（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末考点题型练习专题10 数系的扩充和复数的概念（解析版）

专题10数系的扩充和复数的概念1．复数的定义及其分类①定义：形如的数叫做复数，其中称为的实部，称为的虚部(为虚数单位)．规定②复数的分类：复数的分类充要条件集合表示实数虚数纯虚数且2．复数相等在复数集中任取两个数，我们规定：与相等的充要条件是且考点一复数的有关概念考点二复数的分类考点三复数相等考点一复数的有关概念例1．已知为虚数单位，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数C．可能是实数 D．复数的虚部是【答案】C【分析】根据复数的概念即可求解.【详解】A.，说法不正确；B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；C.当时，是实数，说法正确；D.复数的虚部是1，说法不正确.故选：.练习1．设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（

）A．5 B． C．3 D．【答案】A【分析】根据已知结合复数的定义列式，即可解出答案.【详解】复数的实部与虚部互为相反数，，解得：，故选：A.练习2．（多选）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的值可以为（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据题目条件与余弦二倍角公式得到，求出或，结合，求出的值.【详解】由条件知，，∴，∴或，∵，∴，或．故选：ABD．练习3．若，则______．【答案】【分析】根据虚数单位的运算法则计算可得.【详解】.故答案为：考点二复数的分类例2．设，“”是“复数为纯虚数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：当时，为纯虚数，故充分；当复数为纯虚数时，，解得或，故不必要，故选：A练习1．在，，，，0.618这五个数中，纯虚数的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据复数的定义、复数的分类判断．【详解】，是纯虚数，，0.618是实数，是虚数．故纯虚数的个数为2．故选：C．练习2．设C为复数集，R为实数集，I为虚数集，M为纯虚数集，则下列式子中不正确的是______（请填代号）．①；

②；

③；

④．【答案】②【分析】求得判断①；求得判断②；求得判断③；求得判断④【详解】，则①判断正确；，则②判断错误；，则③判断正确；，则④判断正确故答案为：②练习3．求实数的值，使得复数分别是：(1)实数；(2)纯虚数．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据复数为实数时解决即可；（2）根据复数为纯虚数时解决即可.【详解】（1）由题知，复数为实数当且仅当，即或，所以当或时，复数为实数.（2）复数为纯虚数当且仅当，即，唯一满足此条件的的值是，所以当时，复数为纯虚数.考点三复数相等例3．若复数，则实数（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数相等可得出关于实数的等式组，即可解得实数的值.【详解】因为，则，解得.故选：B.练习1．已知集合，，讨论实数m取何值时：(1)；(2)．【答案】(1);(2)或.【分析】（1）判断出，即可求得；（2）由得到，分类讨论，分别列方程，利用复数相等的条件即可求得.【详解】（1）因为，所以；因为，所以.所以，所以恒成立.即无论实数m取任何值，恒成立.故.（2）因为，所以.因为，，所以或.当时，有：，解得：；当时，有：，解得：.综上所述：或.练习2．定义运算：，若复数满足，求xy的值．【答案】【分析】根据运算：，化简，再利用复数相等求解.【详解】解：因为运算：，所以，即为，则，因为，所以，则.练习3．已知实数m满足，求m及x的值．【答案】，.【分析】方程变形得，由复数相等列式求解即可【详解】实数m满足，则，∴，解得，.一、单选题1．已知复数为纯虚数，则实数的值为（

）A． B．0 C．1 D．0或1【答案】C【分析】根据题意和纯虚数的概念可得，解之即可.【详解】因为为纯虚数，所以，解得.故选：C.2．下列命题中正确的是（

）．A．；B．；C．若x，，则的充要条件是；D．若，则．【答案】A【分析】根据复数的运算法则即可判断结果．【详解】，故A

正确；，故B错误；若x，，若有；若有；故是的充分不必要条件，C错误；若，取则，故D错故选：A3．已知复数（）的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由实部和虚部互为相反数，结合二倍角公式可构造关于cosα的一元二次方程，解方程求得cosα，根据特殊角三角函数值和α的范围可求得结果.【详解】由题意可得，,或·故选：B．4．已知复数的实部和虚部分别为和4，则实数和的值分别是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用复数的概念列式计算作答.【详解】，复数的实部和虚部分别为和4，因此，解得，所以实数和的值分别是.故选：D5．已知复数，现有如下说法：①；②复数z的实部为正数；③复数z的虚部为正数，则正确说法的个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】先利用二倍角公式化简复数z，再由复数的概念及模的求法分析即可得答案.【详解】由题意可得：，，故①正确；∵，即为第四象限角，则有：复数z的实部为，为正数，故②正确；复数z的虚部为，为负数，故③错误.故选：B.6．若，是虚数单位，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数相等可得，，进而即得.【详解】因为，所以，，即，，所以．故选：D．7．若，其中，是虚数单位，则复数的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数相等的条件，结合虚部的概念求解即可【详解】因为，故，故复数的虚部为2，故选：D8．若是纯虚数（为虚数单位），则实数x的值为（

）A． B．2 C．2或 D．以上都不对【答案】B【分析】根据纯虚数的定义列方程求实数x的值．【详解】若是纯虚数，则，解得：，故选：B二、多选题9．（下列命题中，不正确的是（

）A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则【答案】BCD【分析】根据复数的概念逐项分析即得.【详解】由复数的定义可知A命题正确；形如的数，当时，它不是虚数，故B命题错误；若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误；两个虚数不能比较大小，故D命题错误．故选：BCD．三、填空题10．复数的虚部是__________.【答案】【分析】利用复数的相关概念即可得解.【详解】由复数虚部的概念，易知复数的虚部为.故答案为：.11．已知复数，则复数的实部为___________.【答案】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值将复数化简，再判断其实部即可.【详解】解：所以复数的实部为；故答案为：12．已知，求x和y的值___________.【答案】【分析】利用复数相等即可得出．【详解】，，，，解得．故答案为：．四、解答题13．已知复数，．(1)若是实数，求的值．(2)若是纯虚数，求的值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）由题意可知虚部为0，解一元二次方程即可；（2）由题意可知实部为0，虚部不为0，解方程