山东省菏泽国开实验学校2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页山东省菏泽国开实验学校2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设为虚数单位，复数z满足，则为（

）．A． B．5 C．2 D．二、多选题2．某校高二年级有男生600人，女生400人，张华按男生、女生进行分层，通过分层抽样的方法，得到一个总样本量为100的样本，计算得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm，方差分别为15和30，则下列说法正确的有（）A．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则男生、女生分别应抽取60人和40人；B．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的方差为37.8；C．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的平均数为166，此时可用样本平均数估计总体的平均数；D．若张华采用等额抽取，即男生、女生分别抽取50人，则某男生甲被抽到的概率为.三、单选题3．设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，，，，则4．已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（

）A． B． C． D．5．将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（）A． B．是等边三角形C．点与平面的距离为 D．与所成的角为6．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于9的概率为（

）A． B． C． D．7．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且的面积为，则的周长为（

）A． B． C． D．8．在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（

）A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则四、多选题9．已知复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（

）A．复数z的共轭复数的模为1 B．复数z在复平面内对应的点在第四象限C．复数z是方程的解 D．复数满足，则的最大值为210．某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查.已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（

）A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人B．随机变量C．随机变量的数学期望为D．若事件“抽取的3人都感兴趣”，则11．在正三棱柱中，，P，Q分别为棱，上的动点，则（

）A．的周长为定值 B．三棱锥B-APQ的体积为定值C．若，则 D．若平面，则五、填空题12．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则13．已知三棱锥的各顶点都在表面积为的球面上，平面，，，，则该三棱锥的体积为．14．如图所示，在棱长为2的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为．六、解答题15．生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲,乙机床生产的产品中各任取1件,求:(1)至少有1件废品的概率;(2)恰有1件废品的概率.16．如图，在正四棱锥中，已知侧棱长为4，底面边长等于2，是的中点．(1)求证：平面平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值．17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求的值；(2)若，的面积为，求的周长．18．我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组8第2组第3组20第4组第5组3合计(1)求出的值；(2)在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学参加元旦晩会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；(3)估计这50名学生成绩的众数､中位数､平均数.19．如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，.

(1)求证：平面平面；(2)求证：；(3)若，求的值.《山东省菏泽国开实验学校2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷》参考答案题号12345678910答案DACDBDDDCABDAC题号11答案BCD1．D【分析】利用复数的乘法除法法则，结合共轭复数的概念即可求解.【详解】由，得，所以，所以.故选：D.2．AC【分析】根据分层抽样、方差、平均数、古典概型等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，男生抽取，女生抽取人，A选项正确.C选项，样本平均数为，可以用样本平均数估计总体的平均数，C选项正确.B选项，样本方差为，所以B选项错误.D选项，男生甲被抽到的概率为，D选项错误.故选：AC3．D【分析】根据线面平行的判断定理可判断A的正误，根据线面平行的定义可判断B的正误，根据面面平行的性质可判断C的正误，根据面面平行的判定定理可判断D的正误.【详解】对于A，若，，则或，故A错误；对于B，若，，则或异面，故B错误；对于C，若，，，则或异面，故B错误；对于D，由面面平行的判定定理可证D成立，故选：D.4．B【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系即可求解.【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，依题意，，则，所以该圆锥侧面积与其表面积的比为.故选：B5．D【分析】对于选项A：取的中点，连接.运用正方形性质和直线与平面垂直的判定定理，可得平面.再用直线与平面垂直的性质，所以，判断A.对于选项B：已知正方形边长为，能得到.由于二面角是直的，且，运用线面垂直性质，结合用勾股定理算出，又，三边相等，是等边三角形.判断B.对于选项C：运用等体积法，先算出的体积，再算出的面积，根据体积公式就能求出.判断C.对于选项D：建立坐标系，得出、、、的坐标，进而得到向量、，用求向量夹角的方法算出余弦值，结合异面直线夹角范围，可知夹角是，不是，判断D.【详解】对于选项A，取的中点，连接.因为正方形，所以又，根据直线与平面垂直的判定定理，可得平面.而平面，根据直线与平面垂直的性质，所以，故选项A正确.对于选项B，因为正方形边长为，所以.由于二面角是直二面角，即平面平面，且，平面平面，根据面面垂直的性质定理，可得平面，而平面，则.在中，根据勾股定理，可得.又，三边相等，所以是等边三角形，故选项B正确.对于选项C，设点到平面的距离为.根据三棱锥体积公式，，，所以..由，即，解得，故选项C正确.对于选项D，分别以所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，.，.设与所成的角为，根据向量的夹角公式.，，.则，因为异面直线所成角的范围是，所以，故选项D错误.故选：D.6．D【分析】根据题意，由列举法分别得到三个数之积为偶数的情况数与三个数之和不小于9的情况，即可得到结果.【详解】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为，10种情况，若这三个数之积为偶数有，9种情况，它们之和不小于9共有，5种情况，从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为．故选:D．7．D【分析】由利用正弦定理得，又利用余弦定理得，利用余弦定理计算，进而得，利用三角形的面积公式即可求解.【详解】由和正弦定理，可得，由和余弦定理，可得，整理化简得：，代入化简得，又由余弦定理得，又，所以，所以，所以.故选：D.8．C【分析】对于ACD：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可.【详解】如图建立平面直角坐标系，，对于A：若为的重心，则，所以若，则，解得，所以，A不正确；

对于B：若为的外心，其必在直线上，所以，B错误；对于C：若为的垂心，其必在上，设，则，解得，此时，若，则，解得，所以，C正确；对于D：若为的内心，设内切圆半径为，则，得，则，此时，若，则，解得，所以，D不正确；故选：C.9．ABD【分析】利用复数的运算法则求出，再逐一对各个选项分析判断即可求出结果.【详解】因为，所以，对于选项A，因为，所，故选项A正确；对于选项B，因为复数z在复平面内对应的点为，故选项B正确；对于选项C，，所以，故选项C错误；对于选项D，设，则由，得到，又，由几何意义知，可看成圆上的动点到原点的距离，所以的最大值为，故选项D正确.故选：ABD.10．AC【分析】利用分层抽样方法来判断A，利用超几何分布概率公式及期望公式可判断BCD.【详解】根据分层抽样的方法，可得：从甲社团抽取的人数为；从乙社团抽取的人数为；从丙社团抽取的人数为；故A正确；由于抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则的可能取值有，则，此时服从超几何分布，故B错误，则随机变量的数学期望为，故C正确；若事件“抽取的3人都感兴趣”，则，故D错误；故选：AC.11．BCD【分析】对于A，设，计算即可判断；对于B，由即可判断；对于C，取的中点，连接，过作交于点，连接，证明平面，即可判断；对于D，由线面平行的性质定理得，进而即可判断.【详解】对于A：由点为上的动点，设，所以，，所以不为定值，故A错误；对于B：，因为平面，所以点到平面的距离为，所以，故B正确；对于C：取的中点，连接，过作交于点，连接，设，所以，因为，所以，所以，所以，又，所以，在正三棱柱中，平面，因为平面，所以，又，，平面，所以平面，因为，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，故C正确；对于D：连接交于点，连接，由平面，且平面平面，平面，所以，又为中点，所以为中点，即，故D正确.故选：BCD.12．【分析】由向量在向量上的投影向量求得，根据向量的坐标运算得，即可求得.【详解】由向量在向量上的投影向量为，所以，所以，所以，故答案为：13．/【分析】设三棱锥的外接球半径为，外接圆半径为，圆心为，由题意先求，利用正弦定理求，利用勾股定理求，进而得，利用余弦定理求，最后利用三棱锥的体积公式即可求解.【详解】设三棱锥的外接球半径为，外接圆半径为，圆心为，所以，又，，由正弦定理有，过作平面，则，所以，所以，在中，由余弦定理有，即，化简整理有，解得，所以，所以，故答案为：.14．【分析】根据给定条件，作出过点与平面平行的正方体截面，再求出截面周长即可.【详解】在棱长为2的正方体中，取的中点，连接，由为的中点，得，四边形为平行四边形，则，又，则四边形是平行四边形，，于是，四边形是平行四边形，而平面，平面，则平面，同理平面，又平面，因此平面平面，又平面，P在正方体表面上移动，于是点的轨迹是与正方体的交线，所以P的轨迹长为.故答案为：15．(1)0.088;(2)0.086.【解析】（1）用减去两个都是正品的概率，由此求得所求概率.（2）利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从甲､乙机床生产的产品中各取1件是废品分别记为事件A､B,则事件A,B相互独立,且,.(1)设“至少有1件废品”为事件C,则.(2)设“恰有1件废品”为事件D,则.【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查利用对立事件概率进行计算，属于基础题.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直得出，再应用线面垂直判定定理得出线面垂直，最后面面垂直判定定理证明即可；（2）应用异面直线所成角的定义求出为异面直线与所成角，再结合边长计算求解.【详解】（1）证明：在正四棱锥中，连接，交于点，连接，因为四棱锥为正四棱锥，所以平面，因为平面，所以．又，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）连接，由（1）知，平面，又平面，，又为的中点，．为异面直线与所成角，在中，，在中，，，．又，，异面直线与所成角的余弦值为．17．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知条件，由此求得的值；（2）利用三角形的面积列方程，求得的值，结合余弦定理求得的值，进而求得三角形的周长.【详解】（1）因为，由正弦定理可得：，且，可得，且，可知，可得.（2）由（1）可知：，，则，因为的面积为，可得，由余弦定理可得，即，可得，所以的周长为.18．(1)15；0.06；0.03；0.006(2)(3)75；71；【分析】（1）按频率分布表和频率分布直方图的定义及性质列式求解即可；（2）由列举法求古典概型概率；（3）估计时取每组中间成绩，结合图表按定义求值即可.【详解】（1）由题意得，样本容量，，∴的频数为，，∴的频率为，∴，.（2）成绩是80分以上（含80分）的同学共有人，其中第4组4人，记为A、B、C、D，第5组3人，记为X、Y、Z.则从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有AB、AC、AD、AX、AY、AZ、BC、BD、BX、BY、BZ、CD、CX、CY、CZ、DX、DY、DZ、XY、XZ、YZ共21种；所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组有AX、AY、AZ、BX、BY、BZ、CX、CY、CZ、DX、DY、DZ、XY、XZ、YZ共15种.故所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率为.（3）由直方图可知，众数为.从左到右累计人数有名，故中位数在组，故中位数为.平均数为19．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【