（人教A版）必修第二册高一数学下学期第八章 立体几何初步 章末测试卷（解析版）

第八章立体几何初步章末测试卷（时间：120分钟，满分：150分）一、单项选择题：1．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可.【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为，则圆锥和圆柱的高为，所以圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，所以圆锥和圆柱的侧面积之比为,故选:C.2．已知为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可．【详解】对于A，若，则或，故A错误；对于B，若，则或，若，因为，则，若，如图所示，则在平面一定存在一条直线，因为，所以，又，所以，综上若，则，故B正确；对于C，若，则直线相交或平行或异面，故C错误；对于D，若，则直线相交或平行或异面，故D错误.故选：B.3．已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面ABCD的射影为BC中点H，则点到平面ABCD的距离为(

)A． B． C． D．3【答案】B【分析】求出，根据∥平面ABCD即可得点到平面ABCD的距离．【详解】如图，连接，则⊥平面ABCD，且，由题可知∥，又∵平面ABCD，平面ABCD，∴∥平面ABCD，∴点到平面ABCD的距离与点B1到平面ABCD的距离相等．故选：B．4．平面与平面平行的充分条件可以是（

）A．内有无穷多条直线都与平行B．直线，且C．内的任何一条直线都与平行D．直线，直线，且【答案】C【分析】选项A、B、D中，平面与平面相交时都有可能满足，选项C由面面平行的定义可判断.从而得出答案.【详解】选项A.当内有无穷多条直线都与平行时，平面与平面可能相交，故不正确.选项B.直线,当平面平面，时，满足条件，此时平面与平面可能相交，故不正确.选项C.由面面平行的定义可得，平面与平面平行，故正确.选项D.当平面平面，，，满足条件，此时平面与平面可能相交，故不正确.故选:C.5．如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列说法中错误的是（

）A．异面直线EF与所成的角为B．存在点E，F，使得C．三棱锥B-AEF的体积为D．点C到平面BEF的距离为【答案】B【分析】对A：根据异面直线的夹角分析运算；对B：根据空间中直线的位置关系分析判断；对C：根据锥体的体积公式运算求解；对D：利用等体积法求点到面的距离.【详解】对A：连接，则，，故为平行四边形，则，且，即为等边三角形，故异面直线EF与所成的角为，A正确；对B：反证：若存在点E，F，使得，则四点共面，故与为共面直线，这与与为异面直线相矛盾，故假设不成立，即不存在点E，F，使得，B错误；对C：连接，设，则，∵平面，平面，故，，平面，可得平面，可知三棱锥B-AEF的高为，故三棱锥B-AEF的体积为，C正确；对D：设点到直线的距离为，由，根据的面积可得，解得，设点C到平面BEF的距离为，由选项C可知三棱锥B-CEF的高为，根据，可得，解得，故点C到平面BEF的距离为，D正确；故选：B.6．已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，则下列结论：①；

②平面平面；③点到平面的距离为；

④三棱锥的体积为；⑤与所成角的正弦值为.其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】对于①利用线线平行的判定即可；对于②利用面面垂直的判定即可；对于③④利用三棱锥的体积公式及等体积法转化即可；对于⑤利用余弦定理即可.【详解】如图所示，对于①，在正方体中易知,而,∴不平行，故①错误；对于②取中点G，连接，可得为等腰三角形，由题意可得，同理,，故又∵面，面∴面而面，所以面面，即面与面不垂直，故②错误；对于③④，设点到平面的距离为，则，∴，，③④正确；对于⑤，取中点,连接，∥，即易知与的夹角可化为与的夹角，由余弦定理可得，故⑤正确.综上正确的结论有三个，故选:C7．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如下图），在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需总时长为1小时，当上方圆锥中沙子漏至圆锥高度的时，所需时间为（

）A．小时 B．小时 C．小时 D．小时【答案】C【分析】根据题意，问题转化为求，根据圆锥体积公式计算即可.【详解】如图，设圆锥的高为，依题意可知，，，所以，则所需时间为小时．故选：C．8．已知三棱锥的所有棱长均为2，若球经过三棱锥各棱的中点，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把正四面体放置在正方体中，转化为正方体内切球问题，求出半径，代入球的表面积公式求解即可.【详解】三棱锥的所有棱长均为2，故可把三棱锥放置在正方体中，如图设正方体的棱长为a，则，解得，当球经过三棱锥各棱的中点时，球为正方体的内切球，故球的半径为正方体棱长的一半，即，所以球的表面积.故选：B.二、多项选择题：9．下列关于空间几何体的说法正确的是（

）A．棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形C．各个面都是三角形的几何体是三棱锥D．圆柱的任意两条母线互相平行【答案】ABD【分析】根据棱柱、棱锥和圆柱的结构特征依次判断各个选项即可.【详解】对于A，由棱柱的结构特征知：棱柱两个底面为全等的多边形，且对应边互相平行，A正确；对于B，由棱柱的结构特征知：棱柱侧棱长相等，且各侧面均为平行四边形，B正确；对于C，如下图所示的两个三棱锥拼接而成的组合体，各个面都为三角形，但不是三棱锥，C错误；对于D，由圆柱的结构特征知：圆柱的任意两条母线互相平行，D正确.故选：ABD.10．如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，平面，直线与所成的角的余弦值为，则下列说法正确的是（

）A．平面 B．C．三棱锥的外接球的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为【答案】AC【分析】根据线面垂直性质定理可得，，再利用线面垂直的判定定理即可证明A正确；即可得三条线两两垂直，由异面直线夹角可得，即B错误；通过构造长方体计算可得三棱锥的外接球半径为，即可得出体积和表面积，可判断C正确，D错误.【详解】根据题意，因为平面，，平面，所以，，又四边形是矩形，所以，平面，平面，且，所以平面.即A正确；可得平面，，ABC两两垂直，所以三棱锥外接球的直径等于，又，所以直线与所成的角等于直线与BC所成的角或其补角，所以，由可得，所以B错误；设三棱锥的外接球的半径为，则满足，所以；所以三棱锥的外接球的体积为,表面积为.所以C正确，D错误.故选：AC.11．在棱长为2的正方体中，与交于点，则（

）A．平面B．平面C．与平面所成的角为D．三棱锥的体积为【答案】ABD【分析】根据线面平行判定定理判断A，利用线面垂直判定定理判断B，利用线面夹角的定义判断C，根据等体积法判断D.【详解】∵平面平面平面，A对；因为又平面，平面，所以平面平面，B对；因为平面与平面所成角为因为，C错；因为，D对.故选：.三、填空题：12．如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为______.【答案】【分析】根据棱锥的性质，证明的中点就是三棱锥的外接球球心，得出半径后可求体积．【详解】取中点，中点，连接，则，因为底面，所以平面，因为四边形是菱形，则，所以是的外心，又底面，平面，所以，所以到四点距离相等，即为三棱锥的外接球球心．又，，所以，所以，所以三棱锥的外接球体积为．故答案为：．13．已知中，为边上的高线，以为折痕进行折叠，使得二面角为，则三棱锥的外接球半径为__________.【答案】【分析】先说明为二面角的平面角，从而科力远余弦定理求得，在证明平面，利用正弦定理求出外接圆的半径，再利用勾股定理即可得出答案.【详解】由题意，可得为二面角的平面角，即，在中，，由余弦定理，可得，又由且平面，所以平面，设外接圆的半径为，圆心为，则，可得，即，设三棱锥的外接球的半径为，球心为，可得，即，所以三棱锥的外接球半径为.故答案为：.14．如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段上一动点（不与，B重合），则下列命题中：①平面平面；②一定是锐角；③；④三棱锥的体积为定值．其中真命题的有__________．【答案】①③④【分析】根据正方体特征可知平面，利用面面垂直的判定定理即可求得①正确；当是的中点时是直角，即②错误；易知平面，利用线面垂直的性质即可得，所以③正确；根据等体积法和线面平行判定定理可得三棱锥的体积为定值，即可知④正确.【详解】对于①，由正方体性质可得平面，又平面，所以平面平面，即①正确；对于②，当是的中点时，易得，满足，此时是直角，所以②错误；对于③，连接，如下图所示;由正方体可知，且平面，平面，所以，又，平面，所以平面；又平面，所以，即③正确；对于④，三棱锥的体积，又因为的面积是定值，平面，所以点到平面的距离是定值，所以三棱锥的体积为定值,即④正确.故答案为：①③④四、解答题：15．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到的位置，．(1)证明：平面平面ABCD；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)12.【分析】（1）由题可得，然后利用菱形的性质，勾股定理及线面垂直的判定定理可得平面ABCD，再利用面面垂直的判定定理即得；（2）利用锥体的体积公式即得.【详解】（1）∵ABCD是菱形，AD＝DC，又，∴，则，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则，∵AC＝6，∴AO＝3，又AB＝5，AO⊥OB，∴OB＝4，∴，则，∴，则，又，平面ABCD，∴平面ABCD，平面，所以平面平面ABCD；（2）由题可知，，所以三棱锥的体积为.16．如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知，.(1)求圆柱的体积；(2)求证：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）计算出圆柱的底面半径，再利用柱体的体积公式可求得该圆柱的体积；（2）推导出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立.【详解】（1）解：设圆柱的底面半径为，因为，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，且，，则，由勾股定理可得，所以，，因此，该圆柱的体积为.（2）证明：因为平面，平面，所以，，又因为，，、平面，所以，平面.因为平面，所以，.17．在如图所示的圆柱中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆的直径，AD，BC是圆柱的母线，E为圆O上一点，P为DE上一点，且平面BCE.(1)求证：；(2)若，二面角的正弦值为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先通过面面平行的判断证明平面平面，再由面面平行的性质证明，即是中位线，由此得到是的中点；（2）设，通过勾股定理计算将到的距离和到平面的距离用表示，根据二面角的正弦值列方程求出，再代入体积公式计算即可.【详解】（1）如图，连接，，因为为母线，所以,又平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.又因为平面平面，平面平面，所以，因为是的中点，所以是的中点，即.（2）如下图，作，，.设到的距离为，则到的距离为.设，则有，，，，，因为，所以.因为平面，所以到平面的距离即是到平面的距离，即.所以，解得.所以.18．如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,平面,,为的中点,为边上的一个点.(1)求证:平面平面;(2)若为上的动点,与平面所成角的正切值的最大值为,求平面与平面夹角的正切值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】(1)面面垂直的判定,需先证明线面垂直;(2)先找到线面角,再求出的长,然后找到二面角,求出其正切值.【详解】（1）证明:在菱形中,,故△是等边三角形,又是中点,所以,而,所以;因为平面,平面,所以;又因为,平面,平面;所以平面,又平面,所以平面平面.（2）如图,连接,则即为与平面所成的角,设,则,,即点到直线的距离为;又,且;.设平面平面,

;又平面且平面平面,.如图,取中点,连接,则⊥;⊥平面平面⊥,又,⊥平面,又平面,又⊥,;所以∠即为所求二面角的平面角.在△中,.故平面与平面夹角的正切值为.19．如图，在