导数与函数的极值-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2课时1导数与函数的极值01021.借助函数图象，了解函数极值的概念、了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.设函数y=f

(x)在区间(a,b)内的导数为f′(x).如果f′(x)>0，如果f′(x)<0，如果f′(x)=0，如果f(x)在(a,b)内为增函数，如果f(x)在(a,b)内为减函数，则f(x)在(a,b)内为单调递增；则f(x)在(a,b)内为单调递减；则f(x)在(a,b)内为常数函数；则f′(x)≥0在(a,b)内恒成立；则f′(x)≤0在(a,b)内恒成立.1.函数单调性与导数的关系：回答以下问题：(1)函数h(t)在t=处的导数是多少呢?(2)此点附近的图象有什么特点?(3)相应地,导数的符号有什么变化规律?

探究1:极值的定义0xy问题解剖：如图，函数y=f(x)在a，b点的函数值与它附近的函数值有什么关系？在a，b点处导数值是多少？它附近区域导数的符号有什么变化规律？问题1：对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？0xy

如果对x0附近的所有点x，都有f(x)<f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大值=f(x0)；并把x0称为函数f(x)的一个极大植点。如果对x0附近的所有点x，都有f(x)>f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小值=f(x0)；并把x0称为函数f(x)的一个极小植点。已知函数y=f(x)，设x0是定义域（a,b）内任一点，abba◆函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.知识归纳

观察函数y=f(x)在定义域[a,b]上的图象，回答以下问题：（1）找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？（2）极大值一定大于极小值吗？（3）极值点能在区间端点取吗？yabx1x2x3x4Ox大大小小答案：（1）如图；（2）不一定；（3）不能.想一想：(1)极值是一个局部概念；(3)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;(4)函数的极值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;(5)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点；(2)极值不一定是最值；注

意0xy3-30xy0xy问题2：函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在x=0处不可导结论：设x=x0是y=f(x)的极值点，且f(x)在x=x0是可导的，则必有f

(x0)=0.问题3：导数为0的点是函数的极值点吗?结论：导数为0的点不一定是极值点.可导函数f(x)在x0处导数为0是该点为极值点的

条件.

必要非充分1.下图是导函数y=f′(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6练一练

yxOx1x2aby=f(x)在极大值点附近在极小值点附近

f

(x)<0

f

(x)>0

f

(x)>0

f

(x)<0(1)如果f

(x0)=0,且在x0附近的左侧f

(x)>0，右侧f

(x)<0,那么f(x0)是极大值(2)如果f

(x0)=0,且在x0附近的左侧f

(x)<0，右侧f

(x)>0,那么f(x0)是极小值

f

(x2)=0

f

(x1)=0可导函数f(x)在x0处导数为0是该点为极值点的充要条件为：

探究2:利用导数判别函数的极大（小）值

x-22

f′(x)00f(x)解：定义域为R，f′(x)=x2-4由f′(x)=0可得x=-2或x=2当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：（-∞，-2）(-2，2）(2，+∞）+－+极大值极小值

例1.例题讲解【求函数极值的步骤】(1)确定函数定义域，求导数f′(x)；(2)求方程

的所有实数根；(3)判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化．①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极

值．②如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极

值．③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右两侧符号不变，则f(x0)

.f

′(x)=0大小不是极值方法归纳注意定义域练一练例2

已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．例题讲解当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；所以f(x)在x＝－1时取得极小值．所以a＝2，b＝9.例题讲解(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点