黑龙江省双鸭山市部分学校2025-2026学年高二上学期阶段测试（一）（9月）数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页黑龙江省双鸭山市部分学校2025-2026学年高二上学期阶段测试（一）（9月）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（）A． B．C． D．2．已知空间向量，，若，则的值为（

）A． B． C．4 D．63．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．4．设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（

）A． B． C． D．15．已知直线与，则下列说法不正确的是（）A．若时，则 B．若时，则与重合C．若时，则 D．若时，则与交于点6．已知四棱锥中，，则该四棱锥的高为（

）A． B． C． D．7．在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．8．过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（

）A．4 B． C．2 D．二、多选题9．已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．设直线的方程为，则下列说法正确的有（

）A．直线的斜率为B．直线在轴上的截距为2C．直线在轴上的截距为D．直线与坐标轴围成的三角形的面积为11．正方体的棱长为2，，，.下列结论正确的是（

）A．的最小值为B．若，则平面C．若，，则四面体的体积为D．点到直线的距离的最小值为三、填空题12．在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为.13．直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，则实数的取值范围是．14．在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为．四、解答题15．如图，在棱长为的正四面体中，分别是的中点，设.(1)求（用表示）；(2)求直线和夹角的正弦值.16．已知直线．(1)求经过点且与直线垂直的直线方程；(2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．17．如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求点到平面的距离．18．已知直线：.(1)若直线垂直于直线：，求的值；(2)求证：直线经过定点；(3)当时，求点关于直线的对称点的坐标.19．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，．(1)求证：．(2)求线段中点到平面的距离．(3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《黑龙江省双鸭山市部分学校2025-2026学年高二上学期阶段测试（一）（9月）数学试题》参考答案题号12345678910答案BCDBBDBBADABD题号11答案BCD1．B【分析】作图，然后根据空间向量基本定理求解即可.【详解】根据题意，．故选：B．2．C【分析】根据空间向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】若，则．因为，，所以，解得．故选：C．3．D【分析】根据直线一般方程确定斜率，再结合斜率与倾斜角的关系即可求得倾斜角大小．【详解】由直线方程，则直线的斜率为，即为倾斜角的正切值，所以倾斜角的大小为．故选：D．4．B【分析】先表示出，然后利用数量积公式计算.【详解】.故选：B5．B【分析】根据两直线平行和垂直的充要条件，结合选项逐项计算判断即可.【详解】对于A，当时，，即，则，故A正确；对于B，当时，，即，则与不重合，故B错误；对于C，当时，，因为，所以，故C正确；对于D，当时，，即，由，得，所以与交于点，故D正确.故选：B.6．D【分析】先求平面的法向量，再利用空间向量中点到平面的距离公式求解即可.【详解】设平面的法向量为，则有，取，得，所以点点平面的距离，即四棱锥的高为.故选：D7．B【分析】取的中点O，连接，可得平面，建立如图所示的直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解.【详解】取的中点O，连接，因为为正三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，平面，建立如图所示的直角坐标系，则，，，，，.设平面的法向量为，则，即，令，得平面的一个法向量为.又，设与平面所成角为，所以.故选：B.8．B【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.【详解】动直线化为，可知定点，动直线化为，令，解得，可知定点，又，所以直线与直线垂直，为交点，.则，当且仅当时，等号成立.即面积的最大值为.故选：B.9．AD【分析】根据直线与平面的位置关系，推断直线方向向量与平面法向量的关系，进而用空间向量的坐标表示，最后求出参数关系.【详解】若，则，故，即，化简得.故选项正确，选项错误.若，则，故存在实数使得，即，化简得.故选项错误，选项正确.故选：10．ABD【分析】根据斜截式直接判断AB，令，求得，即可判断C，求出两截距，利用三角形面积公式即可判断D.【详解】由直线的斜截式方程，得直线的斜率为，在轴上的截距为2，故AB正确．在方程中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故C错误．设直线与轴、轴的交点分别为，则，，直线与坐标轴围成的三角形为．因为，，所以，故D正确．故选：ABD．11．BCD【分析】如图以E为原点建立空间直角坐标系.对于A，做出关于平面对称点，当三点共线时取最小值；对于B，求出平面法向量，验证是否为0即可判断选项正误；对于C，由题可得，则四面体的体积为；对于D，由题可得到直线的距离为，代入题中数据可判断选项正误.【详解】如图，以E为原点建立空间直角坐标系.对于A，因，则P为中点，又，.则，从而关于平面对称点为，则，当且仅当三点共线时取最小值，故A错误；对于B，因，则，则.又，则，设平面法向量为，则，取，则，则，因，则，又易得平面，则平面，故B正确；对于C，由B分析，，则，则四面体的体积为，故C正确；对于D，因，则，又，则，又，，则，在方向上的投影向量的模为：，则到直线的距离为，当且仅当时取等号，故D正确.故选：BCD12．【分析】根据点到平面距离的向量方法公式，求出方向向量，代入公式求出距离即可.【详解】因为，所以点到平面的距离.故答案为：.13．【分析】求出其斜率和在轴上的截距，再根据其所过象限得到不等式组，解出即可.【详解】因为直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，所以直线的斜率，且在轴上的截距．因为直线，所以，，则，解得，即实数的取值范围是．故答案为：.14．【分析】利用平行六面体的结构特征确定异面直线所成的角，再借助空间向量数量积的运算律求出，进而利用余弦定理求得答案.【详解】在平行六面体中，，则是异面直线与所成角或其补角，而，，，，，，，在中，.故答案为：.15．(1)(2)【分析】（1）根据向量的线性运算进行计算；（2）根据向量夹角的计算公式进行求解.【详解】（1）.（2），，所以.又和都是等边三角形，，设直线和的夹角为，则，所以.16．(1)(2)或【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可；（2）利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可.【详解】（1）由直线可得斜率为，所以根据垂直关系可设所求直线方程为，则依题意有，解得，所以所求直线方程为，整理得；（2）联立，解得，即直线与的交点为，当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，代入得，此时；当直线的截距都不为0时，假设直线方程为，依题意，解得，此时直线方程为，即综上所述：所求直线方程为或．17．(1)(2)【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值；（2）利用向量法可求出点到平面的距离．【详解】（1）依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，又分别是棱，，的中点，，．所以,所以有：，设平面的法向量为，则有所以，令，有，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.（2）因为，由（1）有平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为：.18．(1)1(2)证明见解析(3)【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可得解；(2)转换为恒等式成立问题，由恒等式成立的条件解方程组即可得解.(3)设对称点坐标，根据中点坐标公式求出的中点坐标，然后根据两直线垂直的性质以及的中点在直线上，列出方程组，解方程组即可得解.【详解】（1）因为，所以，解得，故的值为；（2）因为，所以，所以，解得，所以直线恒过定点；（3）因为，所以直线，设点关于直线的对称点的坐标为，所以的中点坐标为，所以，解得，所以点关于直线的对称点的坐标为.19．(1)证明见解析(2)(3)存在，【分析】（1）由面面垂直的性质得出平面，再根据线面垂直的性质即可证明；（2）取的中点，连接，，建立空间直角坐标系，由点到平面距离的向量公式即可求解；（3）令，，由面面夹角的向量公式求得，即可求解．【详解】（1）由于平面平面，平面平面，且平面，平面，平面，．（2）取