第四章 指数函数与对数函数（举一反三讲义培优篇）高一数学人教A版必修第一册（解析版）

2/30第四章指数函数与对数函数全章十三大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇）【人教A版】题型1题型1指数式的给条件求值问题1．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知a12−a−A．35 B．±35 C．215【答案】C【解题思路】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得.【解答过程】由a12−a−故a1故a−故a2故选：C.2．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）若2m=5，4n=3，则A．0.9 B．1.08 C．2 D．4【答案】B【解题思路】根据题意结合指数幂运算求解.【解答过程】因为2m=5，4n故选：B.3．（24-25高一上·江苏南京·期中）设a>0，若a−1a=5，则a【答案】3【解题思路】根据a+1a2,【解答过程】因为a+所以a+又a+1a故答案为：3.4．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知2a=4，求（2）已知a2+a−1=0，求【答案】（1）−22【解题思路】（1）由2a=4得（2）根据分数指数幂的运算性质求解即可.【解答过程】（1）由2a=4，得则4a（2）因为a2+a−1=0，则则a25．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知x−x(1)x2(2)x+【答案】(1)4(2)2【解题思路】（1）将原式平方后可得x2+x（2）结合（1）中的结果配方可得x1【解答过程】（1）因为x−x−1=2故x2+x−2+2=16故x2（2）由（1）可得x+x−1=4故x12+题型2题型2指数幂等式的证明1．（2025·广东珠海·模拟预测）已知a>0且a≠1，下列等式正确的是（

）A．a−2⋅aC．a6+a【答案】D【解题思路】ABC选，利用指数幂的运算法则判断，D选项，由分数指数幂的定义得到D正确.【解答过程】A选项，a>0且a≠1，故a−2B选项，a>0且a≠1，故a6C选项，a6D选项，a>0且a≠1，故a−故选：D.2．（24-25高一上·广西桂林·期末）设a>0，则下列等式恒成立的是（

）A．am+aC．amn=【答案】D【解题思路】A可举出反例，BCD由指数幂的运算法则判断即可.【解答过程】由指数幂运算法则可知：am⋅a当a=m=n=1时，am+a故选：D.3．（2025高三·全国·专题练习）设a,b,c都是正数，且3a=2【答案】证明见解析【解题思路】令3a=2b=6c=tt>0【解答过程】令3a=2b=6c很显然有t1a⋅4．（2025高一·全国·专题练习）已知6|m|3k2+2−m2【答案】证明见解析【解题思路】由6|m|3k2+2−m22+3【解答过程】证明：∵6|m|∴2|m|3k2+2−m两边平方可得：4m化为3k∴3k5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知2a⋅3【答案】证明见解析【解题思路】将题设中的等式化为2a−1⋅3【解答过程】证明：因为2a故2a−1所以2a−1所以2a−1故2a−1a−11−d故a−1d−1题型3题型3解指数不等式1．（25-26高一上·全国·课后作业）若2x2+1≤1A．−∞,−3 B．−3,1 C．−∞【答案】B【解题思路】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果．【解答过程】因2x2+1即x2+2x−3≤0，解得所以x的取值范围为−3,1．故选：B．2．（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数f(x)=a−x−2（a>0且a≠1）的图象经过第二、三、四象限，则不等式f(1−m)<f(A．(−2,1) B．(0,1)C．(−2,1] D．(−【答案】A【解题思路】判断函数f(x)是定义域R上的减函数，再将不等式化为1−m>m【解答过程】函数f(x)=a−x−2=(1则函数f(x)是定义域R上的减函数，不等式f(1−m)<f(m2−1)化为1−m>m2所以原不等式的解集为(−2,1).故选：A.3．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的不等式：a3x2−4x−5>a2x2【答案】(0,1)【解题思路】按照a>1和0<a<1分类讨论，利用指数函数单调性将不等式转化为二次不等式的求解，即可得解.【解答过程】当a>1时，y=ax单调递增，故a3即x2−x−6>0，解得x>3或当0<a<1时，y=ax单调递减，故a3即x2−x−6<0，解得−2<x<3，符合题意，故a的取值范围是故答案为：(0,1).4．（24-25高一上·山东淄博·期中）已知m>0，a>0且a≠1，函数fx=m(1)求m和a的值；(2)求fx【答案】(1)m=5，a=1(2)(−1,3)【解题思路】（1）由指数函数定义求得m，再由已知函数值求得a；（2）由函数的单调性解不等式．【解答过程】（1）因为函数fx所以m2−4m−4=1，又m>0，故解得m=5，则又f(2)=a2=（2）f(x)=(12不等式fx2−2x所以x2−2x<3，解得所以不等式的解集为(−1,3)．5．（24-25高一上·全国·周测）已知指数函数f(x)=ax（a>0且a≠1）的图象过点(1)求a的值；(2)若f(m)=2，f(n)=92，求(3)求不等式fx【答案】(1)a=(2)m+n=−2(3)x【解题思路】（1）将点(−2,9)代入解析式中即可得解；（2）利用（1）中的解析式以及指数幂的运算即可求解；（3）利用指数函数的单调性可求解.【解答过程】（1）∵指数函数f(x)=ax的图象过点∴f(−2)=a−2=9，∴a=±13（2）由（1）知，f(x)=1∵f(m)=2，f(n)=92，∴1∴13m（3）不等式fx2−5x−6∵f(x)=13x∴x2−5x−6<0，即x−6∴不等式的解集为x−1<x<6题型4题型4指数型函数的图象问题1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数y=ax（a>0，且a≠1）与函数y=1bx（b>0A．a>b>1 B．a>1>b>0 C．b>1>a>0 D．b>a>1【答案】A【解题思路】由指数函数的图象与性质可得a>1，b>1.再根据函数y=1bx（b>0，且b≠1）与函数y=bx【解答过程】由图得a>1，0<1b<1因为函数y=1bx（b>0，且b≠1）的图象与函数y=bx（b>0由图可知：a1>b故选：A.2．（24-25高一上·江西吉安·期末）函数fx=eA．

B．

C．

D．

【答案】A【解题思路】根据函数图象的奇偶性和特殊位置的函数值排除、求解即可.【解答过程】由题意可知：函数fx的定义域为x且f−x=e又因为f2当x→+∞时，f故选：A.3．（24-25高一上·河南驻马店·期末）函数fx=xA．

B．

C．

D．

【答案】B【解题思路】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断当x>1时，f(x)的取值情况，从而可得答案.【解答过程】f(x)的定义域为R，因为f−x所以f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，所以排除AC，因为当x>1时，fx所以排除D，故选：B.4．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数fx(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出fx的大致图象，并写出f(2)若函数gx=fx+a−2的图象与【答案】(1)作图见解析，答案见解析(2)0,2【解题思路】（1）利用指数函数的图象与函数图象的变换即可作出fx的图象，再数形结合即可得到f（2）将问题转化为fx与y=2−a【解答过程】（1）因为y=2x−2而fx=2x−2再将x轴下方的图象沿着x轴向上翻折而得，所以fx所以fx的单调递减区间为−∞,1，单调递增区间为1,+（2）因为函数gx=fx所以fx+a−2=0有两个零点，即fx结合图象可知，0<2−a<2，解得0<a<2，即实数a的取值范围为0,2.5．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数f(x)是定义域为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2(1)求f−(2)写出f(x)的解析式；(3)画出函数f(x)的图像.【答案】(1)−(2)f(x)=(3)作图见解析【解题思路】(1)根据函数的奇偶性，进行求解即可；(2)利用函数的奇偶性，即可得解；(3)根据解析式，画出图象.【解答过程】（1）因为f(x)是定义域为R上的奇函数，则f−（2）当x<0时，−x>0，则f(x)=−f−x则f(x)=2（3）作出图形如下图所示：题型5题型5指数型复合函数及其应用1．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数fx=2x2A．在−∞,1B．在−∞,1C．在−∞,1D．在−∞,1【答案】B【解题思路】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可.【解答过程】令u(x)=x则fx视为由y=2u(x)由二次函数性质得u(x)在−∞,1上单调递减，在由指数函数性质得y在R上单调递增，由复合函数性质得fx在−而u(x)∈0,+∞，故故选：B.2．（24-25高一上·福建莆田·期中）若定义在R上的函数fx=aex+e−xA．13,1 C．−13,【答案】A【解题思路】讨论a≤0和a>0的情况，根据fxmin=2可求得a值，进而得到f【解答过程】当a≤0时，fx在R上单调递减，此时f当a>0时，fx=ae∴fxmin=2a=2∴f−x=e−x+当x≥0时，令t=ex，则∵y=t+1t在1,+∞上单调递增，由复合函数单调性知：f∴fx在−由fx>f2x−1得：x>2x−1∴不等式fx>f2x−1故选：A.3．（24-25高一上·辽宁·期末）已知函数fx=14x−4x−x+5【答案】−4,3【解题思路】令gx=14x【解答过程】令gx=14x且g−x所以gx又y=14x，y=−4x，y=−x均在0,+则gx在−∞,0上单调递减，又gx为连续函数，所以又fx所以不等式fm−12+fm即gm−12+gm所以m2<12−m，即m−3m+4所以m的取值范围为−4,3.故答案为：−4,3.4．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数fx(1)试确定fx(2)求证：函数fx在R(3)若对任意的t∈R，不等式ft2【答案】(1)奇函数(2)证明见解析(3)−【解题思路】（1）由于函数的定义域为R，关于原点对称，且化简求得f−x=−fx（2）化简函数fx的解析式为22x+1−1，设x1<（3）由于fx为奇函数，不等式即ft2−2t<fk−2t2恒成立，再由函数fx在R【解答过程】（1）函数fx=1−且有f−x故函数fx（2）证明：∵fx设x1<x可得fx故函数fx在R（3）∵对任意的t∈R，不等式ft2∴ft由函数fx在R可得t2即3t∴Δ=4+12k<0，解得：故k的取值范围为−∞5．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知定义域为R的函数fx(1)求b的值；(2)判断函数fx在R(3)若∃t∈0,6，使fk−t【答案】(1)b=1(2)减函数，证明见解析(3)−【解题思路】（1）根据奇函数的定义求解；（2）由复合函数的单调性判断，并用定义证明；（3）由奇偶性变形，由单调性化简，然后分离参数转化求函数最值．【解答过程】（1）因为函数fx是定义在R上的奇函数，所以f即1−13xb+1所以b=1；（2）函数fx在R证明如下：由（1）可得，函数fx任取x1,xfx因为x1<x又1+3x1>0，即fx1>fx2（3）因为存在t∈0,6，使f又因为函数fx是定义在R所以不等式可转化为fk−因为函数fx在R上是减函数，故k−t2因为−t因为t∈0,6，所以−t2故k的取值范围为：−∞题型6题型6带附加条件的指、对数问题1．（24-25高二下·山东日照·期末）若logam=2，b3=m，则A．16 B．C．56 D．【答案】C【解题思路】先根据指数式和对数式互换得出logb【解答过程】由b3=m可得：则log===5故选：C.2．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知a=log52,2bA．1a+b B．1b+a C．【答案】A【解题思路】先利用对数的换底公式得1a=log【解答过程】由题意有a=log52=所以log2故选：A.3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知a=log327−7log【答案】2【解题思路】先应用对数运算律对a,b,c化简，再求解．【解答过程】依题意，a=1c=322故答案为：234．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）计算：(1)lg25+(2)已知log23=a,3b=7【答案】(1)3(2)ab+3【解题思路】（1）利用对数法则计算出答案；（2）指数式化为对数式，换底公式得到1a【解答过程】（1）原式=2=2+lg（2）由3b=7，得b=log37log1256=log3565．（24-25高一上·河南开封·期末）求满足下列条件的各式的值：(1)若10m=4，10n(2)若xlog32=1【答案】(1)2(2)9【解题思路】（1）根据给定条件，利用指数运算计算得解.（2）利用对数换底公式及指数式与对数式的互化关系计算得解.【解答过程】（1）由10m=4，10n所以m+2n=2.（2）由xlog32=1所以4x题型7题型7运用换底公式证明恒等式1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知：2x=3【答案】证明见详解【解题思路】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明.【解答过程】设2x=3则x=log2a,y=所以2x2．（24-25高一·上海·课堂例题）设a,b,c,d均为正数，且a,c均不为1.求证：loga【答案】证明见解析【解题思路】运用换底公式证明即可.【解答过程】由题意，根据换底公式，loga3．（24-25高一上·全国·课后作业）设xa=yb=zc，其中x，y，z均大于0【答案】证明见解析【解题思路】令xa=yb=zc=k，k>0且k≠1，即可表示出【解答过程】依题意a、b、c均不为0，令xa=yb=则a=logxk，b=因为1a+1即logk所以logkxy=4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1，(1)求证：loga(2)设a1，a2，⋯，ai为正实数且ai≠1【答案】(1)证明见解析；(2)推广：loga【解题思路】（1）利用换底公式通过计算证明；（2）类比推理进行推广，再利用换底公式通过计算证明．【解答过程】（1）loga（2）推广：log证明：loga5．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式logaN=b⇔a（2）利用（1）中的换底公式求值：log2（3）利用（1）中的换底公式证明：loga【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析；【解题思路】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可；（2）利用换底公式证明即可；（3）利用换底公式证明即可.【解答过程】解答：（1）证明：设ab=N，则logm又b=logaN（2）解：log2（3）证明：loga所以loga题型8题型8指对幂比较大小1．（24-25高一上·云南·期末）设a=50.3,b=15A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】D【解题思路】根据指对数的运算及其性质判断大小关系.【解答过程】由b=15−0.4故选：D.2．（25-26高一上·湖南·阶段练习）若a=log0.3e，b=logπA．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a【答案】D【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性分别得到a,b,c的范围从而判断得到结果.【解答过程】a=log0.3e<log0.31=0故a<0，0<b<1，c>1，所以c>b>a.故选：D.3．（24-25高一上·全国·课前预习）已知a=log0.92025，b=20240.1，c=log20252024，比较a，【答案】a<c<b【解题思路】根据对数函数、指数函数的单调性，利用“1”、“0”比较大小.【解答过程】由a=log0.92025<log0.9所以a<c<b，故答案为：a<c<b.4．（24-25高一上·全国·课前预习）比较下列各组数的大小．(1)log2π与(2)log20.3与(3)log0.76，0.76【答案】(1)log(2)log(3)6【解题思路】（1）根据y=log（2）利用对数函数单调性和中间值比较出log2（3）利用指数函数和对数函数单调性和中间值比较出大小【解答过程】（1）因为函数y=log2x在0,+∞上是增函数，又（2）由于log20.3<log（3）因为60.7>6所以60.75．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数f(x)=(1)判断并证明函数f(x)在区间(0,+∞(2)已知a=f20.5,b=flog25,c=f【答案】(1)增函数，证明见解析(2)c<a<b，理由见解析【解题思路】（1）根据函数单调性的定义判断和证明即可；（2）先比较20.5,log25,0.25三个数的大小，再利用函数f【解答过程】（1）函数f(x)=x任取x1,x则f(x1)−f(因为x1,x所以x22+1>0,x所以f(x1)−f(所以函数fx在区间0,+（2）因为20.5>20=1所以0<0.2由（1）可知函数fx在区间0,+所以f0.25<f题型9题型9解对数不等式1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数fx=log4(x−2)−A．72,4 B．(3,4) C．72【答案】A【解题思路】根据已知函数值及对数的运算性质求得a=4，不等式化为log4【解答过程】由题意得，f3=log所以fx所以f2x−5所以log4(2x−7)−log从而2x−7>09−2x>02x−7≤9−2x，解得故不等式f2x−5≤0的解集为故选：A.2．（24-25高一下·陕西·阶段练习）已知fx是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx=log2A．−2,0∪2,+∞C．−∞,−2∪【答案】A【解题思路】根据函数的奇偶性结合给定区间上的函数解析式，确定函数的单调性，借助于特殊值替代，利用单调性即可求解抽象不等式.【解答过程】因为当x>0时，fx=log2x+x−3，则f则由fx>0可得f(x)>f(2)，利用函数的单调性可得又fx是定义在R上的奇函数，故f(0)=0当x<0时，−x>0，则f−x=log2(−x)−x−3函数fx在(−∞,0)则由fx>0可得f(x)>f(−2)，利用单调性可得综上可得，不等式fx>0的解集是故选：A.3．（24-25高一下·上海·阶段练习）不等式log2x2−x<1【答案】−1,0【解题思路】根据题意，由对数函数的单调性代入计算，即可得到结果.【解答过程】不等式可转化为log2由对数函数单调性可得0<x解得x<0或所以不等式的解集为−1,0∪故答案为：−1,0∪4．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知f(x)=logax(a>0(1)若a=2，解关于x的方程f8(2)若f(2a−1)>f(a+2)，求a的取值范围．【答案】(1)x=16或x=1(2)1【解题思路】（1）利用对数运算将方程f8xf(2x)=−5（2）根据函数单调性的情况，分情况讨论求解实数a的取值范围.【解答过程】（1）a=2时，f(x)=logf8方程f8xf(2x)=−5，即3−所以log2x=4或log2x=−2，解得（2）f(2a−1)>f(a+2)，①当0<a<1时，函数f(x)=logax故0<2a−1<a+2，解得：12<a<3，此时②当a>1时，函数f(x)=logax故0<a+2<2a−1，解得：a>3，综上可得a的取值范围为125．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数f(x)=alog2(x+2)+b(1)求实数a,b的值；(2)求不等式f(x)>0的解集；【答案】(1)a=2,b=−2(2)(0,+【解题思路】（1）利用待定系数法解方程计算即可；（2）利用对数函数的性质解不等式即可.【解答过程】（1）∵函数f(x)=alog∴a+b=0,又∵f(2)=2,∴2a+b=2,即a+b=02a+b=2，解得a=2所以a的值为2，b的值为﹣2．（2）由（1）可知，f(x)=2log所以不等式为2log2(x+2)−2>0∴x+2>2,∴x>0,即不等式的解集为(0,+题型10题型10对数型复合函数及其应用1．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数f(x)=lnx−2−A．f(x)的定义域为R B．f(x)在区间(−∞C．f(x)的图象关于点(1,0)对称 D．f(【答案】C【解题思路】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据f2−x【解答过程】对于A，函数f(x)有意义，则x−2>0x>0，解得x≠2因此函数f(x)的定义域为(−∞对于B，当x∈(−∞,0)时，函数y=1+−2x在区间且y=1+−2x>0，又y=因此f(x)在区间(−∞对于C，f(2−x)+f(x)=ln因此函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，故C正确；对于D，32=log即log213故选：C.2．（24-25高一上·山西·期末）已知函数fx=2x−1−log12x2−2x+4，设a=flog23A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．b>c>a【答案】A【解题思路】分析函数fx的对称性及其在区间1,+∞上的单调性，即可得出a、b、【解答过程】对任意的x∈R，x2−2x+4=x−12+3>0f2−x所以，函数fx的图象关于直线x=1当x≥1时，fx函数y=2x−1在1,+因为内层函数u=x2−2x+4在1,+所以，函数y=log12所以，函数fx=2x−1因为log23−1=loglog45−1=log因为lg3>lg2>0，lg所以，log243故log2所以，flog23故选：A.3．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知fx=xlnx2+2+x−12x【答案】−3,2【解题思路】先根据偶函数定义得fx是偶函数，再根据复合函数的单调性可知，fx在0,+∞上单调递增，从而利用单调性将不等式转化为a+2xa−4x<0，根据x∈【解答过程】对于函数fx=xln所以x2+2+x>0又fx且f−x所以fx=xln由复合函数的单调性可知，fx在0,+所以fx−a<f3x等价于x−a<3x当x∈−∞,−1时，4x<a<−2x当x∈32,+∞时，综上，−3≤a≤2.故答案为：−3,2.4．（24-25高一上·河北唐山·期末）已知函数fx=log(1)求fx(2)判断fx(3)若f31010=−1，求满足【答案】(1)−1,1(2)偶函数，理由见解析(3)x−【解题思路】（1）根据对数的真数大于零，可得出关于x的不等式组，由此可解得函数fx（2）利用函数fx（3）由f31010=−1求出a的值，可得出函数fx的解析式，分析函数f【解答过程】（1）对于函数fx=log由x+1>01−x>0解得−1<x<1，故函数fx的定义域为（2）函数fx函数fx的定义域为−1,1又f−x=log（3）依题意fx若f31010=−1，则设y=lgt，因为t=1−x2在区间−1,0上单调递增，在区间又y=lg所以fx在区间−1,0上单调递增，在区间0,1因为fx>f13，所以所以x的取值集合为x−5．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数fx(1)判断fx(2)判断fx(3)任意x∈−25【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)fx在−1,1(3)m=1或m=2【解题思路】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可；（2）利用单调性的定义任取x1,x2满足（3）由fx在x∈−2【解答过程】（1）函数fxfx=log21−x因为任意x∈D，都有−x∈D，又f−x=log（2）fx在−1,1法一：任取x1,x因为f＝log2因为1−x1>1−x2所以log21−x依据同向不等式的可加性，所以log2即fx1>fx2法二：任取x1，x2满足所以fx因为1−x11+所以1−x11+所以fx1−fx2>0，即（3）由第（2）问知fx在−所以log2因为log2所以fx所以2≤3m−m2，即得m2因为m∈Z，所以m=1或m=2题型11题型11指数函数与对数函数的综合应用1．（24-25高一下·甘肃平凉·期末）已知函数fx为定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=2xA．−∞,−2∪C．−∞,−2∪【答案】A【解题思路】已知x>0时fx=2x+log3x+1−5，根据指数和对数函数的性质可知fx在0,+∞上单调递增，根据零点x=2讨论fx的范围，得出当0<x<2时，【解答过程】当x>0时，fx=2x+又f2所以当0<x<2时，fx<0，当x>2时，又fx为定义在R所以当x<−2时，fx=−f−x<0，当−2<x<0时，fx=−f−x综上，不等式fx<0的解集为故选：A.2．（24-25高一下·辽宁·开学考试）已知函数f(x)=ln(1+x2+x)+exA．{m|m≤0或m≥16C．{m|m≤−8或m≥2} D．m∣−8≤m≤2【答案】C【解题思路】根据给定条件，探讨函数f(x)的及单调性，再利用此性质求解不等式.【解答过程】依题意，1+x2+x>|x|+x≥0，函数f(x)f(x)+f(−x)=ln(函数f(x)是奇函数，函数u=1+x2则函数y=ln(1+x2+x)在[0,+于是函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，因此函数f(x)在不等式f(m则m2+3m≥16−3m，即m2+6m−16≥0，解得所以实数m的取值范围为{m|m≤−8或m≥2}.故选：C.3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数fx=m⋅2x+2,gx=log3【答案】−【解题思路】利用单调函数来求值域，再利用等式恒成立来研究值域的包含关系，从而可求参数范围.【解答过程】由gx=log33x+12再由fx当m>0时，可知fx在区间0,1上单调递增，所以此时函数值域为f因为∀x1∈所以有m+2,2m+2⊆即m+2≥12m+2≤3，解得−1≤m≤由于此时m>0，所以有0<m≤1当m<0时，可知fx在区间0,1上单调递减，所以此时函数值域为f因为∀x1∈所以有2m+2,m+2⊆即2m+2≥1m+2≤3，解得−由于此时m<0，所以有−1当m=0时，可知fx因为2∈1,3，所以对∀x1即m=0，满足题意，综上所述可得：m的取值范围是−1故答案为：−14．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数fx(1)求实数a的值；(2)若fx+1>f3−2x(3)设函数gx=log3x3⋅log3【答案】(1)−1(2)−1,(3)9【解题思路】（1）根据奇函数的定义即可求解；（2）根据fx（3）先求出fx的值域，利用换元法得到g【解答过程】（1）函数fx=3由fx是奇函数，得fx+f整理得a+13x+3−x所以fx满足fx+f所以a=−1.（2）由（1）知fx=3显然fx在−∞,0且当x∈−∞,0时，3x∈0,1，同理可得当x∈0,+∞时，若fx+1①x+1>03−2x>0x+1<3−2x，解得②x+1>03−2x<0，解得x>③x+1<03−2x<0，解得x<−1综上，实数x的取值范围是−1,（3）由（2）知，fx当0<x≤1时，0<3x−1≤2所以fx=1+23x又gx=log令log3x=t，则y=t所以当t=32时，ymin=−1所以函数gx在3,27上值域为−因为对任意的x1∈3,27，总存在x则−14+m,2+m⊆2,+所以实数m的取值范围是945．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知fx=−2x(1)求a,b的值及gx(2)若0<g1−2x−2(3)若Fx=lg【答案】(1)a=2,b=1，−1,+(2)x(3)e【解题思路】（1）利用f(0)=0,f(−1)=−f(1)求得a=2，b=1，再用奇偶性定义检验，代入即可求出函数gx（2）利用（1）已得gx=lg（3）将函数Fx的解析式化简整理成F(x)=−(2x+1+12x+1)+32，令t=2x【解答过程】（1）∵fx为R上的奇函数，故f0=又∵f1=−f−1当a=2，b=1时，fx由f−x=−此时gx=lgx+1+故gx的定义域为−1,+（2）由0<g1−2x−21−2x<1即−4<x<12，故x的取值范围是（3）F=由Fx的解析式可知x+1>0，故x>−1令t=2x+1，故t>不妨设32<t1故mt1−mt2故mt∴Fx故−23≤即m的取值范围是[e题型12题型12函数零点（方程根）个数问题1．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数fx=lg−x+1,x<0A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解题思路】先利用零点和根的关系得到fx=2或【解答过程】函数y=f即方程fx=1和fx由图可得方程fx=1和fx故选：C．2．（24-25高一上·陕西渭南·期末）已知函数f(x)=ex−2,x>0A．函数y=fxB．若函数y=fx−tC．若关于x的方程fx=t有四个不等实根xD．若关于x的方程f2x【答案】D【解题思路】分析函数f(x)的性质，作出函数图象，再结合图象与性质逐项判断即得.【解答过程】函数y=e|x−2|的图象关于直线x=2对称，函数y=−x当x≥2时，f(x)=ex−2单调递增，当0<x<2时，当x<−1时，f(x)=−x2−2x+1单调递增，当−1≤x≤0函数y=fx−x的零点，即函数y=f(x)的图象与直线在同一坐标系内作出函数y=f(x)的图象与直线y=x，如图，

观察图象知，函数y=f(x)的图象与直线y=x有3个公共点，因此函数y=fx函数y=fx−t的零点，即方程fx=t的根，亦即函数在同一坐标系内作出函数y=f(x)的图象与直线y=t，如图，观察图象知，当1<t<2时，函数y=f(x)的图象与直线y=t有4个公共点，因此函数y=fx−t有四个零点，则关于x的方程fx=t有四个不等实根x1显然有x1+x令f(x)=m，由选项B知，当且仅当m∈(1,2)时，方程f(x)=m有4个不等实根，要关于x的方程f2则当且仅当方程m2−3m+α=0在(1,2)上有2个不相等的实数根，令这两个实根为m1且m1+m2=3由m2∈1,2，得α∈(2,94所以α的取值范围是α∈(2,9故选：D.3．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知f(x)=log2x,x>014x2+x+2,x≤0，方程f(x)=a有四个不同根x【答案】5【解题思路】画出函数fx的图象，问题转化为函数fx的图象与直线【解答过程】函数fx与直线y=a因为方程f(x)=a有四个不同根x1所以函数fx的图象与直线y=a由图可知：1<a≤2，因为二次函数y=14x所以x1由fx3=f因为0<x所以由log⇒log因为1<a≤2，所以1<−log于是x4由对勾函数的单调性可知函数gx3=所以有g1所以x4−x故答案为：524．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数f(x)=x+(1)判断并用定义证明f(x)在(−∞(2)若函数F(x)=f(x)2−4af(x)+3【答案】(1)f(x)在(−∞(2)8【解题思路】（1）根据函数的单调性定义即可证明；（2）令F(x)=f(x)2−4af(x)+3a2=f(x)−a【解答过程】（1）f(x)在(−∞证明如下：当x<3时，f(x)=1x−3=则fx因为x1<x2<3所以fx1−f所以f(x)在(−∞（2）f(x)的图象如图所示.因为函数F(x)=f(x)所以方程F(x)=f(x)即f(x)=a或f(x)=3a共有4个解.由图知a>0，且0<a<88<3a≤253或a=8解得83<a≤259或即实数a的取值范围为835．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数fx=x+1x−2,x>0,12x(1)求k的取值范围；(2)求x3【答案】(1)0,1(2)1【解题思路】（1）结合函数图像，即可求出k的取值范围；（2）x1,x2是方程12x−2=k的两根，则有12x1【解答过程】（1）由fx=x+1x如图所示，结合图像可知k的取值范围是0,1．（2）由x1<x2<x3故12x1又x3,x4是方程所以x3x4题型13题型13指数、对数函数模型的应用1．（25-26高一上·全国·单元测试）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：St=S0eKt描述血氧饱和度St随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中S0为初始血氧饱和度，（精确到0.1，参考数据：ln2≈0.69,A．0.5小时 B．0.6小时 C．0.7小时 D．0.9小时【答案】A【解题思路】依据题给条件列出关于时间的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.【解答过程】设使得血氧饱和度达到90%，给氧时间至少还需要（t由题意可得60%即6e两边同时取自然对数并整理，得K=lnKt=ln则t=ln则给氧时间至少还需要0.5小时．故选：A.2．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即C=Wlog21+SN其中C是信道容量，单位bps；W为信道带宽，单位Hz；SN代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由1