参考答案题号123456答案DBAACD1．D【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，根据题意，可得圆的直径为，直径是圆上最长的弦，即，即可得到答案．【详解】解：∵、为上的两点，若的半径为，∴，∴D不符合题意．故选：D．2．B【分析】把常数项移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方，配成完全平方的形式，从而可得答案．【详解】解：由原方程移项，得，等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方得，即；故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键；配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方．3．A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用根的判别式判断根的情况是解题的关键．利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可求解．【详解】解：∵，∴，，，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．4．A【分析】本题主要考查了众数，中位数，方差，平均数等知识点．依据定义和公式分别算出新数据和原数据的平均数，中位数，众数，方差，进而得出结论．【详解】解：∵原数据的，，，的平均数为，中位数为，众数为，方差为，新数据，，，，的平均数为，中位数为，众数为，方差为；∴添加一个数据，方差发生变化．故选：A．5．C【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，再根据直角三角形的两锐角互余计算即可．【详解】解：如图，连接，∵四边形内接于，∴，∵，∴，∵，∴，∵为的直径，，，故选：C．6．D【分析】本题主要考查垂径定理，添加辅助线，构造中位线，是解题的关键.延长交于点，连接，根据垂径定理得，结合，可得，进而即可得到答案.【详解】延长交于点，连接，∵，∴.∵点是弦的中点，∴，∴，∴当为的直径时，的值最大，此时的值取最大值，最大值为.故选D．7．，【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：，，，，，，，故答案为：，．8．【分析】分别计算出甲班和乙班的方差即可得到答案．【详解】解：甲班的平均数为，乙班的平均数为，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了求方差，熟知方差计算公式是解题的关键．9．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，再根据“种植面积达到”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．【详解】解：∵学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地，小道的宽为，∴除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，由题意可得：，化为一般式为：，故答案为：．10．10【分析】本题考查圆锥的计算，正确运用弧长公式求出扇形的弧长是解题关键．先利用弧长公式求出扇形的弧长，即圆锥底面的周长，即可求出圆锥底面的半径．【详解】解：扇形的半径为24，圆心角为，扇形弧长为，即圆锥的底面周长为，圆锥底面半径为，故答案为：10．11．【分析】本题考查了相似三角形的性质（相似三角形面积比等于相似比的平方）以及三角形面积的比例关系，利用相似三角形的性质和三角形面积的比例关系，逐步推导出阴影部分面积与原三角形面积的比例，从而求出概率是解题的关键．由平行得，利用相似三角形的性质和三角形面积的比例关系，逐步推导出阴影部分面积与原三角形面积的比例，从而求出概率．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴在图中随意取点，则这个点取在阴影部分的概率．故答案为：．12．/73度【分析】此题考查了圆周角定理，三角形外角性质，正确理解并应用圆周角定理是解题的关键．取的中点O，连接，由，得到点C在圆O上，求得，利用，根据三角形外角性质求出．【详解】解：取的中点O，连接，由题意得，∵，∴点C在圆O上，∴，∵，∴，故答案为：．13．【分析】分别计算红跳棋和黑跳棋过2022秒钟后的位置，红跳棋跳回到点，黑跳棋跳到点，可得结论．【详解】解：红跳棋从点按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，红跳棋每过6秒返回到点，，经过2022秒钟后，红跳棋跳回到点，黑跳棋从点按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，黑跳棋每过18秒返回到点，，经过2022秒钟后，黑跳棋跳到点，连接，过点作，如图所示：由题意可得，，，则，在中，，，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形和圆、勾股定理、含的直角三角形性质等知识，根据方向和速度确定经过2022秒钟后两枚跳棋的位置是解本题的关键．14．3【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．根据，，得出，以及实数m，n满足，，即可将整理为，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而得出，最后根据二次函数的增减性，即可解答．【详解】解：∵，，∴，∴，∵实数m，n满足，，且，∴m、n可看作关于x的一元二次方程的两根，∴，∴，∵，∴当时，的值随x的增大而增大，∵，∴当时，有最小值，最小值为．故答案为：3．15．【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线．连接，作轴，轴，根据切线的性质结合A点坐标可求出．再根据含30度的直角三角形的性质可求出．又易证四边形是矩形，得出，，最后在中，利用勾股定理求出，即可求出的长，即得出P点坐标．【详解】如图，连接，作轴，轴．∵与相切于点B，∴．∵与x轴相切，轴，点A的坐标为，∴．∵，∴．∵，∴四边形是矩形，∴，，∵在中，，∴当点在点上方时，，∴点P的坐标为，当点在点下方时，，∴点P的坐标为．∵点P在y轴正半轴上，∴综上所述：点坐标为，故答案为：．16．【分析】首先根据题意可知，当点与点重合时最长，的最大值为；再证明点的运动轨迹为以为直径的，通过添加辅助线连接交于点，连接，由线段公理可知，当点与点重合时最短，的最小值为．即可得解．【详解】解：∵由题意可知，当点与点重合时最长∴此时，即的最大值为∵∴∴点的运动轨迹为以为直径的，连接交于点，连接，如图：

∵∴∴在中，∴∴由两点之间，线段最短可知，当点与点重合时最短∴的最小值为∴．【点睛】本题考查了正多边形和圆的动点问题、的圆周角所对的弦为直径、勾股定理、线段公理等知识点，解题的关键是确定取最大值和最小值时点的位置，属于中考常考题型，难度中等．17．(1)，(2)，【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是：（1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可；（2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可；【详解】（1）解∶，，或，∴，；（2）解∶，，或，∴，．18．(1)(2)【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．（1）直接用概率公式求解即可；（2）用画树状图法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停放在相邻车位的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】（1）解：∵一个有4个空闲的停车位，且每个停车位被选择的概率相同，∴甲停放在位置的概率为；（2）解：画树状图如下所示：由树状图可以得所有等可能的情况共有12种，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有6种，∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率为．19．(1)作图见详解(2)9.1【分析】（1）根据角平分线的性质可知角平分线的交点为三角形内切圆的圆心，故只要作出两个角的角平分线即可；（2）利用割补法，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，这样将△ABC分成三个小三角形，这三个小三角形分别以△ABC的三边为底，高为内切圆的半径，利用提取公因式可将周长代入，进而求出三角形的面积．【详解】（1）解：如下图所示，O为所求作点，（2）解：如图所示，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∵内切圆的半径为1.3，∴OD=OF=OE=1.3，∵三角形ABC的周长为14，∴AB+BC+AC=14，则故三角形ABC的面积为9.1．【点睛】本题考查三角形的内切圆，角平分线的性质，割补法求几何图形的面积，能够将角平分线的性质与三角形的内切圆相结合是解决本题的关键．20．(1)，，；(2)选派九年级（2）班，理由见解析(3)人【分析】本题考查扇形统计图，平均数，中位数，众数，方差，用样本估计总体，理解相关统计量的意义，能从统计图中获取有用数据是解题的关键．（1）先求出九年级（2）班C组所占百分比，再将减去其他三组所占百分比，即可求出a的值；根据中位数和众数的概念即可确定b，c的值；（2）求出九年级（1）班的方差，再根据方差的意义即可判断会选派哪一个班级；（3）用样本估计总体的思想即可解决问题．【详解】（1）解：由题意可知，九年级（2）班C组占的百分比为，，，九年级（1）班名学生测试成绩由小到大排列是：，，，，，，，，，，从小到大排列后，第5和6位置的数是和，中位数，九年级（1）班名学生测试成绩中，出现的次数最多，众数；故答案为：，，；（2）解：这次比赛中，学校会选派九年级（2）班，理由：九年级（2）班的方差小于九年级（1）班的方差，九年级（2）班成绩更稳定，学校会选派九年级（2）班；（3）解：（人），答：估计两班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是人．21．(1)(2)40米【分析】题目主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．（1）根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出的长；（2）根据围成的篮球场的面积为1200平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．【详解】（1）解：∵的长为x米，∴，故答案为：；（2）解：由题意可得，，解得，，当时，，符合题意；当时，，不符合题意，故舍去，答：篮球场的宽的长为40米．22．（1）见解析；（2）．【分析】(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得∠OCB＝∠E,即可推出∠ABE＝∠E,AE=AB．(2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可．【详解】

（1）证明：连接OC∵CD与⊙O相切于C点∴OC⊥CD又∵CD⊥AE∴OC//AE∴∠OCB＝∠E∵OC=OB∴∠ABE＝∠OCB∴∠ABE＝∠E∴AE=AB（2）连接AC∵AB为⊙O的直径∴∠ACB＝90°∴∵AB=AE，AC⊥BE∴EC=BC=6∵∠DEC＝∠CEA,∠EDC＝∠ECA∴△EDC∽△ECA∴∴．【点睛】本题考查圆与三角形的综合性质及相似的证明和性质,关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求解．23．(1)(2)(3)5或8或9【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可得；（2）先得出，再求出方程的解，代入方程求解即可得；（3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再根据方程的两个根均为正整数分类讨论，代入计算即可得．【详解】（1）解：∵关于的方程有两个实数根，∴这个方程根的判别式，解得．（2）解：当取最大整数值时，则，∴方程为，解得，∵方程与有一个相同的根，∴，解得．（3）解：设关于的方程的两个根为，∴，，∵这个方程的两个根均为正整数，∴①当时，，②当时，，③当时，，④当时，，⑤当时，，综上，的值为5或8或9．24．（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接BF，证明BF//CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论；（2）连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积．【详解】（1）连接，

是的直径，，即，，连接，∵点C为劣弧的中点，，∵，∵OC是的半径，∴CE是的切线；（2）连接，，∵点C为劣弧的中点，，，，，∴S扇形FOC=，即阴影部分的面积为：．【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．25．(1)见解析(2)【分析】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识．熟练掌握考查了垂径定理，垂直平分线的性质，圆周角定理，勾股定理是解题的关键．（1）由直径，弦，可知垂直平分弦，则，由，可得，进而可得是的“相望角”；（2）由题意得，，由直径，弦，可得，，则，，如图1，记圆心为，连接，，则，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可．【详解】（1）证明：直径，弦，垂直平分弦，，，，是的“相望角”；（2）解：由题意知，是的“相望角”，，，直径，弦，，，，，如图3，连接，，则，，，由勾股定理得，，的长为．26．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据垂径定理可知F是AD中点，故OF是的中位线，即，再根据垂径定理说明即可；（2）作直径DG并连接AG，根据中位线定理证明，再根据圆周角定理证明，从而证明即可；（3）根据条件分析出当时，AM取最小值，利