第五章+一元函数的导数及其应用+章末小结-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章

一元函数的导数及其应用

章末小结知识网络·整合构建专题突破·素养提升易错易混·衔接高考目录索引

知识网络·整合构建专题突破·素养提升专题一导数的计算及几何意义导数的几何意义是高中数学的重要考点,常与导数公式、导数运算法则及复合函数求导结合,考查求切线方程、切点坐标,以及与切线平行、垂直的直线问题,难度中低档为主.导数的几何意义还常应用于解决与距离相关的最值问题,处理此类问题一般利用函数图象的切线,将距离的最值转化为点到直线、平行线间的距离问题解决.通过导数几何意义的问题,提升数学运算、直观想象和数学抽象的核心素养,对转化与化归思想有较多的体现.【例1】

(1)设f'(x)是函数f(x)的导函数,若f(x)=xln(2x-1),则f'(1)=

.

2

(2)曲线f(x)=3x-cosx在(0,f(0))处的切线与直线2x-my+1=0垂直,则实数m的值为

.

-6解析

f'(x)=3+sin

x,∴f'(0)=3,∴f(x)在(0,f(0))处的切线斜率为3,∵f(x)在(0,f(0))处的切线与直线2x-my+1=0垂直,∴

=-1,解得m=-6.规律方法

导数的运算是解决一切导数问题的基础,要熟练掌握基本初等函数的求导法则,掌握函数的和、差、积、商的运算法则.复合函数求导的关键是分清层次,逐层求导,求导时不要忘了对内层函数求导.变式训练1(1)已知曲线f(x)=alnx+x2在点(1,1)处的切线与直线x+y=0平行,则实数a的值为(

)A.-3 B.1

C.2

D.3A解析

由f(x)=aln

x+x2,得f'(x)=+2x,则曲线在点(1,1)处的切线斜率为k=a+2,由切线与直线x+y=0平行,可得k=-1,即a+2=-1,解得a=-3.

专题二利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的性质,主要以指数函数、对数函数、三次函数为载体,研究函数的单调性、极值、最值,并能解决有关的问题;通过求函数的单调性、极值、最值问题,培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养.【例2】

已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当a≥1时,f(x)≥0.(1)解

f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).①若a≤0,则f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减.②若a>0,由f'(x)=0,得x=-ln

a.当x∈(-∞,-ln

a)时,f'(x)<0,当x∈(-ln

a,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-ln

a)上单调递减,在(-ln

a,+∞)上单调递增.综上,当a≤0时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递减;当a>0时,f(x)在(-∞,-ln

a)上单调递减,在(-ln

a,+∞)上单调递增.(2)证明

(方法1)当a≥1时,a(e2x+ex)-2ex-x≥e2x-ex-x.令h(x)=e2x-ex-x,则h'(x)=2e2x-ex-1=(2ex+1)(ex-1),由h'(x)=0得x=0,当x∈(-∞,0)时,h'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,h'(x)>0,所以h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以h(x)min=h(0)=0.所以,当a≥1时,f(x)≥0.(方法2)由(1)知,当a≥1时,f(x)在(-∞,-ln

a)上单调递减,在(-ln

a,+∞)上单调递增.规律方法

利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础,一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性,从而掌握函数图象的变化趋势,达到解决问题的目的.专题三与导数有关的综合性问题导数是研究函数性质的强有力的工具,从近几年高考题看,利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到,一般为解答题.其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象,解决该类问题通常是构造一个函数,然后考查这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.【例3】

已知函数f(x)=xlnx.(1)求f(x)的最小值;(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围;(3)若关于x的方程f(x)=b恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.∴当x≥1时,g'(x)≥0,且不恒为0,∴g(x)在[1,+∞)上单调递增,∴g(x)min=g(1)=1,∴a≤1,即实数a的取值范围为(-∞,1].(3)若关于x的方程f(x)=b恰有两个不相等的实数根,则y=b的图象和y=f(x)的图象在(0,+∞)上有两个不同的交点.规律方法

综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学思想方法,关键是分类讨论时,是否做到了不重不漏;数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋势;构造函数时是否合理等问题.变式训练2已知函数f(x)=ex-ax-1(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在[0,1]上有两个零点,求a的取值范围.解

(1)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-a,当a≤0时,f'(x)>0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增;当a>0时,由f'(x)=0,得x=ln

a,所以当x∈(-∞,ln

a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(ln

a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递增;当a>0时,f(x)在(ln

a,+∞)上单调递增,在(-∞,ln

a)上单调递减.(2)由(1)知当a≤0时,f(x)在[0,1]上单调递增,至多有一个零点,不符合题意;当a>0时,当ln

a≤0,即0<a≤1时,f(x)在[0,1]上单调递增,不符合题意;当0<ln

a≤1,即1<a≤e时,f(x)在[0,ln

a]上单调递减,在[ln

a,1]上单调递增,且f(0)=0,f(1)=e-a-1,要使f(x)在[0,1]上有两个零点,当ln

a>1,即a>e时,f(x)在[0,1]上单调递减,不符合题意.所以当a∈(1,e-1]时,f(x)在[0,1]上有两个零点.专题四导数在实际问题中的应用利用导数解决实际问题中的最优问题的基本思路(1)设出变量,找出函数关系式,确定定义域;(2)在实际应用问题中,若函数f(x)在定义域内只有一个极值点,则它就是最值点.【例4】

(2025江苏连云港高二检测)数学课上,老师出示了以下习题:已知圆柱内接于半径为3的球O,求圆柱体积V的最大值.为了求出圆柱体积V的最大值,小明和小亮两位同学分别给出了如下两种方案:(1)小明的方案:设圆柱的高为x,请你帮他写出体积V与x之间的函数关系式,并求出圆柱体积的最大值;(2)小亮的方案:取圆柱底面圆O'上一点P,连接PO,PO',设∠OPO'=θ,请你帮他写出体积V与θ之间的函数关系式,并求出圆柱体积的最大值.

规律方法

解决优化问题的步骤(1)分析问题中各个数量之间的关系,建立适当的函数模型,并确定函数的定义域.(2)通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最大(小)值,提出优化方案,使问题得以解决.在这个过程中,导数是一个有力的工具.(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.易错易混·衔接高考12341.(2023新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为(

)A.e2

B.e

C.e-1

D.e-25C

12342.(多选题)(2024新高考Ⅰ,10)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则(

)A.x=3是函数f(x)的极小值点

B.当0<x<1时,f(x)<f(x2)C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x)5ACD12345解析

∵f(x)=(x-1)2(x-4),∴函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=3(x-1)(x-3).令f'(x)=3(x-1)(x-3)=0,得x=1或x=3.当x<1或x>3时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当1<x<3时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴x=3是函数f(x)的极小值点,∴A正确.当0<x<1时,0<x2<x<1,又由上可知当0<x<1时,f(x)单调递增,∴f(x2)<f(x),∴B错误.当1<x<2时,f(2x-1)=(2x-1-1)2(2x-1-4)=4(x-1)2(2x-5)<0,f(2x-1)+4=4(x-2)2(2x-1)>0,即f(2x-1)>-4,∴C正确.当-1<x<0时,2<2-x<3.由f(x)在区间(-1,0)上单调递增,且在区间(2,3)上单调递减知,-20<f(x)<-4,-4<f(2-x)<0,故f(2-x)>f(x),∴D正确.故选ACD.12343.(多选题)(2024新高考Ⅱ,11)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则(

)A.当a>1时,f(x)有三个零点B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点C.存在a,b使得直线x=b为曲线y=f(x)的对称轴D.存在a使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心5AD12345解析由题得,f'(x)=