（人教A版）必修第二册高一数学下学期期末考点题型练习专题21 直线与平面垂直（解析版）

专题21直线与平面垂直1．直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言线线垂直线面垂直如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直2．直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言线面垂直线线平行垂直于同一个平面的两条直线平行.推论：①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面④垂直于同一条直线的两个平面平行.3、直线和平面所成的角定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角规定一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角取值范围考点一线面垂直的判定和性质定理的理解考点二直线与平面垂直的判定定理考点三直线与平面垂直的性质定理1.线面垂直证线线平行2.线面垂直证线线垂直考点四求直线与平面所成的夹角考点一线面垂直的判定和性质定理的理解例1．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】C【分析】根据条件思考题中平面和直线所可能的各种情况，运用有关的定理逐项分析.【详解】当，时，可能有，但也有可能或，故A选项错误；当，时，可能有，但也有可能或，故选项B错误；当，，时，必有，从而，故选项C正确；在如图所示的正方体中，取为，为，为平面，为平面，这时满足，，，但不成立，故选项D错误；故选：C.例2．已知α是平面，l、m、n是空间三条不同的直线，则下列命题中正确的个数为（

）①若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；②若l⊥m，l⊥n，则mn；③若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面；④若m⊥α，n⊥α，lm，则lnA．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据线线，线面的位置关系逐项分析即得.【详解】根据题意，依次分析4命题，对于①，当m与n相交时，可得l⊥α，①错误；对于②，垂直于同一直线的两条直线可以平行、相交，也可以异面，②错误；对于③，当3条直线交于一点时，直线l、m、n可能异面，③错误；对于④，若m⊥α，n⊥α，则mn，又由lm，则ln，④正确；所以4个命题中，有1个正确；故选：B．例3．（多选）下列命题中，不正确的是（

）A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥αB．若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直D．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α【答案】ABD【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D错误.故选：ABD例4．已知是不重合的平面，l是直线，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．当满足条件__________时，有；当满足条件__________时，有．（填序号）【答案】

③⑤

②⑤【分析】由面面平行的性质与线面垂直的判定求解即可【详解】若，，则有；若，，则有；故答案为：③⑤；②⑤例5．已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，且.在下列条件中，能推出的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由线面垂直的判定定理结合图象判断即可求解【详解】当时（如图所示），由推不出，即错误；同理可知，错误；若，可知与交于一点，且，所以，即D正确.故选：D考点二直线与平面垂直的判定定理例6．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面.(1)求四棱锥的体积；(2)求证：平面.【答案】(1)(2)证明见详解【分析】（1）直接由四棱锥体积公式求得结果；（2）先证明，得出平面.【详解】（1）已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，由平面得四棱锥的高为，所以四棱锥的体积；（2）因为四棱锥的底面是正方形，所以,因为平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面.例7．将如图①所示的矩形沿翻折后构成一个四棱锥如图②），若在四棱锥中，连接.(1)求证：平面；(2)求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用勾股定理证明线线垂直，根据线面垂直判定定理，可得答案；（2）利用线面垂直判定定理以及三角形的性质，结合棱锥的体积公式，可得答案.【详解】（1）证明：在中，，，.又，平面，平面.（2）如图，取的中点，连接，在中，，.由（1）可知平面，且AC在面MAC内，.又，平面，平面，又平面，.在中，，.又，CD、AC在面ABCD内，平面..例8．如图所示，和所在平面互相垂直，且，点分别为的中点，求证：平面【分析】分别利用三角形相似和等腰三角形性质可得、，再由线面垂直的判定定理可得平面，而由可得答案.【详解】由且，可得，所以，又由为的中点，所以，因为为的中点，可得，又因为且平面，所以平面，因为分别为的中点，所以，所以平面．例9．如图，为圆柱的母线，△是底面圆的内接正三角形，为的中点．(1)证明：平面；【分析】（1）先证明出，，利用线面垂直的判定定理证明出平面．【详解】（1）∵△是正三角形，为的中点，∴．∵为圆柱的母线，∴面，∴.∵，平面，平面，∴平面．例10．如图，在正三棱柱中，，，D是AC的中点，点E在上且．(1)求证：平面；【分析】（1）利用勾股定理易得，，再由线面垂直判定定理即可证明；【详解】（1）如图所示：连接BD，．由已知可得，，，，所以，，，所以，所以，同理，又平面，所以平面．考点三直线与平面垂直的性质定理1.线面垂直证线线平行例11．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.【分析】根据线面垂直的判定定理可证AE⊥平面PCD，MN⊥平面PCD，则可得AE∥MN．【详解】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.例12．如图，已知多面体，平面平面，且，证明：平面.【分析】利用线面垂直的性质证得，进而得，再利用线面平行的判定推理作答.【详解】因为平面平面，则，又，即四边形为平行四边形，因此，而平面平面，所以平面.例13．圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，证明：面【分析】连接，，，可证明四边形为平行四边形，得到，再通过线面平行的判定定理即可证明【详解】证明：连接，，，可得平面，∵平面，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面例14．已知m，n是两条不同的直线，是平面，则下列四个结论中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若m，n与所成的角相等，则【答案】A【分析】根据线面垂直的性质定理以及空间中线线垂直的关系可判断A正确，C错误；由线面平行性质定理以及线面角的定义可得BD均错误.【详解】由线面垂直的性质定理可得垂直于同一平面的两直线平行，即A正确；若，，可知m，n的位置关系可以是平行、相交或异面，即B错误；若，，则直线可以在平面内，所以C错误；由线面角的定义可知，若m，n与所成的角相等，则m，n的位置关系可以是平行、相交或异面，即D错误.故选：A例15．如图,在四棱锥中,平面,平面,底面为矩形,点在棱上,且与位于平面的两侧.(1)证明:平面;【分析】(1)根据线面垂直的性质定理可得,根据线面平行的判定定理即可得平面,根据及线面平行的判定定理即可得平面,根据及面面平行的判定定理即可得平面平面,再根据面面平行的性质定理即可证明;【详解】（1）证明:因为平面,平面,所以,因为平面,平面,所以平面,因为底面为矩形,所以,因为平面,平面,所以平面,因为,且平面,平面,所以平面平面,又因为平面,所以平面;2.线面垂直证线线垂直例16．如图，用正方体ABCD一A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法正确的是（

）A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行【答案】ABC【分析】根据线线垂直、线线平行等知识确定正确答案.【详解】由于是的中点，所以三点共线，则是的中点，由于是的中点，所以，C选项正确.根据正方体的性质可知平面，由于平面，所以，所以，A选项正确.由于，所以，B选项正确.由于，与相交，所以与不平行，D选项错误.故选：ABC例17．如图，在直三棱柱中，，是棱上的一点．(1)求证：；【分析】（1）根据，，利用线面垂直的判定与性质即可证得结论；【详解】（1）由直棱柱结构特征知：平面，又平面，，，，平面，平面，平面，.例18．如图甲，在四边形PBCD中，PD//BC，．现将△ABP沿AB折起得图乙，点M是PD的中点．证明：(1)；(2)PC⊥平面ABM．【分析】（1）如图，取AB的中点E，连接PE，CE，AC，由题意可证△PBA、△ABC是正三角形，则PE⊥AB、EC⊥AB．根据线面垂直的判定定理和性质即可证明；（2）如图，取PC的中点N，连接MN，BN，则MN//AB，即A，B，N，M四点共面，得BN⊥PC．由（1），结合线面垂直的判定定理即可证明.【详解】（1）如图，取AB的中点E，连接PE，CE，AC，∵AD＝BC且AD//BC，故四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD且AB//CD．又PB＝PA＝CD，∴PA＝PB＝AB，即△PBA是正三角形，∴PE⊥AB，在图甲中，，则，由，知△ABC是正三角形，故EC⊥AB．又，平面PEC，∴AB⊥平面PEC，又平面PEC，∴AB⊥PC．（2）如图，取PC的中点N，连接MN，BN，∵M是PD的中点，∴MN//CD．由（1）知AB∥CD，∴MN//AB，∴A，B，N，M四点共面．∵PB＝BC，∴BN⊥PC．由（1）AB⊥PC，又，平面ABNM，∴PC⊥平面ABNM，即PC⊥平面ABM．例19．如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且．现将沿翻折到，如图2．(1)证明：．(2)已知，求四棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据条件，证明平面，再由线面垂直的性质得到线线垂直即可；（2）根据条件，求出四棱锥的底面面积和高，再求出四棱锥的体积即可.【详解】（1）证明：在中，，∴，，∵，平面,平面,∴平面,又平面，∴.（2）作交于,∵平面，平面，∴，又,平面，平面，∴平面.在中，，，，，又为的中点，，，又，.四边形的面积,四棱锥的体积.例20．如图，在棱长为的正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC边上的中点，现以EF为折痕将点C旋转至点P的位置，使得为直二面角.(1)证明：；【分析】（1）在折叠前的正方形ABCD中，作出对角线AC，BD，由正方形性质知，又//，则于点H，则由直二面角可知面，故.又，则面，故命题得证；【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，连结AC交EF于H.因为，故可得，即又旋转不改变上述垂直关系，且平面，∴面，又∵面，所以考点四求直线与平面所成的夹角例21．如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法中不正确的是（

）A．平面B．C．直线MN与平面ABCD所成的角为60°D．异面直线MN与所成的角为45°【答案】C【分析】取棱中点，利用线面平行的判定推理判断A；利用线面垂直的性质推理判断B；求出线面角、线线角判断CD作答.【详解】在正方体中，取棱中点，连接，因为M，N分别为AC，的中点，则，因此四边形为平行四边形，则平面，平面，所以平面，A正确；因为平面，则，所以，B正确；显然平面，则是与平面所成的角，又，有，由于，所以直线MN与平面ABCD所成的角为，C错误；因为，，则是异面直线MN与所成的角，显然，D正确.故选：C22．如图，在正方体中，为线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】因为平面，所以直线与平面所成角为，其正弦值为，然后根据的范围即可求出答案.【详解】连接，因为平面，所以直线与平面所成角为，其正弦值为，，当时，，所以，则，所以直线与平面所成角正弦值的取值范围是.故选：A.例23．关于正方体有如下说法：①直线与所成的角为；

②直线与所成的角为；③直线与平面所成的角为；

④直线与平面ABCD所成的角为．其中正确命题的序号是_______．【答案】①④【分析】由与平行，结合等边三角形的性质判断①；由平行，结合等腰三角形的性质判断②；由平面，平面结合线面角的定义判断③④.【详解】连接，，因为与平行，所以是异面直线与所成的角，因为为等边三角形，所以直线与所成的角为，故①正确；连接交于点，取的中点为，连接，，因为为的中点，所以平行，则或其补角为直线与所成的角，易知，所以，即直线与所成的角为，故②错误；连接，直线交于点，连接，设正方体的棱长为，易知，由线面垂直的判定可知，平面，则为直线与平面所成的角，，，则，即，故③错误；平面，易知为直线与平面所成的角，由，则，故④正确.故答案为：①④.例24．如图，已知平面平面，，．(1)连接，求证：；(2)求与平面所成角的大小；【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）方法一：延长CB到E，使，连接EA、ED，不妨设，证明和，利用线面垂直的判定得到平面，再利用线面垂直的性质即可得到；方法二：连接AD，取AD中点M，连接MB，MC，利用等腰三角形三线合一，证明和，利用线面垂直的判定得到平面MBC，再利用线面垂直的性质即可得到；（2）寻找在平面内投影，即为直线与平面成角，求解即可.【详解】（1）证明：方法一：延长CB到E，使，连接EA、ED，不妨设，又因为，由余弦定理得，因为，所以，同理，，因为，所以平面，又因为平面，所以，即；方法二：连接AD，取AD中点M，连接MB，MC，因为，，，所以，所以，所以，又，所以，又因为，所以平面MBC，又因为平面MBC，所以.（2）解：由（1）知为二面角的平面角，，因为平面平面，所以，即，因为，所以平面，所以为在平面内的投影，于是为与平面所成角，因为，，所以，故AD与平面BDC所成角的大小.例25．如图①，在等腰梯形ABCD中，，将沿AC折起，使得，如图②．求直线BD与平面ADC所成的角；【答案】.【详解】等腰梯形ABCD中，，由平面几何知识易得，,,又，，平面ADC直线BD与平面ADC所成的角，即为，.直线BD与平面ADC所成的角为.一、单选题1．已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【分析】根据平行与垂直关系相关定理依次判断各个选项即可.【详解】对于A，若，，则可能平行、相交或异面，A错误；对于B，若，，则与可能平行或相交，B错误；对于C，由线面垂直性质可知：若，，则，C正确；对于D，若，，则或，D错误.故选：C.2．正方体中，直线与平面所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，作出直线与平面所成的角，再在三角形中求解作答.【详解】正方体中，连接，连接，如图，则有，而平面，平面，即有，又平面，因此平面，则是直线与平面所成的角，在中，，，则有，所以直线与平面所成的角为.故选：A3．在长方体中，若，，，分别是，的中点，则下列结论中错误的是（

）A． B．平面C．与所成的角为60° D．平面【答案】C【分析】根据线线垂直、线面垂直、线线角、线面平行等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】连接，依题意，，分别是，的中点，所以，在三角形中，是中位线，所以，由于平面，平面，所以平面，D选项正确.根据长方体的性质可知面，面，所以，故，A选项正确.由于四边形是正方形，所以，由于平面，所以平面，所以平面，B选项正确.根据长方体的性质可知，，所以四边形是平行四边形，故，所以是与所成的角（或其补角），在三角形中，，所以，C选项错误.故选：C.4．已知直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，则（）A．若l与m垂直，则l与α一定垂直B．若l与m所成的角为30°，则l与α所成的角也为30°C．lm是lα的充分不必要条件D．若l与α相交，则l为m一定是异面直线【答案】C【分析】对于A，根据线面垂直判定定理可判断；对于B，根据线面角的定义可判断；对于C，根据线面平行的判定定理及性质定理可判断；对于D，根据线面相交可判断.【详解】对于A，当l与m垂直时，由线面垂直判定定理可得l与α不一定垂直，A错误；对于B，由线面角的定义可知，l与α所成的角是直线l与平面α内所有直线所成角中最小的角，若l与m所成的角为30°，则l与α所成的角θ满足0°≤θ≤30°，B错误；对于C，若lm，m⊂α，l⊄α，则lα；若lα，因为m⊂α，则l与m平行或异面，所以lm是lα的充分不必要条件，C正确；对于D，若l与α相交，则l与m相交或异面，D错误．故选：C．二、多选题5．如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，则（

）A．平面 B．异面直线和所成的角为60°C．直线与平面所成的角为45° D．点与点到平面的距离相等【答案】BC【分析】利用线面垂直的性质定理、线面垂直的判定、异面直线所成角的求法、线面角的求法以及线面距离的定义等知识一一判断即可.【详解】A选项：如图1，连接，若平面，因为平面，则，又，，平面，所以平面，因为平面，所以，显然不成立，故A错误.B选项：因为，分别是，的中点，所以，如图2，连接，则为异面直线和所成的角或其补角.设正方体棱长为1，则，则为正三角形，所以，即异面直线和所成的角为60°，故B正确.C选项：如图3，连接交于点，因为平面，平面，故，又，，平面，故平面，又平面，故直线与平面所成的角为，故C正确.D选项：如图4，连接交于点，若点与点到平面的距离相等，则平面必过的中点，易知不是的中点，则平面不过的中点，所以点与点到平面的距离不相等，故D错误.故选：BC.6．如图，平面，正方形边长为1，E是CD的中点，F是AD上一点，当时，则（

）A．B．C．若PA=1，则异面直线PE与BC所成角的余弦值为D．若PA=1，则直线PE与平面所成角为【答案】BC【分析】连接，证明，计算判断AB；求出异面直线夹角余弦、线面角的正弦判断CD作答.【详解】连接，如图，因为平面，平面，则，而，平面，于是平面，又平面，因此，在正方形中，，，则，，A错误，B正确；取中点，连接，则，为异面直线PE与BC所成的角或其补角，而平面，平面，有，又，平面，则有平面，平面，于是，，因此，C正确；由平面知，是直线PE与平面所成的角，，显然，D错误.故选：BC三、填空题7．如图，在三棱柱中，为正三角形，平面，是的中点，则下列叙述正确的是_______．（填序号）①与是异面直线；②为异面直线，且；③平面；④平面．【答案】②【分析】对于①，由与均在平面内，即可判断；对于②，由异面直线的定义可判断与为异面直线，由题意，，从而；对于③，若面，则，与为正三角形矛盾，从而得出结论；对于④，若平面，可得平面或平面，与平面矛盾，从而得出结论．【详解】对于①，平面，平面，与共面，故①错误；对于②，平面，平面，，平面，由异面直线的定义可得，与为异面直线；为正三角形，是的中点，，又，，故②正确；对于③，若面，又平面，则，与为正三角形矛盾，故③错误；对于④，若平面，又，则平面或平面，与平面矛盾，故④错误．故答案为：②．8．如图，是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，①与是异面直线；②与平行；③与成角④与垂直，请写出正确结论的个数为__个．【答案】4【分析】画出该平面展开图合起来后的正方体后，逐项判断.【详解】解：该平面展开图合起来后的正方体，如图所示：由图形得与是异面直线，故①正确；与平行，故②正确；连接，则为等边三角形，所以与所成角为，因为，所以与成角，故③正确；对于④，连接，平面，平面，所以，又，面BCN，所以平面，平面，所以，故④正确.所以正确结论的个数是4个.故答案为：4四、解答题9．如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，点是的中点，点在边上移动.(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可；（2）等体积法求三棱锥的体积.【详解】（1）证明：底面平面，，在矩形中，因为，平面，平面，，又，点是的中点，，，且平面，平面，平面.（2）底面，点到平面的距离为，，.10．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC＝90°，D为BC中点．(1)求证：A1B∥平面ADC1；(2)求证：C1A⊥B1C；(3)求直线B1C1与平面A1B1C所成的角．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)30°【分析】（1）根据正方形的性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；（3）根据线面角的定义进行求解即可.【详解】（1）连接A1C交C1A与点O，连接DO，∵ACC1A1为正方形∴点O为A1C的中点，而D为BC中点∴BO∥A1B，而A1B⊄平面ADC1，BO⊂平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1；（2）由（1）可知C1A⊥A1C，因为∠BAC＝90°，所以，又因为侧面ABB1A1是正方形，所以，因为平面ACC1A1，所以AB⊥平面ACC1A1，而C1A⊂平面ACC1A1，则AB⊥C1A，而A1B1∥AB∴A1B1⊥C1A，而A1B1∩A1C＝A1，平面A1B1C，∴C1A⊥平面A1B1C，而B1C⊂平面A1B1C，∴C1A⊥B1C；（3）连接OB1，∵ACC1A1为正方形，∠BAC＝90°，∴AC1⊥A1C，AC1⊥A1B1，而平面A1B1C，∴AC1⊥平面A1B1C，∴∠C1B1O为直线B1C1与平面A1B1C所成的角，∵，∴∠C1B1O＝30°．11．如图，直三棱柱，.证明：【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理求解即可.【详解】因为直三棱柱，所以平面，并且平面所以，又因为，且，平面，所以平面，又因为平面，所以.12．《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马中，平面，为的中点.(1)求证：平面；(2)若，求证：.【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；（2）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明.【详解】（1）连接交于点，连接，∵分别为的中点，则，平面，平面，∴平面.（2）∵平面，平面，∴，又∵为矩形，则，且平面，∴平面，由平面，可得，若，且为的中点，则，平面，，则平面，平面，故.13．如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,底面ABCD,,E为线段PB的中点,F为线段BC的中点．(1)证明:平面PBC;(2)求点P到平面AEF的距离．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】(1)先根据底面ABCD,得到,再根据,利用线面垂直的判定定理证明平面PAB,即,再根据一次线面垂直的判定定理证明平面PBC;(2)先根据长度及垂直关系得到进而得到的面积,再计算出,根据等体积法即可求得点P到平面AEF的距离.【详解】（1）证明:因为底面ABCD,平面ABCD,所以．因为ABCD为正方形,所以,因为,平面PAB,平面PAB,所以平面PAB,因为平面PAB,所以,因为,E为线段PB的中点,所以,又因为,平面PBC,平面PBC,所以平面PBC.（2）由F是BC的中点．所以,因为底面ABCD,平面ABCD,所以,因为E为线段PB的中点,所以,由(1)知平面PBC,平面PBC,所以,所以,所以,因为,所以,由(1)知平面PAB,所以平面PAB,设点P到平面AEF的距离为h,则有,解得,所以点P到平面AEF的距离为．14．如图，已知四边形和四边形都是直角梯形，，，，，，．设分别为的中点．证明：.【答案】证明见解析【分析】根据直角梯形中的垂直关系，由线面垂直的