双曲线的简单几何性质2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2双曲线的简单几何性质

人教A版（2019）选择性必修一学习目标1.理解双曲线的简单几何性质，体现逻辑推理能力（重点）2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题，体现数学计算能力（重点）新课导入34类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质？如何研究这些性质？范围、对称性、顶点和离心率新课学习34类别椭圆范围的方法，双曲线的范围是什么？F1F2xOyx=ax=-a横纵坐标的范围：横坐标的范围是

x≤－a，或

x≥a，纵坐标的范围是y∈R．

x2≥a2，y∈R.所以

x≤－a，或

x≥a；y∈R．结论：这说明双曲线位于直线

x＝－a

及其左侧和直线

x＝a

及其右侧的区域.新课学习根据椭圆的对称性，研究一下双曲线是否具有对称性？x轴的对称性:在双曲线的标准方程中，以-y代y，方程不变.这说明当点P(x,y)在双曲线上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在双曲线上，所以双曲线关于x轴对称.F1F2xOyP(x,y)P2(x,-y)P1(-x,y)y轴的对称性:以-x代x，方程也不变，这说明如果点P(x,y)在双曲线上，那么它关于y轴的对称点P2(-x,y)也在双曲线上，所以双曲线关于y轴对称.新课学习根据椭圆的对称性，研究一下双曲线是否具有对称性？F1F2xOyP(x,y)P2(x,-y)P3(-x,-y)P1(-x,y)原点的对称性:以-x代x，以-y代y，方程也不变，这说明当点P(x,y)在双曲线上时，它关于原点的对称点P3(-x,-y)也在双曲线上，所以双曲线关于原点对称.结论：这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.新课学习双曲线的顶点的概念F1F2xOyA1A2B1B2ab在方程①中，令

y＝0，得

x＝－a或

x＝a，所以双曲线的顶点为

A1(-a,0)和A2(a,0)；因为

x轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点.令x＝0，y2＝－b2，没有实数解．这个方程没有实数解，说明双曲线和y轴没有公共点，但也把两点B1(0,-b)和

B2(0,b)画在y轴上（如图）.新课学习双曲线的实轴和虚轴的概念F1F2xOyA1A2B1B2ab实轴虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长．新课学习可以发现，在向右拖动点M时，点M的横坐标xM越来越大，d越来越小，但是d始终不等于0．新课学习经过两点

A1，A2作

y轴的平行线

x＝±3，经过两点

B1，B2

作

x轴的平行线

y=±2，四条直线围成一个矩形(如图).xOA1yA2B1B2F2F1矩形的两条对角线所在直线的方程是可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永远不相交．新课学习双曲线的渐近线的概念渐近线的性质：双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交．当a=b时，双曲线的有什么性质？新课学习等轴双曲线的概念新课学习离心率的概念新课学习椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何性质？双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张ロ”大小吗？它与用离心率刻画“张口”大小有什么联系和区别？新课学习方程焦点顶点范围对称性虚、实轴离心率渐近线F1(-c，0)，F2(c，0)A1(-a，0)，A2(a，0)x≤-a或x≥a

y≤-a或y≥a

中心：原点；对称轴：x轴、y轴实轴长：2a；虚轴长：2bF1(0，-c)，F2(0，c)A1(0，-a)，A2(0，a)新课学习例3：求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．把双曲线的方程9y2－16x2＝144化为标准方程由此可知，实半轴长

a＝4，虚半轴长

b＝3；新课学习例4：双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(如图(1))．它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m)．新课学习根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图(2)所示的直角坐标系Oxy，使小圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径CC′，BB′都平行于x轴，且|CC′|＝13×2，|BB′|＝25×2．点

C的坐标为(13，y)，则点

B的坐标为(25，y－55)．因为直径

AA′是实轴，所以

a＝12．又

B，C两点都在双曲线上，所以新课学习化简得19b2＋275b－18150＝0．③解方程③，得

b≈25(负值舍去)．因此所求双曲线的方程为新课学习例5：动点

M(x，y)与定点

F(4，0)的距离和它到定直线

l：x＝

的距离的比是常数

，求动点

M的轨迹．

设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合由此得将上式两边平方，并化简，得7x2－9y2＝63，即

新课学习将例5与椭圆一节中的教材例6比较，你可以得出什么结论？动点

M

与一个定点

F

的距离和它到一条定直线

l

的距离的比是常数

e.若这个常数大于0且小于1，则动点的轨迹是椭圆；若这个常数大于1，则动点的轨迹是双曲线.新课学习由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为

F1(－3，0)，F2(3，0).因为直线

AB的倾斜角是30°，且经过右焦点

F2，所以直线

AB的方程为由消去

y，得5x2＋6x－27＝0．解方程，得

x1＝－3，x2＝

新课学习将