【高考模拟】河北省名校联考2024-2025学年高三第三次模拟考试数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页河北省名校联考2024-2025学年高三第三次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数为纯虚数，则实数（

）A． B．1 C．3 D．或12．已知集合，则（

）A． B． C． D．3．已知焦点在x轴上的椭圆其右焦点F与上顶点A和左顶点B构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．4．函数，若的一个单调递增区间为，且，下面说法正确的是（

）A． B．C．在上有2个零点 D．5．若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．6．向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点．对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的（

）A．点关于点O的对称点不一定为B．A，B两点间的距离为C．若向量平行于向量，则的值不一定为0D．若线段的中点为C，则点C的广义坐标为7．已知点，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．8．已知函数的定义域为R，其导数，且和都为奇函数．若，则（

）A．1 B．0 C． D．二、多选题9．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一个平面内，若四边形是边长为2的正方形，则（

）

A．该八面体的表面积是B．该八面体的体积是C．直线与平面所成角为D．动点在该八面体的外接球面上，且，则点的轨迹的周长为10．已知抛物线C：的准线方程为，过抛物线C的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点（A点在x轴上方），点P在C的准线上，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为9B．C．当为等边三角形时，的面积为D．若点P的坐标为，且，则直线的斜率为11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AC的中点为D，，若，则（

）A．

` B．b取值范围为C．面积的最大值为 D．周长的最大值为6三、填空题12．已知点P在函数的图象上，则P点到直线的距离的最小值为.13．已知数列满足若，表示的前n项和，则.14．某班级要拍毕业照，现有3名女生、2名男生要与班主任进行合影，则3名女生中有且只有2位相邻的概率为.四、解答题15．交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站．(1)为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示：车站编号满意不满意合计1035501130合计55完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？(2)根据以往调图经验，列车在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立．已知原定终到站编号为11的列车经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为，求的分布列及均值．附，其中．0.10.010.0012.7066.63510.82816．在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列，(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前2n项和．17．如图，四棱锥中，底面，，，.(1)若G点为的重心，求；(2)若，证明：平面；(3)若，且二面角的正弦值为，求.18．定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点．(1)求“共轭点对”中点B所在直线l的方程．(2)设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点．①求点，的坐标；②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于．19．设函数．(1)证明，其中k为整数；(2)设为的一个极值点，证明；(3)设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明．《河北省名校联考2024-2025学年高三第三次模拟考试数学试题》参考答案题号12345678910答案BDACCDACACDABD题号11答案BC1．B【分析】利用纯虚数的概念可得所满足的条件，计算求解即可.【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得.故选：B.2．D【分析】解不等式及根据确定集合，根据正弦函数值域确定集合，再求即可.【详解】，所以.故选：D．3．A【分析】结合图形表示出，借助于三角形的面积公式列方程求出，利用离心率公式计算即可.【详解】由可得，由图知，，则的面积为，解得，则椭圆的离心率为.故选：A.4．C【分析】利用单调区间求出判断A；由求出判断B；求出在上的零点判断C；求出函数值判断D.【详解】对于A，由的一个单调递增区间为，得最小正周期，，A错误；对于B，由，得或，而，当时，，在不单调；当时，，符合题意，，B错误；对于C，由，得，解得，当时，或，C正确；对于D，，D错误.故选：C5．C【分析】根据分段函数的性质结合已知条件对函数进行分段讨论，当，根据对数函数性质得出函数单调性和最大值，当，对函数求导，结合函数单调递增，列出关于的不等式①并得出在上的最小值，再利用时的最小值不小于时的最大值，列出关于的不等式②，合并求出m的取值范围.【详解】若，，因为底数，对数函数为单调递增函数，在上的最大值为.若，，求导得，要使单调递增，则需满足①对所有恒成立，解得，因为，则，所以，若在上单调递增，则②，解得，所以.故选：C.6．D【分析】根据广义坐标的定义，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量共线性质逐一判断即可.【详解】对于A，，设关于点的对称点为，则，因为，不共线，所以，A错误；对于B，因为，所以，当向量，是相互垂直的单位向量时，，两点间的距离为，否则距离不为，B错误；对于C，当与中至少一个是时，结论成立；当与都不为时，设（），有，即，所以，C错误；对于D，，所以线段中点的广义坐标为，D正确故选：D7．A【分析】由题意可知，圆心，半径，则，，其中为坐标原点，可得，可知点的轨迹为以圆心，半径的圆，设为圆，由题意可知：圆与圆有公共点，则，求实数的最大值．【详解】由题意可知：圆的圆心，半径，则，，其中为坐标原点，可得，则，可知点的轨迹为以圆心，半径的圆，设为圆，由题意可知：圆与圆有公共点，则，即，解得，所以实数的最大值为．故选：A．8．C【分析】利用函数的导数结合函数的奇偶性，对称性，周期性求解，结合函数奇偶性和对称性确定出的周期为4，即可求解．【详解】因为为奇函数、则，则，可知的图象关于点对称、可得，即，可知的图象关于对称，则，又因为为奇函数且定义域为R，则，可得，可知的周期为4，所以，．所以．故选：C．9．ACD【分析】A选项，求出一个等边三角形的面积，从而得到八面体的表面积；B选项，作出辅助线，得到正四棱锥的高，从而得到，求出八面体的体积；C选项，找到即为直线与平面所成角，求出正弦值，得到角的大小；D选项，先找到外接球的球心和半径，作出辅助线，证明线面垂直，得到四边形截外接球的大圆即为点的轨迹，求出轨迹长度.【详解】A选项，棱长为2的等边三角形面积为，故该八面体的表面积，A正确；B选项，连接，相交于点，连接，则为正四棱锥的高，则，由勾股定理得，故，该八面体的体积是，B错误；

C选项，由B选项可知，即为直线与平面所成角，其中，故，C正确；D选项，由于，故该八面体的外接球的球心为，半径为，取的中点，的中点，连接，，由对称性可知，相交于点，即正方形的中心，故四点共面，由于均为等边三角形，故⊥，⊥，又，平面，所以⊥平面，故四边形截外接球的大圆即为点的轨迹，其长度为，D正确.

故选：ACD【点睛】关键点点睛：解决与球有关外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置，注意球心到各个顶点的距离相等，可充分利用几何体的对称性，找到球心的位置或者找到球心在某个平面的投影位置，进而求出半径，得到答案.10．ABD【分析】设，联立直线与抛物线的方程，求出，由基本不等式可判断A；设的中点为，由到准线的距离可判断B；当为等边三角形时，求出的面积为可判断C；由可得轴为的角平分线，根据角平分线定理求出，将，代入化简可求出直线的斜率可判断D.【详解】因为抛物线C：的准线方程为，所以，所以，所以抛物线C：，设，联立，得：，则，，，，对于A，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；对于B，设的中点为，由，则，又因为，所以到准线的距离，所以以为直径的圆与抛物线的准线相切，又点P在C的准线上，所以，故B正确；对于C，，因为为等边三角形，故在的中垂线上，当时，显然为直角三角形，不合题意，当时，，，，，又因为，解得：，所以,，故C错误；对于D，点，则，因为，所以，所以轴为的角平分线，根据角平分线定理：，设直线的倾斜角为，过点作准线交准线于点，则，所以，同理，所以，解得：，，故D正确.故选：ABD.11．BC【分析】对于A，由三角函数恒等变形结合正弦定理边角互化可判断选项正误；对于B，由结合A选项分析可得，然后由余弦定理可得，据此可判断选项正误；对于C，由B选项分析结合面积公式可判断选项正误；对于D，令，由B选项分析可得，然后用导数研究函数的单调性，可得周长最大值情况.【详解】对于A，.由正弦定理边角互化可得：，则，故A错误；对于B，，则，当且仅当取等号.由余弦定理，，又，则，因，则，故B正确；对于C，由B分析可知，，则，故C正确；对于D，由B分析，，得..令，则，由三角形三边关系可得，则，则.则，令.则，令，因，则在上单调递减，则，即周长无最大值，恒小于，故D错误.故选：BC12．【分析】首先利用导数分析函数的图象，再利用数形结合，结合导数的几何意义，即可求解.【详解】，，得，当，，单调递增，，，单调递减，所以当时，取得最大值，如图，当与直线平行的直线与的图象相切时，此时切点到直线的距离最小，，得，即切点，点到直线的距离为.故答案为：13．/【分析】通过代入值，发现数列的周期，再利用周期性即可求该数列的前2025项和.【详解】因，则，，，，，，可见4是数列的一个周期，且，故.故答案为：.14．/【分析】先对女生分组然后排列剩余男生与班主任再插空最后排相邻两女生，最后用古典概型计算概率即可.【详解】由题意，先将2位男生和班主任排成一排，有种排法，然后将3位女生分成两组，一组2人一组1人，有种分组方法，然后2位男生和班主任排列后产生4个空有种插空方法，最后交换相邻2位女生的位置有种方法，所以3位女生中有且只有2位相邻共有种排法，又因为6人随机排成一排有种排法，所以所求概率为.故答案为:15．(1)列联表见解析，认为旅客满意程度与车站编号有关联；(2)分布列见解析，.【分析】（1）根据题目所给数据补充表格即可，先零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，接着依据表格数据计算”的值，比较与的大小，再结合独立性检验的思想方法即可下结论得解；（2）先由题得的取值，接着依次计算每个取值相应的概率即可得的分布列，再根据均值公式即可直接计算求解的均值.【详解】（1））补充列联表如下：车站编号满意不满意合计1035155011203050合计5545100零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，则，所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为旅客满意程度与车站编号有关联.（2）由题的可能取值为8，10，12，14，则；；；，所以的分布列为8101214所以．16．(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，得到和，联立方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）得，求得的表达式，结合三角函数的诱导公式，即可求解.【详解】（1）解：设等差数列的公差为，因为，所以，即，即又因为成等比数列，所以，即，即，联立方程组，解得，，所以数列的通项公式是.（2）解：由（1）知，，所以，因为，即，可得，，所以，所以数列的前2n项的和为．17．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）设出空间的一组基向量，将用基向量表示，运用数量积的运算律即可求得；（2）利用题设条件，先由线线垂直证明平面，得出，再证，在底面上，可得，最后由线线平行证线面平行即得；（3）设，，建立空间直角坐标系，求出相关点和平面法向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式列出方程，求得，即得.【详解】（1）设，，，则，，，.如图，连接并延长交于点,连接,则两边取平方得.∴，∴.（2）因为平面，而平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以.因为，所以，在底面上，可知，又平面，平面，所以平面.（3）设，，则①，因，如图，过点作的平行线，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.此时有因设平面的法向量为，则，故可取；又设平面的法向量为，则，故可取；则，由题意，，即②联立①②，解得故【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间向量在证明线面关系，空间角等方面的应用，属于较难题.解题的关键在于结合图形，要么选择空间的一组基底，将相关向量用基底表示，通过向量的线性运算和数量积运算求得结论；要么建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算解决问题.18．(1)(2)①，；②证明见解析【分析】（1）设，根据“共轭点对”得直线方程为，化简即可；（2）①联立直线和椭圆的方程，解出即可；②设点，，利用点差法得，设过点P且与直线l平行的直线的方程为，计算直线与椭圆相切时的值，再检验证明此时不满足，则证明出面积小于.【详解】（1）设中点B的坐标为，对于椭圆C：上的点，由“共轭点对”的定