（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末考点题型练习专题05 余弦定理及其应用（解析版）

专题05余弦定理及其应用1.解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.2.余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则定理余弦定理公式常见变形，，解三角形问题①已知三边，求三个角；②已知两边和一角，求第三边和其他两角．余弦定理与勾股定理的关系⇔C为直角；⇔C为钝角；⇔C为锐角.考点一已知三边解三角形考点二已知两边及一角解三角形1.已知两边及夹角2.已知两边及一边的对角考点三余弦定理边角互化1.判断三角形形状2.余弦定理的应用考点一已知三边解三角形例1．在三角形ABC中，，，，则角C等于（

）A．30 B．45 C．60 D．120【答案】D【分析】直接利用余弦定理即可求出结果.【详解】根据余弦定理得，因为，因此，故选：D.练习1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用余弦定理计算可得.【详解】解：因为，所以．故选：B练习2．若一个三角形的三边长分别为，，，则此三角形的最大内角为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用已知条件求出的范围，在判断出最大边，利用余弦定理求出最大角即可.【详解】因为，，为三角形的三边长，所以解得：，由，所以，且，所以，故三角形最大边为，由三角形边角关系得，大边对大角，故三角形最大角为边所对应的角，设为，由余弦定理可得：，由，所以，故三角形的最大内角为，故选：C.练习3．在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小内角的余弦值为______．【答案】【分析】分析可知角为的最小内角，利用余弦定理求出的值，即为所求.【详解】因为，则角为的最小内角，设，，，其中，由余弦定理可得．故答案为：.考点二已知两边及一角解三角形1.已知两边及夹角例2．在中，内角的对边分别为，若，则（

）A． B． C．5 D．6【答案】A【分析】根据余弦定理计算直接得出结果.【详解】由余弦定理可得，所以.故选：A.练习1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】先求得B的余弦值，再根据余弦定理可求得b的值.【详解】，∴，∴.故选：A.练习2．在△ABC中，若，，，则_________．【答案】【分析】利用余弦定理即可求解.【详解】因为，，，由余弦定理可知，，化简可得，解得.故答案为：练习3．在平行四边形中，，则平行四边形的两条对角线长分别为__________．【答案】、【分析】分别在中，在中应用余弦定理，可求得对角线的长，得到答案.【详解】在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以．故答案为：、.2.已知两边及一边的对角例3．在中，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用二倍角公式求，再运用余弦定理求即可.【详解】因为，所以，由余弦定理可得，因为，所以，所以.故选：A.练习1．在中，，，，则______．【答案】3【分析】由余弦定理求解即可.【详解】由余弦定理可得，，即，解得或(舍去).故答案为：3练习2．在中，、、分别是内角、、的对边，，，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意和余弦定理计算即可求解；（2）根据同角的三角函数关系求出，由正弦定理求出，结合二倍角的余弦公式计算即可求解.【详解】（1）由余弦定理知，即，整理得，解得或（舍负），故.（2）∵，且，∴，由正弦定理知，即，得，∴.考点三余弦定理边角互化1.判断三角形形状例4．在中，角的对边分别为，若，且，则为（

）A．等边三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形【答案】C【分析】根据已知等式可配凑出，进而得到，依次计算出各个角即可确定结果.【详解】由得：，即，，，，则，为等腰直角三角形.故选：C.练习1．在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根据三角恒等变换得，再由余弦定理解决即可.【详解】由题知，，所以，所以，得，所以，得，所以的形状为直角三角形，故选：A练习2．若的三个内角满足，则的形状是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能【答案】A【分析】由正弦定理可得可设，，，再由余弦定理判断最大角的余弦值符号即可求解.【详解】由，得，设，，（），则由余弦定理有：，又，所以，即为钝角；故选：A.练习3．的内角的对边分别为.已知，则的形状是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】A【分析】首先利用降幂公式化简,再利用余弦定理化简即可.【详解】由再由余弦定理得：故三角形为直角三角形，故选：A2.余弦定理的应用例5．在中，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理及已知条件可得，即可求的取值范围.【详解】由，故.故选：A练习1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由余弦定理求出答案.【详解】由得：，解得：故选：B练习2．已知中，，则角A等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据余弦定理边化角，可得的值，即得答案.【详解】由中，可得,由于,故,故选：A练习3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则B＝______．【答案】【分析】由余弦定理可得，化简得，从而求得．【详解】由余弦定理可得，化简得，则，又，所以，故答案为：．一、单选题1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则B等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，设,利用余弦定理求解.【详解】解：在中，，设,由余弦定理得，因为，所以，故选：B2．若锐角三角形三边长分别为，则的范围是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根据锐角三角形分别应用余弦定理列边长关系不等式,计算即可.【详解】因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边对的锐角为角，根据余弦定理得，解得；设边对的锐角为，根据余弦定理得，解得，设边对的锐角为角,根据余弦定理得恒成立;所以实数的取值范围是.故选:.3．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形【答案】A【分析】由余弦定理得到，，从而，代入中，得到，由勾股定理逆定理得到为直角三角形.【详解】由题意得：，即，故，因为，所以，故，即因为，所以，即，故，故，故，所以为直角三角形.故选：A4．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根据向量的数量积以及余弦定理即可求解.【详解】由，得．又，故，由余弦定理，得，故．故选:D．5．设的内角的对边分别是.若，且，则（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】由余弦定理可得方程，求解排除即可.【详解】由余弦定理得，，即有，解得或，又，∴.故选：B6．在中，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理直接求解即可.【详解】因为，所以由余弦定理得，因为，所以，故选：C7．在中，已知，则三角形的周长是（

）A．2 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】先化简可得，又，则的周长可求【详解】因为，所以又，所以故选：D8．在中，内角所对的边分别为.已知，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用余弦定理求出，再利用基本不等式求出的范围，最后借助同角三角函数的关系求出的范围，从而求出的最大值.【详解】由，整理得，则，当且仅当时，等号成立.故选：C.9．在中，若，则该三角形一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．不能确定【答案】A【分析】利用余弦定理将角转化为边，然后化简可得结果.【详解】因为，所以由余弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以为等腰三角形，故选：A10．在中，若，则的最大内角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，则，求出，再判断出最大角，然后利用余弦定理可求出的最大内角.【详解】令，则，所以，所以A最大，所以，因为所以．故选：C二、多选题1在中，，，．若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是（）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用余弦定理可得关于的一元二次方程；根据三角形有唯一解可知或在时，方程两根一正一负或一根为零、一根为正，由此可构造不等式求得的范围，进而确定结果.【详解】由题意知：；由余弦定理得：，即，则；当，即时，，满足题意；当，即时，方程两根需一正一负或一根为零、一根为正，，解得：.综上所述：的可能取值为或.故选：BD.2．在中，若，则角的值可以为（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用余弦定理边化角可整理得到，结合可得结果.【详解】，，又，或.故选：BC.三、填空题1．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是______.【答案】【分析】利用余弦定理的推论求解.【详解】解：因为，所以，由余弦定理的推论，得，因为，所以.故答案为：.2．在△ABC中，若a=8，b=7，cosC=，则最大角的余弦值是___________.【答案