基本初等函数的导数-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.2.1基本初等函数的导数学习目标1.能应用导数的定义求y=c,y=x,y=x2,y=x3,的导数.2.掌握基本初等函数的导数公式,并会求函数的导数.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

基础落实·必备知识一遍过知识点基本初等函数的导数公式函数导数f(x)=c(c为常数)f'(x)=

f(x)=xα(α∈R,且α≠0)f'(x)=

f(x)=sinx

f'(x)=

f(x)=cosx

f'(x)=

f(x)=ax(a>0,且a≠1)

f'(x)=

f(x)=exf'(x)=

即为上式中a=e时的特例

0

αxα-1cosx-sinxaxlnaex函数导数f(x)=logax(a>0,且a≠1)

f'(x)=

注意对数函数的求导公式中,自变量的取值要大于零才有意义

f(x)=lnx

f'(x)=

名师点睛由于根式函数可以转化为幂函数的形式,因此可以利用幂函数的导数公

2.C'=0和x'=1的几何意义分别是什么?

提示C'=0的几何意义是常函数y=C在函数图象上任意一点处的切线的斜率都为0;x'=1的几何意义是y=x在函数图象上任意一点处的切线的斜率都为1.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若f(x)=4x,则f'(x)=4xlog4e.(

)×

×C

4.(人教B版教材例题)求曲线y=sinx在(0,sin0)处的切线方程.解

因为(sin

x)'=cos

x,所以所求切线的斜率为cos

0=1,又因为sin

0=0,所以所求切线方程为y-0=1(x-0),即y=x.重难探究·能力素养速提升探究点一利用导数公式求函数的导数

规律方法

利用导数公式求函数导数的方法(1)若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解.(2)对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误.变式训练1求下列函数的导数:探究点二导数公式与几何意义的应用

变式训练2(苏教版教材习题)设b为实数,若直线y=-x+b为函数y=图象的切线,求b的值及切点坐标.所以切点坐标是(-1,-1)或(1,1),当切点坐标是(-1,-1)时,代入直线的方程y=-x+b,得b=-2;当切点坐标是(1,1)时,代入直线的方程y=-x+b,得b=2.★★【例2-2】

(人教B版教材例题)已知函数f(x)=x2,而l是曲线y=f(x)的切线,且l经过点(2,3).(1)判断(2,3)是否为曲线y=f(x)上的点;(2)求l的方程.解

(1)因为f(2)=22=4≠3,所以点(2,3)不是曲线y=f(x)上的点.(2)设切点为(x0,f(x0)).因为f'(x)=2x,所以切线的斜率为f'(x0)=2x0,由此可解得x0=1或x0=3,因此,切点为(1,1)或(3,9),切线方程为y-1=2(x-1)或y-9=6(x-3).即l的方程为y=2x-1或y=6x-9.规律方法

利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数;(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.两种情况的区别就在于切点已知和未知的问题,都需要借助导数的几何意义求解.变式训练3已知函数f(x)=x3.求:(1)曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;★★(2)曲线y=f(x)过点B(0,16)的切线方程.解

(1)因为f'(x)=3x2,所以f'(1)=3,又f(1)=1,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.本节要点归纳1.知识清单:(1)定义法求函数的导数.(2)公式法求函数的导数.(3)导数几何意义的应用.2.方法归纳:公式法、转化法、待定系数法.3.常见误区:(1)常数的导数判断失误致错;(2)求切线忽视判断点是否在曲线上.学以致用·随堂检测促达标1231.下列求导运算正确的是(

)A.(lnx)'=xC.(cosx)'=sinxD.(7x)'=7xln7D41232.函数y=3x在x=2处的导数为(

)A.9 B.6

C.9ln3 D.6ln3C解析

y'=(3x)'=3xln

3,所以所求导数为9ln

3.故选C.412343.(2025上海青浦高二检测)已知函数y=f(x)的导函数为y=f'(x),定