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文档简介

第一部分课时拔尖3道题课时拔尖22三角形的内切圆C1.2.如图，正方形ABCD的边长是4cm，E是CD边的中点．将该正方形沿BE折叠，点C落在点C′处．⊙O分别与AB，AD，BC′相切，切点分别为F，G，H，则⊙O的半径为________cm.1【点拨】如图所示，延长BC′交AD于点M，连接ME，OA，OB，OM，OF，OG，OH.

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝∠C＝90°.

∵E为CD的中点，∴CE＝DE.由折叠的性质可得BC′＝BC＝4cm，∠BC′E＝∠C＝90°，EC′＝EC＝ED，∴∠EC′M＝90°＝∠D.又∵EM＝EM，EC′＝ED，∴Rt△DEM≌Rt△C′EM(HL)．∴DM＝C′M.设DM＝C′M＝xcm，则BM＝(4＋x)cm，AM＝(4－x)cm.在Rt△ABM中，由勾股定理得BM2＝AB2＋AM2，∴(4＋x)2＝42＋(4－x)2，解得x＝1.∴AM＝3cm，BM＝5cm.∵⊙O分别与AB，AD，BC′相切，切点分别为F，G，H，∴OF＝OH＝OG，OG⊥AD，OF⊥AB，OH⊥BM.设OF＝OH＝OG＝rcm.3.解答下列问题：(1)【尺规作图】如图①，利用无刻度直尺和圆规，作出△ABC的内心I.(保留作图痕迹)解：如图，点I即为所作．(2)【习题再现】完成原习题(教材P74第10题)：如图②，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D.BD和ID相等吗？为什么？解：BD＝ID.理由：连接BI.∵I是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠IBC.∵∠DBC＝∠DAC，∴∠DBC＝∠BAD.∵∠BID是△ABI的一个外角，∴∠BID＝∠BAD＋∠ABI.又∵∠IBD＝∠DBC＋∠IBC，∴∠IBD＝∠BID.∴BD＝ID.(3)【逆向思考】如图③，I为△ABC内一点，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D.若DB＝DI＝DC，求证：I为△ABC的内心．证明：连接BI，CI.∵BD＝CD，∴BD＝CD.∴∠BAD＝∠CAD＝∠DBC，即AD平分∠BAC.∵BD＝DI，∴∠IBD＝∠BID.∵∠BID是△ABI的一个外角，∴∠BID＝∠BAD＋∠ABI.∵∠IBD＝∠DBC＋∠CB

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