专题01 集合大题（举一反三专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册（解析版）

2/30专题01集合大题（举一反三专项训练）【人教A版（2019）】姓名：___________班级：___________考号：___________题型一题型一元素与集合的关系1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合A=x|a(1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值；(2)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围；(3)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围．【答案】(1)a=0或a=1(2){a|a=0或a≥1}．(3){a|a<1且a≠0}．【解题思路】（1）由a=0，a≠0两种情况讨论即可；（2）由（1），再结合A中没有元素讨论即可；（3）由Δ=4−4a>0【解答过程】（1）当a=0时，原方程变为2x+1=0，此时x=−1当a≠0时，原方程ax故当Δ=4−4a=0，即a=1时，原方程的解为x=−1综上，当a=0或a=1时，集合A中只有一个元素．（2）集合A中至多有一个元素，即集合A中只有一个元素或没有元素．当集合A中只有一个元素时，由（1）可知，a=0或a=1．当A中没有元素时，Δ=4−4a<0，且a≠0，即a>1综上，当集合A中至多有一个元素时，实数a的取值范围是{a|a=0或a≥1}．（3）由题意得a≠0，且Δ=4−4a>0所以a<1且a≠0，故实数a的取值范围是{a|a<1且a≠0}．2．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合A=x(1)若1∈A，求a的值；(2)若A中只有一个元素，求a的取值范围；(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．【答案】(1)a=−3(2)a=0或a=1时，(3)a|a=0或a≥1【解题思路】（1）将x=1代入方程中即可求解，（2）（3）将问题转化为：关于x的方程ax2+2x+1=0【解答过程】（1）由于1∈A，所以x=1是ax2+2x+1=0的实数根，故（2）当a=0时，原方程变为2x+1=0，此时x=−1当a≠0时，方程ax2+2x+1=0为一元二次方程，Δ=4−4a=0，即故当a=0或a=1时，原方程只有一个解，此时A只有一个元素．（3）若A中最多有一个元素，则A中可能无任何元素，或者只有一个元素，由（1）知当a=0时只有一个元素，当a≠0时，方程ax2+2x+2=0为一元二次方程，Δ=4−4a<0，即a>1时，Δ=0，即a=1时，方程有两个相等的根，AA中最多有一个元素，a|a=0或a≥1.3．（24-25高一上·北京顺义·阶段练习）已知A=x|x=3k,k∈Z，B=(1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由；(2)判断6m−2m∈Z是否在集合B(3)若a∈A，b∈B，判断a+b是否属于集合B，并说明理由．【答案】(1)3在集合A中，5不在集合A中，理由见解析(2)6m−2m∈Z在集合B(3)a+b属于集合B，理由见解析【解题思路】（1）根据集合A中元素的特征判断求解；（2）根据集合B中元素的特征判断求解；（3）设a=3p,p∈Z，b=3q+1,q∈Z，进而根据集合B中元素的特征判断求解.【解答过程】（1）∵3=3×1，∴3在集合A中，令3k=5，则k=53∉Z（2）6m−2=32m−1+1，且2m−1∈Z，故6m−2m∈Z（3）设a=3p,p∈Z，b=3q+1,q∈Z，则a+b=3p+q所以a+b属于集合B.4．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设数集A由实数构成，且满足：若x∈A(x≠1且x≠0)，则11−x(1)若3∈A，试证明A中还有另外两个元素；(2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由；(3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A（提示：6x【答案】(1)证明见解析；(2)不是，理由见解析；(3)A=【解题思路】（1）根据集合A的性质代入3计算可得集合A中还含有−1（2）根据集合中元素的互异性，易证明集合A中至少含有三个元素；（3）利用（2）中的结论可知集合A中的元素个数需为3的倍数，再由元素个数不超过8个以及所有元素的积可确定A中的元素个数必为6个，再由所有元素的和为143【解答过程】（1）证明：根据题意若3∈A，则11−3若−12∈A若23∈A，则因此可得集合A=3,−即可知集合A中除了含有3之外，还含有−1（2）由x∈A(x≠1且x≠0)，可得11−x由11−x∈A可得由1−1x∈A可得x∈A，且x≠所以x≠1即可得集合A中至少含有3个元素，所以集合A不可能为只含有两个元素的集合.（3）由（2）可知，若x∈A，则x,1易知集合A中的元素个数需为3的倍数，若A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，由x⋅11−x⋅1−1因此6个元素的积必为1，不妨取x2=1，解得x=−1或可知−1,1又所有元素的和为143，不妨设−1+根据提供解析式可解得m=−12或m=3或所以A=−1,5．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知A是满足下列条件的集合：①0∈A，1∈A；②若x,y∈A，则x−y∈A；③若x∈A且x≠0，则1x(1)判断2∈A，3∈A是否正确，并说明理由；(2)证明：若x∈A，x≠0且x≠1，则1x(3)证明：若x,y∈A，则xy∈A.【答案】(1)正确，理由见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析；【解题思路】（1）根据0∈A，1∈A，利用条件②可依次推出−1∈A，2∈A，3∈A；（2）由x∈A，1∈A可知x−1∈A，再由条件③可知1x∈A，（3）由x,y∈A并结合（2）中的结论可得x2∈A,y2∈A，再依次证得−x∈A，x+y【解答过程】（1）2∈A，3∈A正确，理由如下：因为0∈A，1∈A，由条件②可知0−1=−1∈A，由1∈A，−1∈A，可得1−−1由2∈A，−1∈A，可得2−−1因此2∈A，3∈A的说法正确；（2）因为x∈A，x≠0且x≠1，又1∈A，可得x−1∈A；结合条件③可知1x∈A，再由条件②可知1x−1即1x（3）由（2）中1xx−1∈A又由条件②知xx−1当x=0或x=1时，易知02即可得当x∈A时，x2∈A，同理可得又当x∈A时，0∈A，则−x=0−x∈A，则−x则由x∈A,y∈A可知x+y=x−−y∈A，则所以x+y2−x因此−12xy∈A，所以1即若x,y∈A，则xy∈A得证.6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合A的元素为实数，满足①a≠0且a≠1；②若a∈A，则1+a1−a(1)若a=2，求A；(2)集合A有没有可能是单元素集?(3)若a∈A，证明：a−1a+1【答案】(1){−3,−1(2)没有可能；(3)证明见解析.【解题思路】（1）利用定义依次计算即得.（2）假定是，结合定义计算导出矛盾即可.（3）利用给定的定义计算推理即得.【解答过程】（1）当a=2时，即2∈A，则1+a1−a=1+21+(−12)1−(−1（2）假设集合A是单元素集，由a∈A，则1+a1−a∈A，得a=1+a所以集合A不可能是单元素集.（3）由a∈A，得a≠0且a≠1，1+a1−a∈A，于是1−1a1+题型二题型二集合间的基本关系7．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合A=x∈R|(1)若集合B有且仅有两个子集，求实数a的取值范围；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．【答案】(1){−1}．(2){a|a≤−1或a=1}．【解题思路】（1）由集合B有且仅有两个子集，所以集合B只有一个元素，结合Δ=0，求得a（2）先求得A={−4,0}，根据B⊆A，所以集合B可能是∅，{0}，{−4}，{0,−4}，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解.【解答过程】（1）解：由集合B=x∈因为集合B有且仅有两个子集，所以集合B只有一个元素，故Δ=4(a+1)2−4a所以实数a的取值范围是{−1}．（2）解：由x2+4x=0，解得x=0或x=−4，所以因为B⊆A，所以集合B可能是∅，{0}，{−4}，{0,−4}；当B=∅时，即方程x2则Δ=4(a+1)2−4a当B={0}时，即方程x2Δ=4a+12当B={−4}时，即方程x2+2(a+1)x+a则Δ=4当B={−4,0}时，方程x2+2(a+1)x+a2−1=0则Δ=4a+12综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤−1或a=1}．8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集U=R，集合M=x∈Rx(1)若a=5，存在集合P，使得M⫋P⫋N，求出这样的集合P．(2)是否存在集合M，N，满足M⊆N？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)−4，1，3，−4,1，−4,3，1,3．(2)存在，{aa=3或a>4}【解题思路】（1）化简M,N，再结合M⫋P⫋N逐个列举即可；（2）由M=∅和M≠∅两类情况讨论求解.【解答过程】（1）当a=5时，M=x∈N=x∈又因为M⫋P⫋N，所以这样的集合P共有6个：−4，1，3，−4,1，−4,3，1,3．（2）当M=∅，即−42−4a<0，a>4时，当M≠∅时，若x2−4x+a=0有两个相等的实数根，即−42此时M=x∈若x2又M⊆N，结合根与系数的关系可得两根x1+x2=4综上，实数a的取值范围为{aa=3或a>4}9．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合A=xx2(1)若B⊆A，求实数a的取值范围；(2)若A⊆B，求实数a的取值范围【答案】(1){a|a≤−1或a=1}(2)a=1【解题思路】（1）由B⊆A，对集合B进行分类讨论：①若B=∅，②若B为{0}，{−4}，③若B=A=−4,0，由此求得a（2）先化简集合A，B，再由A⊆B，能求得a的值．【解答过程】（1）集合A={x|x2B⊆A，①若B=∅，则Δ则a<−1；②若B={0}或{−4}，则Δ解得：a=−1，将a=−1代入方程x2+2(a+1)x+a2−1=0得：x③若B=A={−4,0}，则Δ=8a+8>0，即即x2+2(a+1)x+a则有a2−1=0且则a=1综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤−1或a=1}．（2）∵A⊆B，∴B=A={0,−4}，则Δ=8a+8>0，即即0和−4是方程x2∴0−4=−2(a+1)=−40×(−4)=解得：a=1或a=−1（舍去）故a=1．10．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合A=x(1)若A⊆∅，求实数a的取值集合.(2)若A的子集有两个，求实数a的取值集合.(3)若1∈A且B⊆A，求实数b的取值集合.【答案】(1)a(2)0,3(3)0,−1,3【解题思路】（1）根据A⊆∅，可得A=∅，再分a=0和a≠0两种情况讨论即可；（2）由题意可得集合A中只有一个元素，再分a=0和a≠0两种情况讨论即可；（3）先根据1∈A求出a，进而求出集合A，再分b=0和b≠0两种情况讨论即可.【解答过程】（1）因为A⊆∅，所以A=∅，当a=0时，则A=−当a≠0时，则Δ=36−12a<0，解得a>3综上所述，实数a的取值集合为aa>3（2）因为A的子集有两个，所以集合A中只有一个元素，当a=0时，则A=−当a≠0时，则Δ=36−12a=0，解得a=3综上所述，实数a的取值集合为0,3；（3）因为1∈A，所以a+6+3=0，解得a=−9，所以A=x当b=0时，B=∅⊆A，当b≠0时，B=−因为B⊆A，所以−1b=−13或−综上所述，实数b的取值集合为0,−1,3.11．（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合A={x|0<ax+1≤5},B={x|−(1)若A⊆B,求实数a的取值范围.(2)是否存在实数a，使得A=B?若存在求出a的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)a<−8或a≥2；(2)a=2【解题思路】（1）分a=0，a<0，a>0得到集合A，再利用A⊆B求解；（2）分a=0，a<0，a>0得到集合A，再利用A=B求解；【解答过程】（1）当a=0时，A=R，A⊆B当a<0时，A=x|4a≤x<−1a，因为当a>0时，A=x|−1a<x≤4a，因为综上：实数a的取值范围是a<−8或a≥2；（2）当a=0时，A=R，A=B当a<0时，A=x|4a当a>0时，A=x|−1a<x≤4a，因为综上：实数a的值是2.12．（2025高一上·全国·专题练习）已知集合A=x(1)若B⊆A，B={xm+1≤x≤2m−1,m为常数}，求实数m(2)若A⊆B，B={xm+1≤x≤2m−1,m为常数}，求实数m(3)若B={xm+1≤x≤2m−1,m为常数}，是否存在实数m，使得A=B？若存在，求出m【答案】(1)m|m≤3(2)∅(3)不存在，理由见解析【解题思路】（1）由集合的包含关系，分B=∅和B≠∅两种情况，列不等式求实数m的取值范围；（2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围；（3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值.【解答过程】（1）①若B=∅，满足B⊆A，则m+1>2m−1，解得m<2．②若B≠∅，满足B⊆A，则2m−1≥m+1,m+1≥−2,2m−1≤5,解得由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m|m≤3．（2）若A⊆B，数轴表示如下：依题意有m+1≤−2,2m−1≥5,m+1≤2m−1,此时m的取值范围是∅．（3）假设存在满足题意的实数m．若A=B，则必有m+1=−2且2m−1=5，此时无解，即不存在使得A=B的实数m．题型三题型三集合的运算问题13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合A={x∣−5<x<2},B={x∣2a−3<x<a+1}．(1)若C=3,4,a2(2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围．条件：①A∩B=B；②B∩∁RA【答案】(1)a=1(2)答案见解析【解答过程】解：（1）由于0∈(B∩C)，所以a2+2a−3=0,2a−3<0<a+1,（2）若选①，由A∩B=B得B⊆A．当B=∅时，则2a−3≥a+1，解得a≥4，满足条件；当B≠∅时，则2a−3<a+1,2a−3≥−5,a+1≤2,解得综上，实数a的取值范围是[−1,1]∪[4,+∞若选②，B∩∁当B=∅时，2a−3≥a+1，解得a≥4，满足条件：当B≠∅时，∁RA={x∣x≥2或x≤−5}，则2a−3<a+1,2a−3≥−5,综上，实数a的取值范围是[−1,1]∪[4,+∞若选③，A∪∁当B=∅时，2a−3≥a+1，解得a≥4，满足条件；当B≠∅时，∁RB={x∣x≥a+1或x≤2a−3}，则2a−3<a+1,2a−3≥−5,综上，实数a的取值范围是[−1,1]∪[4,+∞14．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合A={x−3≤x<4(1)当m=1时，求A∩∁(2)若A∩B=B，求实数m的取值范围.【答案】(1)x−3≤x<1或2<x<4(2)m【解题思路】（1）先计算∁RB，再计算（2）由A∩B=B得B⊆A，再分类讨论.【解答过程】（1）当m=1时，B=x1≤x≤2，则∁R则A∩∁RB（2）若A∩B=B，则B⊆A,当B=∅时，2m−1>m+1，即m>2；当B≠∅时，−3≤2m−1≤m+1<4，得−1≤m≤2，则实数m的取值范围为mm≥−115．（24-25高一上·四川广元·期末）已知集合A=x3−a≤x≤3+a，B=x(1)当a=2时，求A∩B和A∪B；(2)若a>0，且A∩∁RB【答案】(1)A∩B=x4<x≤5，A∪B=xx<0(2)0<a≤1【解题思路】（1）利用交集和并集概念求出答案；（2）先得到∁RB=x0≤x≤4，A⊆∁【解答过程】（1）a=2时，A=x1≤x≤5，又B=x故A∩B=x1≤x≤5∩xx<0或x>4A∪B=x1≤x≤5∪xx<0或x>4（2）A∩∁RB∁R当A=∅时，3−a>3+a，解得a<0，与a>0矛盾，舍去，当A≠∅时，3−a≤3+a3−a≥03+a≤4，解得综上，实数a的取值范围为0<a≤1.16．（24-25高一上·广西河池·期末）已知集合U=1,2,3,5,7,9(1)求A∩∁(2)若集合C=x∣x−2x−a=0，是否存在实数a，使得【答案】(1)A∩∁U(2)存在，a=2或3或5.【解题思路】（1）求出∁UA,∁（2）分类讨论求出集合C，根据A∪C=A得C⊆A，可得答案.【解答过程】（1）∵U=1,2,3,5,7,9∴∁∴A∩∁∁（2）存在.C=x∣①当a=2时，C=2，满足A∪C=A，所以a=2②当a≠2时，C=2,a，要满足A∪C=A，则C⊆A因为A=2,3,5，所以a=3综上所述，a=2或3或5.17．（24-25高一上·天津南开·期中）已知全集为R，集合A=x|x<−1或x>6，B=(1)若m=2，求∁R(2)若∁RA∪B=【答案】(1)∁RB∪A=(2)−∞【解题思路】（1）先求出当m=2时的集合B，再根据补集和并集定义即可计算求解.（2）先由题意求得B⊆∁RA，接着求出∁RA【解答过程】（1）若m=2，则B=x|1−m≤x≤1+m所以∁RB=x|x<−1或x>3，又集合A=所以∁RB∪A=（2）因为∁RA∪B=因为∁RA=x|−1≤x≤6所以当B=∅时符合题意，此时1−m>1+m，即m<0；当B≠∅时，要使B⊆∁则1−m≤1+m1−m≥−11+m≤6，解得综上所述，实数m的取值范围为−∞18．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知关于x不等式x−a≤2的解集A=x0≤x≤4(1)求实数a的值；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数m的取值范围．条件①：−2,4⊆条件②：A∩B=A．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.【答案】(1)a=2(2)选择见解析，答案见解析【解题思路】（1）根据绝对值不等式的几何意义，得到a−2≤x≤a+2，再结合条件，即可求解；（2）选择①，根据条件，结合图形，得到m−3≤−2m+3≥0，即可求解；选项择②，根据条件，结合图形，得到m−3≤0【解答过程】（1）由x−a≤2，得到−2≤x−a≤2，即a−2≤x≤a+2又因为关于x不等式x−a≤2的解集A=所以a−2=0a+2=4，解得a=2，所以实数a的值为2（2）选择条件①，因为A=x0≤x≤4，又−2,4⊆m−3≤−2m+3≥0，解得−3≤m≤1选择条件②，因为A=x0≤x≤4，又A∩B=A，即A⊆B，由图知，m−3≤0m+3≥4，解得1≤m≤3题型四题型四集合与充分、必要条件交汇19．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合A=x∣−2≤x−1≤5，集合B=(1)若m=3，求∁R(2)设命题p:x∈A；命题q:x∈B，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)−(2)−【解题思路】（1）求出集合A,B，再求∁R（2）由命题p是命题q的必要不充分条件得集合B是集合A的真子集，再分B=∅、B≠∅讨论可得答案.【解答过程】（1）A=x∣−2≤x−1≤5若m=3，则集合B=x∣4≤x≤5所以A∪B=−1,6则∁RA∪B=（2）∵命题p是命题q的必要不充分条件，∴集合B是集合A的真子集，当B=∅时，m+1>2m−1，解得m<2，当B≠∅时，m+1≤2m−1m+1>−12m−1≤6，或解得2≤m≤7综上所述，实数m的取值范围为−∞20．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知集合A=x−2≤x−1≤5，集合(1)若m=4，求∁R(2)若集合A成立的充分不必要条件是集合B，求实数m的取值范围.【答案】(1)xx<−1或(2)m≤【解题思路】（1）利用并集与补集定义计算即可得；（2）由题意可得集合B是集合A的真子集，再分B=∅与B≠∅计算即可得.【解答过程】（1）由题意可知A=x若m=4，则B=x故A∪B=x−1≤x≤7，则∁R（2）由题意可得集合B是集合A的真子集，当B=∅时，m+1>2m−1，解得m<2，当B≠∅时，则有m+1≤2m−1，解得m≥2，且m+1≥−12m−1≤6（等号不能同时成立），解得2≤m≤综上所述，实数m的取值范围为m≤721．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）设集合A={x|−7≤2x−1≤7}，B={x|m−1≤x≤3m−2}.(1)当m=3时，求A∩B，(∁(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】(1)A∩B={x|2≤x≤4}，(∁RA)∪B={x|x<−3(2)m≤2【解题思路】（1）先求得集合A、B，然后利用交集、并集及补集运算的概念求解即可；（2）根据题意得B是A的真子集，按照B=∅和B≠∅分类讨论，列不等式组求解即可，注意求并集.【解答过程】（1）由−7≤2x−1≤7，可得−6≤2x≤8，解得−3≤x≤4，所以A={x|−3≤x≤4}，∁RA={x|x<−3或当m=3时，集合B={x|3−1≤x≤3×3−2}，即B={x|2≤x≤7}，所以A∩B={x|2≤x≤4}，(∁RA)∪B={x|x<−3（2）因为“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，所以B是A的真子集，当B=∅时，m−1>3m−2，解得m<1当B≠∅时，m−1≤3m−2m−1≥−3由m−1≤3m−2得m≥12，由m−1≥−3得m≥−2，由3m−2≤4得所以12综上，实数m的取值范围是m≤2.22．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A={x∣−1<x<3}，集合B={x|−1<x<m+1}．(1)若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围；(2)若x∈A是x∈B成立的充要条件，求实数m的值．【答案】(1){m∣m>2}．(2)2【解题思路】（1）由题意A是B的真子集，构造不等式即可求解；（2）由题意得到A=B，进而可求解.【解答过程】（1）由题意A是B的真子集，所以m+1>3，即m>2，所以实数m的取值范围为{m∣m>2}.（2）因为x∈A是x∈B成立的充要条件，所以A=B,所以m+1=3，即m=2．即实数m的值为2．23．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合A=xa−1≤x≤2a+3，B=x(1)当a=1时，求∁U(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)∁(2)a【解题思路】（1）当a=1时，写出集合A，利用补集和交集的定义可得出集合∁U（2）由题意可知，集合A为集合B的真子集，分A=∅、A≠∅两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数a的不等式（组），综合可得出实数a的取值范围.【解答过程】（1）当a=1时，集合A=x0≤x≤5，全集U=R，则∁U又因为集合B=x−1≤x≤4，故（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，则集合A为集合B的真子集，当A=∅时，a−1>2a+3，解得a<−4；当A≠∅时，由题意可得a−1≤2a+3a−1≥−12a+3≤4，解得检验：当a=0时，A=x−1≤x≤3，此时集合A为集合当a=12时，A=x−1综上所述，实数a的取值范围是aa<−424．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合A=x|m−1≤x≤2m，B=(1)当m=3时，求A∩B，A∪∁(2)从①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；②A∩∁RB=∅问题：若_______，求实数m的取值范围.【答案】(1)A∩B={x|2≤x≤3}，A∪∁R(2)答案见解析【解题思路】（1）由集合的交并补混合运算求解即可；（2）选①，由题意得到A是B的真子集，再分集合A是否为空集讨论即可；选②，因为A∩∁RB=∅，所以A⊆B，再分集合A是否为空集讨论即可；选③，A∪B=B，所以A⊆B【解答过程】（1）当m=3时，A=x|2≤x≤6，又B=∴A∩B={x|2≤x≤3}，又∁RB=x|x<0∴A∪∁RB=（2）选①，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A是B的真子集，若A=∅，则m−1>2m，解得m<−1；若A≠∅，则m−1≤2mm−1≥02m≤3且等号不能同时成立，解得综上，m<−1或1≤m≤32，即m选②，因为A∩∁RB=∅选③，A∪B=B，所以A⊆B，下同选①.题型五题型五集合与命题交汇25．（24-25高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知集合A={x||2x−1∣≤5}，B={x∣x<−3或x≥1}．(1)求∁RA，(2)若集合C={x∣2m<x<m+1}，且“∀x∈C，x∉A”为真命题，求实数m的取值范围．【答案】(1)∁RA={x∣x<−2或x>3}(2){m∣m≤−3或m≥1}【解题思路】（1）求出集合A然后求其补集即可，求出集合B的补集，再求与集合A的交集即可.（2）由题意可得A∩C=∅，讨论集合C是否为空集即可.【解答过程】（1）集合A={x∣−2≤x≤3}，B={x∣x<−3或x≥1}，则∁RA={x∣x<−2或x>3}，∁（2）∀x∈C，x∉A为真命题，即A∩C=∅，又C={x∣2m<x<m+1}，A={x∣−2≤x≤3}，当C=∅时，2m≥m+1，即m≥1，此时A∩C=∅，符合题意；当C≠∅时，由A∩C=∅可得2m<m+1m+1≤−2或2m<m+12m≥3，解得综上，m的取值范围为：{m∣m≤−3或m≥1}．26．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合A=x|1≤x≤7，B=x|−3m+1≤x≤m−1，且(1)若命题p:∀x∈A，x∈B是真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题q:∀x∈B，x∉A是假命题，求实数m的取值范围.【答案】(1)8,+(2)2,+【解题思路】（1）由命题p为真命题可得A⊆B，且B≠∅，再根据子集列不等式求解范围即可；（2）由q:∀x∈B，x∉A是假命题，则q:∃x∈B，x∈A是真命题，即A∩B≠∅，再列不等式求解即可.【解答过程】（1）由命题p为真命题可得A⊆B，且B≠∅则−3m+1≤m−1−3m+1≤1m−1≥7，解得即实数m的取值范围为8,+∞（2）∵q:∀x∈B，x∉A是假命题∴q:∃x∈B，x∈A是真命题，即A∩B≠∅∴−3m+1≤m−1−3m+1≤7m−1≥1即实数m的取值范围为2,+∞27．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合A=x1<x<3，集合B=x(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围；(2)若命题“∀x∈B，都有x∈A”是真命题，求实数m的取值范围;(3)若A∩B=∅，求实数m的取值范围．【答案】(1)−(2)1(3)0,+【解题思路】（1）根据已知条件得A是B的真子集，列不等式组即可求解；（2）根据已知条件得B是A的子集，讨论B=∅和B≠∅，列不等式组即可求解；（3）讨论B=∅和B≠∅，列不等式组即可求解.【解答过程】（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A是B的真子集，所以2m≤11−m≥3，解得m≤−2所以实数m的取值范围为−∞（2）若命题“∀x∈B，都有x∈A”是真命题，则B是A的子集，当B=∅时，2m≥1−m，得m≥1当B≠∅时，2m<1−m2m≥1综上实数m的取值范围为13（3）若A∩B=∅，当B=∅时，2m≥1−m，得m≥1当B≠∅时，2m<1−m1−m≤1或2m<1−m2m≥3，解得综上m≥0，所以实数m的取值范围为0,+∞28．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知集合A={x|−5≤x≤−3},B={x|3m−2<x<2m+2}.(1)若A∪B=B，求实数m的取值范围；(2)若命题p:“∀x∈B，都有x∈A”为真命题，求实数m的取值范围；(3)若A∩B≠∅，求实数m的取值范围.【答案】(1){x|−(2)m(3){m|−【解题思路】（1）由A∪B=B，得到A⊆B，根据集合的包含关系，列出不等式组，即可求解；（2）根据题意，得到B⊆A，分B=∅和B≠∅，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解；（3）由A∩B≠∅，根据集合交集的运算，列出等价不等式组，即可求解.【解答过程】（1）解：由集合A={x|−5≤x≤−3},B={x|3m−2<x<2m+2}，因为A∪B=B，可得A⊆B，则满足所以3m−2<−52m+2>−3，解得−所以实数m的取值范围为：{x|−5（2）解：由命题p:“∀x∈B，都有x∈A”为真命题，则B⊆A；①当B=∅时，3m−2≥2m+2，即m≥4，此时B⊆A；②当B≠∅时，需满足3m−2<2m+23m−2≥−5所以实数m的取值范围为：mm≥4（3）解：因为A∩B≠∅，则满足−5≤3m−2<−33m−2<2m+2或−5<2m+2≤−33m−2<2m+2或解得−1≤m<−13或−7所以实数m的取值范围为{m|−729．（24-25高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合A=x∣6≤x≤20，集合B=x∣x≤2a，命题p:∃x∈A,x∈B，命题q:∀x∈R(1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围；(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围．【答案】(1)a(2)aa<−1或【解题思路】（1）先根据p为真命题分析出A∩B≠∅，由此求解出a的范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果；（2）考虑命题p,q均为假命题时a的取值范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果.【解答过程】（1）若p为真命题，则A∩B≠∅，所以2a≥6，所以a≥3，所以命题p为假命题时，a的取值范围为aa（2）当q为假命题时，即“∃x∈R,所以Δ=4+4a≥0，所以a的取值范围为a所以当p,q均为假命题时a的取值范围为aa所以当命题p和命题q至少有一个为真命题时a的取值范围为aa<−1或a≥330．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合A=x−2≤x≤3，B=x(1)求∁RB，(2)若集合C=x2m<x<m+1，且∃x∈C,x∈A为假命题，求【答案】(1)x−2≤x≤5，xx<−2(2)−【解题思路】（1）由集合的交并补运算可得解；（2）转化条件为A∩C=∅，对C是否为空集讨论即可得解.【解答过程】（1）由B=xx<−2,或x>5又A=x−2≤x≤3，则∁R故∁RA∩B=（2）∵∃x∈C，∴∀x∈C，x∉A为真命题，即又C=x|2m<x<m+1，A=当C=∅时，2m≥m+1，即m≥1，A∩C=∅当C≠∅时，由A∩C=∅可得，2m<m+1m+1≤−2，或2m<m+1解得m≤−3，综上，m的取值范围为−∞题型六题型六集合的新定义问题31．（24-25高一上·湖南·阶段练习）设集合A是至少有两个元素的实数集，集合FA=zz=xy,x,y∈A且x≠y，称集合(1)当A=1,2,4,8,32时，写出集合A的积集F(2)若A=a1,(3)若A=a1,a2【答案】(1)F(2)5(3)±【解题思路】（1）根据题意，得到FA（2）不妨设0<a1<a2（3）FA中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时A中没有两个数互为相反数，a1,a2,a【解答过程】（1）A=1,2,4,8,32，故1×2=2,1×4=4,1×8=8,1×32=322×4=8,2×8=16,2×32=64,4×8=32,4×32=128,8×32=256，故FA（2）A=a不妨设0<a因为a1a2当A=2,22故FA（3）由条件可知，对于一个4元集合A=aFA中的元素个数最多的情况为a同时FA中没有两个数互为相反数，因此A由此知，a1,a则alaj1≤i≤j≤4中最小的与次小的两个数分别为最大与次大的两个数分别为a3a4从而必有a1于是a2所以a1当−18a12=−3又a1当−18a12易得a1=1经检验，均满足要求，故a1集合A中的所有元素之和为±1932．（24-25高一上·北京·期中）设A是由有限个正整数组成的集合，定义A+A=x+yx,y∈A．如果A+A∩A=∅，称A是“好集”．例如，A=1,2时，(1)判断A=1,3(2)证明：如果A⊆B且B是“好集”，那么A是“好集”；(3)求所有的集合A，使得①A⊆1,2,3,4,5②A是“好集”；③不存在“好集”B⊆1,2,3,4,5，使得A是B【答案】(1)是，理由见解析(2)证明见解析(3)1,4，2,3，2,5，1,3,5，3,4,5.【解题思路】（1）直接根据定义即可判断；（2）利用“好集”的定义，证明该结论；（3）利用（2）的结果，列举不同情况即可得到答案.【解答过程】（1）由于A+A=2,4,6，A=1,3，二者交集为空，故（2）显然此时A+A⊆B+B，A⊆B，而B+B∩B=∅，故A+A∩A=∅，所以（3）由于1,2，2,4，1,3,4，1,4,5，2,3,5都不是“好集”，所以“好集”不能包含这些集合中的任何一个.那么，包含于1,2,3,4,5的“好集”就只可能是空集，单元素集，除1,2和2,4以外的双元素集，以及1,3,5，3,4,5，经过验证，这些集合都是“好集”.再加上A不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的A就只能是1,4，2,3，2,5，1,3,5，3,4,5.33．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，4,6,9的元素和是4+6+9=19；交替和是9−6+4=7；而5的元素和与交替和都是5.(1)写出集合1,2,3的所有非空子集的交替和的总和.(2)已知集合M=1,2,3,4,5,6①求集合M所有非空子集的元素和的总和；提示：∀x∈M，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是；②求集合M所有非空子集的交替和的总数.【答案】(1)12；(2)①672；②192.【解题思路】（1）先求出集合1,2,3的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和；（2）①根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；②通过（1）归纳出集合1,2,3,⋯,n的所有非空子集的交替和的总和.【解答过程】（1）集合1,2,3的非空子集为1，2，3，2,1，3,1，3,2，3,2,1，集合1，2，3的交替和分别为1，2，3，集合2,1的交替和为2−1=1，集合3,1的交替和为3−1=2，集合3,2的交替和为3−2=1，集合3,2,1的交替和为3−2+1=2，所以集合1,2,3的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12.（2）①集合1,2,3所有非空子集中，1，2，3，2,1，3,1，3,2，3,2,1，数字1、2、3各出现4=2集合1,2,3,4所有非空子集为：1，2，3，4，2,1，3,1，4,1，3,2，2,4，3,4，3,2,1，4,2,1，4,3,1，4,3,2，4,3,2,1，其中数字1、2、3、4各出现8=2在集合1,2,3,4,5所有非空子集中，含1的子集的个数为24因此数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现24同理在集合1,2,3,4,5,6所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现25所以集合M所有非空子集的元素和的总和为32(1+2+3+4+5+6)=672.②1,2,⋅⋅⋅,n的子集一共有2n个，按照子集是否含有n每一个含n和去掉n的两个配对子集交替和之和为n，因为不含n的子集共有2n−1所以1,2,⋅⋅⋅,n的所有非空子集的交替和总和为Sn=n⋅2所以集合M所有非空子集的交替和的总和S634．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）对于非空集合U，记Ω={x∣x⊆U}．若集合A⊆Ω，且满足如下两个条件：①对任意的M,N∈A，有M∪N∈A；②对任意的M∈A，有∁U(1)若集合U={1,2,3}，试写出集合U的所有“完美子集类”；(2)已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明：（Ⅰ）∅∈A；（Ⅱ）对任意的M,N∈A，有M∩N∈A．【答案】(1)答案见解析(2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析【解题思路】（1）根据“完美子集类”的定义，写出集合U的所有“完美子集类”即可；（2）（i）由A是U的“完美子集类”，可知对于任意的M∈A,∁UM∈A，从而U=M∪∁UM∈A，即可证得∅∈A；（ii）由A是U的“完美子集类”及“完美子集类”得定义可得∁【解答过程】（1）集合U的“完美子集类”有:{∅,{1,2,3}},{∅,{1},{2,3},{1,2,3}},{∅,{2},{1,3},{1,2,3}},{∅,{3},{1,2},{1,2,3}},{∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}{1,2,3}}.（2）（i）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的M∈A,∁从而U=M∪∁所以∅=∁（ii）因为A是U的“完美子集类”，所以对于任意的M,N∈A，∁U从而∁U下证：M∩N=一方面，x∈M∩N⇒x∈M且x∈N⇒x∉∁UM即x∉∁另一方面，x∈⇒x∉∁UM或x∉∁故M∩N=∁35．（24-25高一上·云南玉溪·期末）设k是正整数，A