四川省成都市第十一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页四川省成都市第十一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列是关于x的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．已知，且，则与的面积比为（）A． B． C． D．3．如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是（

）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形4．如图，，，，，则的长为（）A． B． C． D．5．如图，矩形中，是对角线的中点，连接．若，，则的长为（）A．7 B．8 C．9 D．106．如图，已知，那么添加一个条件后，依然无法判定∽（）A． B． C． D．7．下列命题为假命题的是（

）A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形8．已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，则点A的坐标为（

）A． B． C． D．二、填空题9．已知，那么．10．如图，A，B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，B两点间的距离，他在外选一点，连接和，延长到，延长到，，连接，使．若小吴测得的长为米，则米．11．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．12．点P为线段的黄金分割点，，，（结果保留根号）．13．如图，在矩形中，对角线相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为．14．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为．15．已知，则k的值是．16．如图，四边形为菱形，其中，，过作交，于点、，则的长为．17．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是．18．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点．直线经过B，C两点，点C是x轴正半轴上一点，且．在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1），若存在，点M的坐标为．三、解答题19．解方程：(1)；(2)．20．如图，在中，点是的边上的一点．(1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”）(2)选择一种正确的方法求证：．21．已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位）(1)在网格中画出，使与关于原点对称，写出点坐标；(2)判断四边形的形状，并求出其面积．22．大拇指在人们的认知中通常代表着认可、称赞，大拇指广场在多个城市都有分布．青岛大拇指广场处于海尔路中央商务区中心地段，其建立可能寓意着对青岛城市发展的肯定，以及对该区域商业繁荣、经济腾飞的一种期待和赞美，仿佛在为青岛不断向前发展的态势点赞．如图I是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图II是求大拇指高度的示意图．如图II，在处放置一根高度为且与地平线垂直的竹竿，点，，在同一直线上，测得为．将竹竿平移至处，点，，在同一直线上，测得为．求大拇指的高度．23．如图①，在中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接．(1)求证：；(2)若，求证：；(3)如图②，若，，求的值．24．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件．(1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？(2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降多少元？25．配方法应用广泛，除了用来解一元二次方程，还可以求代数式的最大值或最小值．例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最大值．解：．，，当时，取最大值，最大值是5．试利用配方法解决下列问题：(1)求出的最小值．(2)已知，试判断的大小，并说明理由．(3)如图，在中，，，，，分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向终点运动，同时点从点出发以的速度向终点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，四边形的面积最小？最小面积为多少？26．如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是_____，位置关系是____；（2）问题探究：如图②，是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．《四川省成都市第十一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷》参考答案题号12345678答案BABCDDCB1．B【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可．【详解】解：A．的分母含未知数，故不是一元二次方程，不符合题意；B．是一元二次方程，符合题意；C．未知数x的次数是1，故不是一元二次方程，不符合题意；D．中未知数的最高次项的次数是3，故不是一元二次方程，不符合题意；故选B．2．A【分析】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此进行分析列式，即可作答．【详解】解：∵，且，∴相似比为，∴则与的面积比为，故选：A3．B【分析】根据多边形的内角和公式列式计算即可解答．【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意得：，解得．所以这个多边形是五边形．故选B．【点睛】本题主要考查了多边形的内角问题，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．4．C【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到,进而代入已知数据求出的长．【详解】解：，，即，解得：，故选：C．5．D【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，根据矩形的性质可知，，再根据勾股定理可求出的长，进而即可求出的长．【详解】四边形为矩形，，，，，，，，故选：D．6．D【分析】利用相似三角形的判定依次判断可求解；【详解】解：，，、若，且，可判定，故选项不符合题意；、若，且，可判定，故选项不符合题意；、若，且，可判定，故选项不符合题意；、若，且，无法判定，故选项符合题意；故选：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．7．C【分析】根据矩形、菱形、正方形判定方法，一一判断即可．【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意．B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意．C、有一个内角是直角的平行四边形可能是长方形，是假命题，应该是矩形，推不出正方形，本选项符合题意．D、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法，属于中考常考题型．8．B【分析】此题主要考查了点的坐标，正方形的性质，熟练掌握点的坐标，正方形的性质是解决问题的关键.连接交于点，根据正方形，，，，由此即可得出点的坐标.【详解】解：连接交于点，如图所示:

四边形是正方形，

，，，，

点，

，

，

，，

点的坐标为．

故选:B．9．5【分析】根据题意可得，再代入，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：5【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．10．【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，利用两角相等可以得到，再利用相似性质即可求解；【详解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，即：，米，∴，米故答案为：11．且【分析】由题意可知方程根的判别式△＞0，于是可得关于a的不等式，解不等式即可求出a的范围，再结合二次项系数不为0即得答案．【详解】解：根据题意，得：，且，解得：且．故答案为：且．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元一次不等式的解法，属于基本题型，熟练掌握一元二次方程根的判别式和方程根的个数之间的关系是解题的关键．12．【分析】本题考查了黄金分割的概念与黄金比值，掌握黄金比值为是解题的关键．根据黄金分割的定义得到，然后把代入计算即可．【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，，，∴．故答案为：．13．【分析】由矩形的性质得，故有，可证是等边三角形，通过等边三角形的性质和角所对直角边是斜边的一半可求出，然后由勾股定理得，然后再求，则，最后通过中位线定理即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵点是的中点，点是的中点，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．14．【分析】本题考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义可得，且，由此即可得．【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，∴，解得，故答案为：．15．2或﹣1/﹣1或2【分析】根据比例的基本性质，三等式相加，即可得出k值．【详解】解：∵，∴，分两种情况：①若a+b+c≠0，则k=2；②a+b+c=0时，a+b=﹣c，则k=﹣1；故答案为：2或﹣1．【点睛】本题考查比例的性质，掌握并熟练运用比例的基本性质是解题关键．16．【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，根据菱形的性质可得，，，根据勾股定理计算，根据菱形面积公式得，求出的长即可，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．【详解】解：∵四边形为菱形，，，∴，，，∴，∵，∴，即，∴，故答案为：．17．3或﹣3【分析】分两种情况：x≥﹣x，即x≥0时；x＜﹣x，即x＜0时；进行讨论即可求解．【详解】当x≥﹣x，即x≥0时，∴x=x2﹣6，即x2﹣x﹣6=0，(x﹣3)(x+2)=0，解得：x1=3，x2=﹣2(舍去)；当x＜﹣x，即x＜0时，∴﹣x=x2﹣6，即x2+x﹣6=0，(x+3)(x﹣2)=0，解得：x3=﹣3，x4=2(舍去)．故方程max{x，﹣x}=x2﹣6的解是x=3或﹣3．故答案为：3或﹣3．【点睛】考查了解了一元二次方程-因式分解法，关键是熟练掌握定义符号max{a，b}的含义，注意分类思想的应用．18．或【分析】根据一次函数的性质求出，，进而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，利用勾股定理表示出，，根据题意分2种情况讨论：或，利用相似三角形的性质列出方程，求出的值即可求解．【详解】解：对于，当时，，解得；当时，；，，，，，，，设直线的解析式为，则有，解得，直线的解析式为，设，则，，由勾股定理得，，，由题意知，点M与A、B、C三点中的某两点构成的三角形与相似时，如图，分两种情况：或当时，则，即，，，解得，（舍去），；当时，则，即，，，解得：，（舍去），，综上所述，存在，点M的坐标为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、相似三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．19．(1)(2)，【分析】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）去分母化为整式方程，解整式方程，再检验整式方程的解是否为增根即可；（2）利用公式法解方程即可．【详解】（1）解：去分母，得，解得，检验：当时，，∴是原分式方程的解；（2）解：，，，，∴方程有两个不相等的实数根，∴，∴，．20．(1)小星和小红对，小亮错(2)见解析【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．（1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果；（2）见解析（1）．【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下：小星的证明：∵，∴；小红的证明：∵，∴；小亮的证明：由不能证明，∴小星和小红对，小亮错；（2）证明：小星的证明：∵，∴；小红的证明：∵，∴．21．(1)作图见解析，点坐标为(2)四边形是平行四边形，四边形的面积为【分析】本题考查平面直角坐标系中的中心对称图形作图、对称点坐标特征以及平行四边形的判定与面积计算，熟练掌握中心对称的性质、平行四边形的判定定理是解答本题的关键．（1）利用关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数）确定的坐标，再通过找对称点作图；（2）根据中心对称的性质（对角线互相平分）判定四边形形状，再用割补法结合坐标计算平行四边形的面积．【详解】（1）（1）分别找到点、、关于原点对称的点、、，连接三个点即可；如图所示，即为所求，出点坐标为；（2）（2），，，，四边形是平行四边形．四边形的面积．22．大拇指的高度为【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．分别证明、可得、，进而得到可得；最后将代入求得的值即可解答．【详解】解：由题意可得：，∴．∴．由题意可得：，∴．∴．∵，∴，即，解得：．将代入，得，解得．∴大拇指的高度为．23．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据同角的余角相等得到，证明；（2）过点B作交的延长线于H，根据相似三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论；（3）证明，根据相似三角形的性质求出，即可作答．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）证明：如图①，过点B作交的延长线于H，∵，∴，∴，∴，∴，由（1）可知，，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）解：在中，，，则，∴，∴，则，设，则，在中，，，则，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴，则，解得：(舍去)，∴．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、配方法解一元二次方程，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．24．(1)降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元(2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降元．【分析】本题考查了有理数四则混合计算的实际应用，一元二次方程的实际应用.（1）根据利润（原来售价降价成本价）销售量列式求解即可；（2）设此时每件T恤衫降价x元，根据利润（原来售价降价成本价）销售量列出方程求解即可．【详解】（1）解：由题意得，每天销售T恤衫的利润为：（元）．答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元．（2）解：设此时每件T恤衫降价x元，由题意得，，整理得，解得或．又∵优惠最大，∴．答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降元．25．(1)．(2)．理由见解析(3)时，四边形面积的最小值，最小面积为．【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用、代数式的最值等知识点，灵活运用完全平方公式是解本题的关键．（1）直接利用完全平方公式和材料求解即可；（2）先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可；（3）根据题意表示出，再利用完全平方的非负性求出当的值为3时，的面积有最大，最大值为．由四边形的面积得到当时，四