等差数列的前n项和公式（第一课时）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和公式

（第一课时）人教A版（2019）选择性必修二学习目标1.推导并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系,体现逻辑推理能力（重点）2.会用等差数列的前n

项和公式解决简单的有关计算问题，体现数学计算能力（难点）1新课导入据说，200多年前，高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+...+100=?当其他同学忙于把100个数逐项相加时，高斯给出了下面的答案(1+100)+(2+99)+...+(50+51)=101×50=5050高斯的算法解决了求等差数列1,2,3,...,n,...

①前100项的和的问题.新课学习34你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前

n

项和的方法吗？对于数列①，设an=n，那么高斯的计算方法可以表示为a1+a100=a2+a99=…=a50+a51可以发现，高斯在计算中利用了(a1+a100)+(a2+a99)+…+(a50+a51)=101×50=5050将上述推广到一般，可以得到:当n是偶数时，有新课学习于是有＝(1+n)+(1+n)+…＋(1+n)

个当n是奇数时，有＝(1+n)+(1+n)+…＋(1+n)

个新课学习当n是奇数时，有所以，对任意正整数n，都有新课学习你能用高斯的方法求1+2+…＋100+101?1+2+…＋100+101=(1+2+…＋100)+101=5050+101=51511+2+…＋100+101=(1+101)+(2+99)+…＋(50+52)+51=102×50+51=5151新课学习我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论？2Sn＝2(1＋2＋3＋…＋n)=n(n＋1)它相当于两个相加，而结果变成n个相加.受此启发，可以得到下面的方法Sn＝1＋2＋3＋…＋1Sn＝n＋(n-1)＋(n-2)＋…＋

n将上述两式相加，可得新课学习2Sn＝(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+…＋(1+n)＝(1+n)+(1+n)+…＋(1+n)n个所以我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦.能否设法避免分类讨论？新课学习上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列{an}的前n项和？可以发现，上述方法的妙处在于将1+2+3+…+n“倒序”为n+(n-1)+(n-2)+…+1,再将两式相加，得到n个相同的数（即n+1）相加，从而把不同数求和转化为n个相同的数求和.新课学习根据上面的方法，如何求等差数列的前n项和Sn?对于等差数列{an}，因为a1＋an=a2＋an-1=an＋a1，由上述方法得到启示，用两种方式表示Sn：Sn＝a1＋a2＋

a3＋…

＋an①Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1②①＋②，得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋…＋(an＋a1)＝(a1＋an)＋(a1＋an)＋…＋(a1＋an)n个=n(a1＋an)新课学习等差数列的前n项和的公式由此得到等差数列{an}的前n项和公式把等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d代入公式(1),可得新课学习要知道哪些已知条件才可以求出等差数列的前n项和？新课学习如何根据等差数列{an}的特性来推导等差数列的前n项和？将(1)变形可得所以

就是等差数列{an}前n项的平均数.实际上，我们利用等差数列的这一重要特性来推导它的前n项和.新课学习不从公式(1)出发，你能用其他方法得到公式(2)吗？新课学习例1：已知数列{an}是等差数列.(1)若a1＝7，a50＝101，求S50；因为a1＝7，a50＝101，思考：对于等差数列{an}的相关量a1，an，d，n，Sn，已知几个量就可以确定其他量？3个新课学习(2)若a1＝2，a2＝

，求S10；

因为a1＝2，a2＝

，

所以d＝

，

新课学习(3)若a1＝

，d＝－

，Sn＝－5，求n.

整理，得解得n=12,或n=-5（舍去）所以n=12新课学习例2：已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式（2）中，可以看到两个关于a1和d的二元一次方程，解这个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得a1和d.由题意，知S10＝310，S20＝1220，把它们代入公式新课学习例2：已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？得解方程组，得所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差．一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定.新课学习已知数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p，q，r为常数，且p≠0

．任取若干组

p，q，r

，在电子表格中计算a1,a2,a3,a4,a5的值（如图给出p=1,q=2,r=0的情况），观察数列{an}的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论．图中的电子表格A列中A1,A2,A3分别表示p，q，r的值，B列、C列中分别是相应的Sn和an的值．新课学习结论：已知数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r(p，q，r为常数且p≠0),

则当r=0时，数列{an}为等差数列；当r≠0时，数列{an}从第二项起为等差数列．证明：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(pn2+qn+r)-[p(n-1)2+q(n-1)+r]=2pn-p+q，当n=1时，a1=S1=p+q+r，(1)当r=1时，符合a1=p+q+r，所以an=2pn-p+q，此时数列{an}为等差数列，且公差为2p．新课学习证明：(2)当r≠0时，a1=