高一数学上学期第一次月考02（人教A版举一反三）（解析版）高一数学举一反三系列（人教A版必修第一册）

2/302025-2026学年高一数学上学期第一次月考02参考答案与试题解析第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（5分）设集合A={x|−2<x<1}，B={x|x<a−1}，满足A⊆B，则实数a的取值范围是（

）A．{a|a≤−1} B．{a|a≥−1} C．{a|a≥2} D．{a|a≤2}【答案】C【解题思路】利用集合包含关系得不等关系，从而求解．【解答过程】∵A⊆B，A={x|−2<x<1}，B={x|x<a−1}，由题意如图：∴a−1≥1，解得a≥2.故选：C．2．（5分）若a<b<0，则下列不等式中不成立的是（

）A．1a>1C．a>b 【答案】B【解题思路】对于每个选项，我们将根据已知条件a<b<0，利用不等式的性质进行分析判断.【解答过程】对于A选项，因为a<b<0，那么ab>0.不等式a<b两边同时除以ab，得到aab<bab，即对于B选项，由a=−2<b=−1<0可得1a−b因为1a=1对于C选项，因为a<b<0，a和b都是负数，所以|a|=−a，|b|=−b.又因为a<b，两边同时乘以−1，得到−a>−b，即|a|>|b|，C选项成立.对于D选项，因为a<b<0，a和b都是负数，绝对值大的反而小.由|a|>|b|，可得a2=|a|2，故选：B.3．（5分）已知命题p:∃x>1，x3−xA．p为真命题，且p的否定是“∀x>1，x3B．p为真命题，且p的否定是“∀x>1，x3C．p为假命题，且p的否定是“∀x>1，x3D．p为假命题，且p的否定是“∀x>1，x3【答案】A【解题思路】举例可判断p为真命题，进而根据存在量词命题的否定求解即可.【解答过程】当x=2时，x3−x根据存在量词命题的否定，命题p的否定是“∀x>1，x3故选：A.4．（5分）已知集合A=x−2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m−1.若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则A．m|m≤3 B．m|2≤m≤3 C．∅ D．m|2<m≤3【答案】A【解题思路】分集合B是否为空集讨论即可，当B≠∅时，由集合间的包含关系求出；【解答过程】由“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则B是A的真子集，当B=∅时，m+1>2m−1，解得m<2；当B≠∅时，m+1≥−22m−1≤5m+1≤2m−1，前两个等号不能同时取得，解得综上m的取值范围是m|m≤3，故选：A.5．（5分）已知x>0,y>0，且x+y=5，若4x+1+1y+2≥2m+1A．−∞,116 B．−∞,【答案】A【解题思路】由已知条件得出x+1+y+2=8，将代数式4x+1+1y+2【解答过程】因为x>0，y>0，且x+y=5，则x+1+y+2=8，则y+2x+1所以4≥1当且仅当4y+2即当x=133，y=23时，所以因为4x+1+1y+2≥2m+1所以实数m的取值范围是−∞故选：A.6．（5分）已知全集U=xx<10,x∈N，A⊆U，B⊆U，A∩∁UB=A．8∈B B．A的不同子集的个数为8C．9⊆A D．【答案】D【解题思路】根据集合之间的关系作出Venn图，逐项判断即可.【解答过程】U=x|x<10,x∈由A⊆U，B⊆U，A∩∁UB=1,9作出Venn图，如图所示，

由图可知，A=1,3,9，B=0,2,3,5,8，故A，集合A的子集个数为23因为∁U(A∪B)=4,6,7，所以6∈故选：D.7．（5分）已知关于x的不等式组x2−2x−8>02x2A．−5,3 B．2,3C．2,3∪4,5 【答案】D【解题思路】先解不等式x2−2x−8>0可得x<−2或x>4，再解不等式2x【解答过程】由x2−2x−8>0，即x−4x+2>0，解得由2x2+当k=72时，不等式2x+7x+k当k>72时，不等式2x+7x+k结合题意，此时原不等式组的解集为−k,−7所以−5≤−k<−4，即4<k≤5，当k<72时，不等式2x+7x+k结合题意，要使不等式组仅有一个整数解，则−3<−k≤5，即−5≤k<3，综上所述，k的取值范围为−5,3∪故选：D.8．（5分）定义运算：x∗y=xx+yx,y∈R.若关于x的不等式x−a*1−2x<1A．a−1<a<1 B．C．a−32【答案】B【解题思路】由定义运算将所求不等式化简，再结合一元二次含参不等式恒成立问题求解即可；【解答过程】由题意x−a*x−ax−a+1−2x即−x化简可得x2所以Δ=1−4×1×化简可得2a−32a+1解得−1所以实数a的取值范围为a−故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）下列说法正确的是（

）A．“对任意一个无理数x，x2B．“xy>0”是“x+y>0”的既不充分又不必要条件C．命题“∃x∈R，x2+1=0”的否定是“∀x∈R，D．若“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m−2<x<m+2”，则实数m的取值范围是1,3【答案】BCD【解题思路】根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义判断各选项．【解答过程】x=2是无理数，xx=−1,y=−2时，xy>0，但x+y=−3<0；反之，x=−1,y=2时，x+y>0，但xy=−2<0；则“xy>0”是“x+y>0”的既不充分又不必要条件，B正确；命题∃x∈R,x“1<x<3”的必要不充分条件是“m−2<x<m+2”，则m−2≤1m+2≥3两个等号不同时取得．解得1≤m≤3．D正确．故选：BCD.10．（6分）已知不等式ax2+bx+c>0的解集为x1,3A．a<0B．b=4aC．c2+1D．不等式cx2【答案】ACD【解题思路】由一元二次不等式的解法判断A；由题意可知方程ax2+bx+c=0的一个根为x=3，将x=3代入，再结合a+b+c=0，可得b=−4a，从而判断B；将b=−4a代入a+b+c=0，可得c=3a，从而得c2+1a=9a+【解答过程】解：因为不等式ax2+bx+c>0所以a<0，故A正确；由题意可知方程ax2+bx+c=0所以9a+3b+c=0，又因为a+b+c=0，所以8a+2b=0，即b=−4a，故B错误；因为b=−4a，a+b+c=0，所以c=3a，所以c2当且仅当−9a=−1a，即因为b=−4a，c=3a，所以cx即为3ax2−4ax+a<0即(3x−1)(x−1)>0，解得：x<13或所以原不等式的解集为：−∞故选：ACD.11．（6分）已知a，b为正实数，且ab+2a+b=16，则（

）A．2a+b的最小值为8 B．1a+1+C．ab的最大值为8 D．b+19−a【答案】ACD【解题思路】A，利用b=18a+1−2变形2a+b，利用基本不等式求解即可；B，由ab+2a+b=16可得ab+2a+b+2=18，利用基本不等式求解即可；C，利用6=ab+2a+b≥ab+2【解答过程】由16=ab+2a+b得b=16−2a所以2a+b=2a+≥22(a+1)⋅当且仅当2(a+1)=18a+1，即此时2a+b取得最小值8，A对;ab+2a+b=16⇒ab+2a+b+2=18,1a+1当且仅当a+1=b+2时取等号，此时1a+1+1b+2因为16=ab+2a+b≥ab+22ab，当且仅当2a=b解不等式得−42≤ab≤22⇒ab≤8b+=(=≥218当且仅当18(9−a)10(a+1)=a+1此时b+19−a取得最小值6故选：ACD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知非空集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|−2≤x≤5}.若“x∈P”是“x∈Q”的充分而不必要条件，实数a的取值范围是.【答案】{a|0≤a≤2}【解题思路】利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数a的取值范围.【解答过程】因为“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，所以P是Q的真子集，又Q={x|−2≤x≤5}，P≠∅，所以a≥0a+1≥−22a+1≤5，所以当a=0时，P={1}是Q的真子集；当a=2时，P={x|3≤x≤5}也满足是Q的真子集，综上所述：{a|0≤a≤2}.故答案为：{a|0≤a≤2}.13．（5分）设集合A=2,3,4,5，B=4,5,6，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S有【答案】12【解题思路】由集合的包含关系及交集运算即可求解.【解答过程】因为S⊆A且S∩B≠∅，A=2,3,4,5，B=S中一定含有4或5或4、5．当S中含有一个元素时，S=4或S=当S中含有两个元素时，S=2,4，2,5，3,4，3,5，4,5当S中含有三个元素时，S=2,3,4，2,3,5，2,4,5，3,4,5当S中含有四个元素时，S=2,3,4,5所以满足条件的集合S有2+5+4+1=12个．故答案为：12.14．（5分）若a+1x−3x3−2ax2−x≥0对任意的【答案】6【解题思路】当a≤−1时，借助函数y=x2+2ax−1的性质分析即可；当a>−1时，由于x=3a+1【解答过程】因为x>0，故原式可等价于a+1x−3由题意当a≤−1时，因为x>0，则a+1x−3<0由于y=x2+2ax−1当a>−1时，由a+1x−3=0可解得x=由于4a故方程x2所以x=3a+1必定是方程则3a+1a>−1，则可解得a=6故答案为：62四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假．(1)∀x∈R，x4(2)有一个素数是偶数；(3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似．【答案】(1)“∃x∈R，x4(2)“所有的素数都不是偶数”，假命题(3)“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”，真命题【解题思路】（1）（2）（3）根据全称命题、特称命题的否定写出相应命题的否定，进而判断真假性.【解答过程】（1）命题的否定为“∃x∈R，x4因为x4（2）命题的否定为“所有的素数都不是偶数”，由2是素数也是偶数，可得命题的否定是假命题．（3）命题的否定为“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”，若这两个三角形底边对应的高的垂足不在同一个位置，那么这两个三角形不相似，可得命题的否定是真命题．16．（15分）已知集合A=x(1)若A⊆∅，求实数a的取值集合.(2)若A的子集有两个，求实数a的取值集合.(3)若1∈A且B⊆A，求实数b的取值集合.【答案】(1)a(2)0,3(3)0,−1,3【解题思路】（1）根据A⊆∅，可得A=∅，再分a=0和a≠0两种情况讨论即可；（2）由题意可得集合A中只有一个元素，再分a=0和a≠0两种情况讨论即可；（3）先根据1∈A求出a，进而求出集合A，再分b=0和b≠0两种情况讨论即可.【解答过程】（1）因为A⊆∅，所以A=∅，当a=0时，则A=−当a≠0时，则Δ=36−12a<0，解得a>3综上所述，实数a的取值集合为aa>3（2）因为A的子集有两个，所以集合A中只有一个元素，当a=0时，则A=−当a≠0时，则Δ=36−12a=0，解得a=3综上所述，实数a的取值集合为0,3；（3）因为1∈A，所以a+6+3=0，解得a=−9，所以A=x当b=0时，B=∅⊆A，当b≠0时，B=−因为B⊆A，所以−1b=−13或−综上所述，实数b的取值集合为0,−1,3.17．（15分）已知a>0，b>0.(1)若a+2b=2，证明：ab≤1(2)若0<a<2，求1a(3)若b+22abx−a+b【答案】(1)证明见解析(2)9(3)−【解题思路】（1）利用基本不等式即可证明；（2）根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用求出最值即可；（3）不等式可化为x≤a+bb+22ab【解答过程】（1）因为a>0，b>0，所以2=a+2b≥22ab则ab≤12当且仅当a=2b，即a=1，b=1（2）因为0<a<2，所以2−a>0，则12则1=1当且仅当2−aa=4a故1a+4（3）因为a>0，b>0，所以b+22ab则b+22abx−a+b又b+22ab≤b+2a+b=2a+b所以a+bb+2则x≤1故x的取值范围为−∞18．（17分）在①x∈A是x∈B的充分不必要条件；②A∪B=B；③A∩B=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合A=x(1)当m=3时，求A∩B；(2)若选__________，求实数m的取值范围．【答案】(1)A∩B={x|2≤x≤3}(2)答案不唯一，具体见解析【解题思路】（1）根据集合的交集运算可得答案；（2）选择①：由已知得AB，建立不等式求解即可；选择②：由已知得A⊆B．建立不等式求解即可；选择③：由A∩B=∅，建立不等式求解即可；【解答过程】（1）解：当m=3时，集合A={x|2≤x≤4}，B={x|−1≤x≤3}，所以A∩B={x|2≤x≤3}；（2）解：选择①：因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以AB，因为A={x|m−1≤x≤m+1}，所以A≠∅．又因为B={x|−1≤x≤3}，所以m−1⩾−1m+1⩽3（等号不同时成立），所以m−1⩾−1m+1⩽3解得0≤m≤2，因此实数m的取值范围是0≤m≤2．选择②：因为A∪B=B，所以A⊆B．