专题03 等式性质与不等式性质及一元二次方程、不等式14大重点题型（举一反三期中专项训练）高一数学上学期人教A版必修第一册（解析版）

2/30专题03等式性质与不等式性质及一元二次方程、不等式14大重点题型（期中专项训练）【人教A版】题型归纳题型归纳题型1题型1用不等式表示不等关系1．（24-25高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（

）A．某人的月收入x元不高于2000元可表示为“x<2000”B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x>y”C．变量x不小于a可表示为“x≥a”D．变量y不超过a可表示为“y≥a”【答案】C【解题思路】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可.【解答过程】对于A，某人的月收入x元不高于2000元可表示为“x≤2000”，A错；对于B，小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x<y”，B错；对于C，变量x不小于a可表示为“x≥a”，C正确；对于D，变量y不超过a可表示为“y≤a”，D错.故选：C.2．（24-25高一上·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（

）A．6种 B．7种 C．8种 D．5种【答案】D【解题思路】根据题意列出不等式组，解出符合题意的组合即可.【解答过程】设购买的篮球个数为x，足球个数为y，且x,y∈N根据题意可得x≥8y≥2解得符合题意的有序实数对x,y可以是8,2,共5种不同的购买方式.故选：D.3．（24-25高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为平方米．【答案】90【解题思路】根据已知条件列不等式，从而求得正确答案.【解答过程】设改造前的窗户面积为x，窗户增加的面积为y，x>0,y>0，依题意x180≤x+y所以改造前的窗户面积最大为90平方米.故答案为：90.4．（24-25高一上·全国·课后作业）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式.【答案】72+12x>408【解题思路】设该车工3天后平均每天需加工x个零件，由前3天加工的零件个数与后12天加工的零件个数和不小于总个数即得．【解答过程】设该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工15−3天共加工12x个零件，15天里共加工3×24+12x个零件，因为在规定的时间内超额完成任务，则3×24+12x>408．故不等关系表示为72+12x>408．5．（24-25高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物1530t，乙种货物1150t.现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知35t甲种货物和15t乙种货物可装满一节A型货厢，25t(1)据此安排A，B两种货厢的节数，共有几种方案？(2)若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？【答案】(1)答案见详解(2)安排A型货厢30节，B型货厢20节时运费最少【解题思路】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出A,B型货厢的节数，可分为三种方案；（2）根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少.【解答过程】（1）设安排A,B两种货厢分别为x节，y节，则可列不等式组35x+25y≥153015x+35y≥1150利用不等式即可解得28≤x≤3020≤y≤22∵x∈N*,∴x=28y=22∴共有三种方案：方案一，安排A型货厢28节，B型货厢22节；方案二，安排A型货厢29节，B型货厢21节；方案三，安排A型货厢30节，B型货厢20节.（2）共有三种方案，运费分别为：安排A,B两种货厢分别为28节，22节，运费为28×0.5+22×0.8=31.6万元安排A,B两种货厢分别为29节，21节，运费为29×0.5+21×0.8=31.3万元.安排A,B两种货厢分别为30节，20节，运费为30×0.5+20×0.8=31万元.易知安排A型货厢30节，B型货厢20节时，运费最少，为31万元.题型2题型2\t"/gzsx/zj135330/_blank"\o"由已知条件判断所给不等式是否正确"由已知条件判断所给不等式是否正确6．（24-25高一上·湖北武汉·期中）下列不等式中成立的是（）A．若a>b>0，则ac2>bc2C．若a<b<0，则a2<ab<b2 D．若a<b【答案】B【解题思路】利用特值法和不等式的性质即可一一判断各选项.【解答过程】对于A，当c=0时，ac对于B，若a>b，由不等式的性质可知a3对于C，若a<b<0，取a=−2,b=−1，得a2=4,ab=2,b对于D,若a<b且ab≠0，取a=1,b=2，得1a=1,1故选：B.7．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）下列命题是假命题的为（

）A．若a>b>0>c>d，则ab>cd B．若ac2C．若a>b>0且c<0，则ca2>cb【答案】A【解题思路】根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可判断各选项.【解答过程】对于A，取a=2,b=1,c=−3,d=−4，此时ab=2,cd=12，则有ab<cd，所以A错误；对于B，若ac2>bc2对于C，由a>b>0，有a2>b从而ca对于D，若a>b>−1，则a+1>b+1>0，则有1a+1故选：A．8．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知实数a，b满足a2>bA．a4>b4 B．a3>【答案】A【解题思路】由不等式的性质可得选项A正确，举反例可说明选项B、C、D错误.【解答过程】由a2>b令a=−2,b=1，满足a2>b2，此时令a=2,b=−1，满足a2>b故选：A.9．（24-25高一上·广东东莞·期中）若a,b,c∈R，且a>b，则下列不等式成立的是（

A．1a<1C．a−c>b−c D．ac>bc【答案】C【解题思路】举反例排除ABD，利用不等式的性质判断C，从而得解.【解答过程】因为a,b,c∈R，且a>b对于A，取a=1,b=−1，满足a>b，但1a对于B，取a=1,b=−1，满足a>b，但a2对于C，因为a>b，所以a+−c>b+−c对于D，取c=0，则ac=0=bc，故D错误.故选：C.10．（24-25高一上·浙江杭州·期中）下列结论正确的是（

）A．若a>b,m>n，则a−m>b−nB．若m>0，则1C．7D．若1a>【答案】C【解题思路】分别举出反例即可判断ABD，从而得到结果，根据不等式性质判断C.【解答过程】对于A，令a=2,b=1,m=4,n=3，满足a>b,m>n，但是a−m=−2=b−n，故A错误；对于B，令m=1，则12<1+1对于C，因为7+6>即7−对于D，令a=2,b=−1，则1a=12,故D错误；故选：C.题型3题型3\t"/gzsx/zj135330/_blank"\o"作差法比较代数式的大小"作差法、作商法比较代数式的大小11．（24-25高一上·广东·期中）若a=x2+3x+5,b=3x+4A．a<b B．a>bC．a=b D．a,b的大小关系无法确定【答案】B【解题思路】利用作差法，即可比较大小.【解答过程】因为a−b=x2+3x+5−3x−4=故选：B.12．（24-25高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（

）A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较【答案】C【解题思路】设两次葡萄的单价分别为a,ba≠b【解答过程】设两次葡萄的单价分别为a,ba≠b则小齐两次购买葡萄的平均价格是3a+3b3+3小港两次购买葡萄的平均价格是10050a+b2故a+b2故选：C.13．（24-25高一上·上海·期中）若x∈R，设P=x2+3,Q=2x,则P、Q的大小关系为【答案】>【解题思路】作差计算P−Q，根据差值即可比较大小.【解答过程】由题P−Q=x所以P>Q.故答案为：>.14．（24-25高一上·新疆喀什·期中）比较下列各题中两个代数式的大小：(1)x2+2x+6与(2)x2+y【答案】(1)x(2)x【解题思路】利用作差法求解即可.【解答过程】（1）因为x2所以x2（2）因为x2所以x215．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小：①设x>1,M=x−x−1②设M=x+3x+4,N=③设a>b>0,M=a2−注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.【答案】①M>N；②M>N；③M>N；【解题思路】①利用有理根式可得M=1x+x−1>0,N=②用作差法比较即可；③用作差法或作商法比较即可.【解答过程】解：①M>NM=x因为x+1+所以1x+1即x+1−∴M>N.②M>NM−N=x+3∴M>N.③M>N方法一（作差法）M−N==a−b因为a>b>0，所以a+b>0,a−b>0,2ab>0,a所以2aba−b所以a2∴M>N..方法二（作商法）因为a>b>0，所以a2所以MN所以a2∴M>N.题型4题型4\t"/gzsx/zj135330/_blank"\o"由不等式的性质比较数（式）大小"由不等式的性质比较数（式）大小16．（24-25高一上·广东汕头·期中）若a,b,c∈RA．1a>1C．ab<b2 【答案】B【解题思路】根据不等式的基本性质逐一判断即可.【解答过程】对A，由a>b>0，所以1a对B，由a>b>0，c2+1≥1，所以对C，由a>b>0，所以ab>b对D，由a>b>0，所以a+c>b+c，错误.故选：B.17．（24-25高一上·辽宁锦州·期中）若a,b,c∈R，a>b，则下列不等式成立的是（

）A．1a<1b B．a2>【答案】C【解题思路】根据不等式的性质依次判断各个选项即可.【解答过程】对于A，当a>0>b时，1a对于B，当a>ba<b且时，对于C，∵c2+1≥1，∴0<1c对于D，当a>b>0，c<0时，ac故选：C.18．（24-25高一上·安徽·期中）已知a>b>0，c<d<0，e<0，则下列不等关系成立的是（

）A．1a>1C．ad<bc D．ce【答案】B【解题思路】利用不等式的基本性质可判断ABD选项，利用特殊值法可判断C选项.【解答过程】对于A选项，因为a>b>0，则ab>0，在不等式a>b的两边同时除以ab可得1b对于B选项，因为a>b>0，c<d<0，e<0，则−c>−d>0，所以，a−c>b−d>0，则a−cb−d在不等式a−c>b−d的两边同时除以a−cb−d可得1因为e<0，由不等式的基本性质可得ea−c对于C选项，因为a>b>0，c<d<0，取a=2，b=1，c=−2，d=−1，则ad=bc，C错；对于D选项，因为c<d<0，e<0，所以，ce>de>0，故ce>故选：B.19．（24-25高一上·四川泸州·期中）22−6【答案】＜【解题思路】利用不等式的基本性质即可得出结论.【解答过程】22+12∵9+42<9+6∴22则22故答案为：＜.20．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）已知a>b>0，c>d>0，e<0，则ea+c与eb+d的大小关系为【答案】ea+c>e【解题思路】根据已知条件，利用不等式的性质进行比较大小即可.【解答过程】由a>b>0，c>d>0，则a+c>b+d>0，则0<1又e<0，则ea+c故答案为：ea+c>e题型5题型5利用不等式求取值范围21．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知−1≤x+y≤4,2≤x−3y≤3，则z=4x−8y的取值范围是（

）A．[5,13] B．[−5,23] C．[0,22] D．[2,20]【答案】A【解题思路】先由题求得z=4x−8y=x+y【解答过程】设z=4x−8y=mx+y所以m+n=4m−3n=−8，解得m=1所以z=4x−8y=x+y+3x−3y所以5≤4x−8y≤13.故选：A.22．（24-25高一上·河南商丘·期中）若−3≤2a+b≤4，−1≤a−b≤2，则a+5b的取值范围是（

）A．a+5b−12≤a+5b≤11 B．C．a+5b−253【答案】A【解题思路】将a+5b用2a+b和a−b表示，然后根据不等式的性质求解范围即可.【解答过程】因为a+5b=22a+b−3a−b，又−3≤2a+b≤4所以−6≤22a+b≤8，−6≤−3a−b≤3，所以−12≤22a+b故选：A.23．（24-25高一上·北京·期中）设实数x，y满足：1≤x≤2,6≤y≤8，则yx的取值范围是【答案】3,8【解题思路】利用不等式的性质计算即可.【解答过程】因为1≤x≤2，所以12又因为6≤y≤8，所以12×6≤y所以yx的取值范围是3,8故答案为：3,8.24．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知0<x<2，0<y<3．(1)求2x−y的取值范围；(2)若3x+y=1，求1x【答案】(1)−3,4(2)4+2【解题思路】（1）根据不等式的性质直接求解即可；（2）由1x【解答过程】（1）∵0<x<2，0<y<3，∴0<2x<4，−3<−y<0，∴−3<2x−y<4，即2x−y的取值范围为−3,4.（2）∵3x+y=1，0<x<2，0<y<3，∴（当且仅当yx=3xy，即∴1x+25．（24-25高一上·重庆·期中）已知0<x<5,1<y<2(1)求x−2y,x(2)若将条件变为“−1≤x+y≤2,−2≤x−y≤1”，求x−2y的范围【答案】(1)−4<x−2y<3，x(2)x−2y∈【解题思路】（1）利用不等式的性质和齐次化可求x−2y,x（2）利用待定系数法结合不等式的性质可求x−2y的范围.【解答过程】（1）因为0<x<5,1<y<2，所以−4<−2y<−2，所以−4<x−2y<3；因为0<x<5，所以1x>15（2）令x−2y=mx+y+nx−y所以1=m+n−2=m−n，则m=−12因为−1≤x+y≤2,−2≤x−y≤1，所以−1≤−1所以x−2y∈−4,2题型6题型6由不等式的性质证明不等式26．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）比较x+2x+3与x+1（2）已知a>b>0，c<0，求证：ca【答案】（1）x+2x+3【解题思路】（1）利用作差法比较大小；（2）根据a>b>0，得到1b>1a>0【解答过程】（1）因为x+2=x所以x+2x+3（2）因为a>b>0，所以1b又c<0，所以ca27．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）（1）比较(a+3)(a−5)与(a+2)(a−4)的大小；（2）已知a>b>0,c<0，求证：ca【答案】答案见解析【解题思路】（1）利用作差法比较大小；（2）根据a>b>0，得到1b>1a>0【解答过程】（1）因为a+3=a所以a+3a−5（2）因为a>b>0，所以1b又c<0，所以ca28．（25-26高一·上海·课堂例题）原有酒精溶液a（单位：g），其中含有酒精b（单位：g），其酒精浓度为ba.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精x（单位：g），新溶液的浓度变为b+xa+x.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若a>b>0，x>0，则【答案】证明见解析【解题思路】先利用不等式的性质证得b+xa+x<1，再利用作差法证明【解答过程】因为a>b>0，x>0，所以a+x>b+x>0，所以b+xa+x又ba因为a>b>0，x>0，所以xb−a<0，所以ba−综上，ba29．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知a>b>1，d<c<−2．(1)求证：a−1b−1(2)求证：ac+bd>bc+ad．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解题思路】（1）利用不等式的性质证明即可；（2）应用作差法比较大小，即可证.【解答过程】（1）由a>b>1，则a−1>0,b−1>0，故(a−1)(b−1)>0，由d<c<−2，则c+2<0,d+2<0，故(c+2)(d+2)>0，所以a−1b−1（2）由ac+bd−bc−ad=c(a−b)+d(b−a)=(c−d)(a−b)，而a−b>0,c−d>0，所以ac+bd−bc−ad=(c−d)(a−b)>0，即ac+bd>bc+ad，得证.30．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，往糖水中加入m克糖m>0，（假设全部溶解）糖水更甜了．(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；(2)利用（1）的结论比较M=20192020(3)证明命题：设x>0,y>0,z>0，证明：1<x【答案】(1)ab(2)M>N(3)证明见解析【解题思路】（1）根据题意，得到不等式ab（2）根据题意，化简M=20192020（3）由（1）中的结论，得到xx+y<x+zx+y+z,yy+z【解答过程】（1）由题意，可得不等式ab证明：由ab因为b>a>0,m>0，可得a−b<0,b+m>0，所以ab−a+m（2）由M=20192020由（1）中的结论，可得20192017+320232021+3>20192017（3）证明：因为x>0,y>0,z>0，由（1）中的结论，可得xx+y所以xx+y又由xx+y=x+y−y则xx+y由上述结论，可得yx+y+z综合①②，得1<x题型7题型7一元二次不等式的解法31．（24-25高一上·重庆·期中）不等式x2−3x−4<0的解集为（A．{x|−1<x<4} B．{x|−4<x<1}C．{x|x>4或x<−1} D．{x|x>1或x<−4}【答案】A【解题思路】由一元二次不等式的解法求解即可.【解答过程】由x2−3x−4<0，可得x−4x+1所以不等式x2−3x−4<0的解集为故选：A.32．（24-25高一上·四川南充·期中）关于x的不等式x−ax−a+1<0A．a,a+1 B．−C．R D．∅【答案】A【解题思路】根据一元二次不等式的解法即可求解.【解答过程】因为a<a+1，所以x−ax−解得a<x<a+1，所以x−ax−a+1<0故选：A.33．（24-25高一上·广东广州·期中）关于x的不等式：ax2+2−4ax−8>0【答案】4,+【解题思路】将不等式分解因式可得答案.【解答过程】由ax2+由a>0，得x−2解得x>4，或x<−2所以不等式的解集为4,+∞故答案为：4,+∞34．（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式：(1)x2(2)−2x【答案】(1)2,4(2)−【解题思路】根据一元二次不等式的解法求解即可.【解答过程】（1）由x2−6x+8<0，得解得2<x<4，所以不等式的解集为2,4；（2）由−2x2+7x+9<0即2x−9x+1>0，解得x>9所以不等式的解集为−∞35．（24-25高一上·福建南平·期中）设y=mx(1)若m=2，求不等式y<0的解集；(2)解关于x的不等式mx【答案】(1)x(2)答案见解析【解题思路】（1）当m=2时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集；（2）将所求不等式变形为mx+1x−1≤0，对实数【解答过程】（1）若m=2，则由y=mx解得0<x<12，所以不等式y<0的解集为（2）不等式mx即mx当m=0时，x−1≤0，解得x≤1；当m>0时，则−1m<1当−1<m<0时，−1m>1，解原不等式可得x≤1当m=−1时，原不等式即为−x−12≤0当m<−1时，0<−1m<1，解原不等式可得x≤−综上所述，当m<−1时，原不等式的解集为xx≤−当m=−1时，原不等式的解集为R；当−1<m<0时，原不等式的解集为xx≤1当m=0时，原不等式的解集为xx≤1当m>0时，原不等式的解集为x−题型8题型8解分式、高次、绝对值不等式36．（24-25高一上·河南郑州·期中）不等式x−12x+4>0的解集为（A．{x|x<−2或x>1} B．{x|−2<x<1}C．{x|x<−1或x>2} D．【答案】A【解题思路】将分式不等式转化为一元二次不等式后可求其解.【解答过程】x−12x+4>0即为x−1x+2>0，故故不等式的解集为{x|x<−2或x>1}故选：A.37．（24-25高一上·吉林延边·期中）“x−2x+1≥0”是“2x−1≥3A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解题思路】解分式不等式及绝对值不等式，根据解集的关系及充分、必要条件的定义计算即可.【解答过程】由x−2x+1≥0⇒x−2x+1≥0记不等式的解对应集合A=−由2x−1≥3⇒2x−1≥3或2x−1≤−3，解之得x≥2或x≤−1记不等式的解对应集合B=−显然A是B的真子集，所以“x−2x+1≥0”是“故选：A.38．（24-25高一上·海南·期中）不等式x+3x−5≤0的解集为【答案】x【解题思路】把分式不等式化为整式不等式再求解．【解答过程】x+3x−5≤0⇔(x+3)(x−5)≤0故答案为：x−3≤x<539．（24-25高一上·湖南怀化·期中）求下列不等式的解集：(1)x(2)2x−3(3)2x+1【答案】(1)−1,4(2)x(3)−【解题思路】（1）利用二次不等式的解法即可得解；（2）利用绝对不等式的解法即可得解；（3）利用分式不等式的解法即可得解.【解答过程】（1）因为x2−3x−4<0，所以解得−1<x<4，故不等式x2−3x−4<0的解集为（2）因为2x−3>0，所以2x−3≠0，解得x≠所以2x−3>0的解集为x（3）因为2x+1x+2≥1，所以等价于x−1x+2≥0x+2≠0，解得x<−2所以不等式2x+1x+2≥1的解集为40．（24-25高一上·上海·期中）求下列不等式的解集：(1)2x−1x+3(2)|x+1|+|x+2|>3．【答案】(1)(−3,4)；(2)(−∞【解题思路】（1）化分式不等式的右边为0，通分转化为一元二次不等式求解.（2）分段去绝对值符号求解不等式.【解答过程】（1）不等式2x−1x+3<1⇔2x−1x+3−1<0⇔所以原不等式的解集为(−3,4).（2）不等式|x+1|+|x+2|>3化为：x<−2−2x−3>3或−2≤x≤−11>3或解x<−2−2x−3>3得x<−3；不等式组−2≤x≤−11>3无解；解x>−12x+3>3所以原不等式的解集为(−∞题型9题型9由一元二次不等式的解确定参数41．（24-25高一上·江苏徐州·期中）若关于x的不等式(ax−1)2<x2恰有3个整数解，则实数A．(−32,−C．[−32,−【答案】B【解题思路】先化简(ax−1)2<x2为[(a+1)x−1][(a−1)x−1]<0，再对【解答过程】不等式(ax−1)2<x当a=1时，原不等式等价于2x−1>0，其解集为(1当a=−1时，原不等式等价于2x+1<0，其解集为(−∞当a>1时，原不等式等价于(x−1a+1)(x−其解集中恰有3个整数解，所以3<1a−14≥当−1<a<1时，原不等式等价于(x−1其解集为(−∞当a<−1时，原不等式等价于(x−1a+1)(x−其解集中恰有3个整数解，所以1a+1<−31综上所述，实数a的取值范围是(−4故选：B.42．（24-25高一上·江苏盐城·期中）关于x的不等式ax2+bx+c>0A．a>0B．不等式bx2C．a−b+c>0D．不等式cx+b<0的解集为x【答案】D【解题思路】利用二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用韦达定理可得出b、c与a的等量的关系，可判断C选项；利用二次不等式的解法可判断B选项；利用一次不等式的解法可判断D选项.【解答过程】对于A选项，因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为2,3对于B选项，由题意可知，关于x的方程ax2+bx+c=0的两根分别为2由韦达定理可得2+3=−ba2×3=所以，不等式bx2−ax+c>0即为−5a解得x<−65或因此，不等式bx2−ax+c>0对于C选项，a−b+c=a+5a+6a=12a<0，C错；对于D选项，不等式cx+b<0即为6ax−5a<0，即6x−5>0，解得x>5因此，不等式cx+b<0的解集为xx>故选：D.43．（24-25高一上·湖北·期中）若关于x的不等式x2+(m+2)x+2m<0的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是【答案】[−【解题思路】根据已知条件及一元二次不等式的解法即可求解【解答过程】不等式x2+当−m<−2，即m>2时，∴−m<x<−2，∵解集中含有两个整数解，∴−5≤−m<−4,∴4<m≤5，当−m=−2，不等式解集为∅，不符合题意，当−m>−2，即m<2时，∴−2<x<−m，∵解集中含有两个整数解，∴0<−m≤1,∴−1≤m<0，综上得m∈−1,0故答案为：−1,0∪44．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，关于x不等式1≤f(x)≤2(1)解关于x的不等式ax(2)关于x的不等式ax2+(b−5)x−2c−1≤0【答案】(1)答案见解析(2)5【解题思路】（1）结合不等式的解集，利用三个二次关系列式求得b=−3ac=2a+20<a≤4，然后将所求不等式转化为（2）将所求不等式化简为(x+1)x−4a+5a≤0，结合【解答过程】（1）因为不等式1≤f(x)≤2的解集为{x∣1≤x≤2}，且a>0，所以ax2+bx+c≥1故−ba=3不等式ax2+(b−1)x+3<0整理得x−1当a=13时，不等式化为(x−3)2当13<a≤4时，1a<3，原不等式的解为当0<a<13时，1a>3，原不等式的解为（2）不等式ax2+(b−5)x−2c−1≤0整理得(x+1)x−因为0<a≤4，所以4a+5a>−1，所以不等式的解集为因为不等式ax所以5≤4a+5a<6，解得52<a≤545．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知a,b,c∈R，关于x的一元二次不等式x2−4x+c<0(1)求不等式−x(2)解关于x的不等式ax【答案】(1)xx<1或(2)答案见解析【解题思路】（1）由不等式的解集求出b和c，再直接解不等式；（2）根据开口方向不同分为a=0，a<0，a>0三类情况，当a>0时，再根据3和1aa=13，0<a<1【解答过程】（1）因为关于x的一元二次不等式x2−4x+c<0的解集为所以关于x的一元二次方程x2−4x+c=0的两解为x=b和所以4=b+3c=3b，解得b=1所以一元二次方程−x2+4x−c=0的解为x=1所以不等式−x2+4x−c<0的解集为x（2）由（1）得关于x的不等式ax2−因式分解得ax−1x−3①当a=0时，原不等式为−x+3<0，解得x>3，即不等式的解为3,+∞②当a<0时，原不等式为x−1解得x>3或x<1所以不等式的解为−∞③当a=13时，原不等式为解得x∈∅，即不等式无解；④当0<a<13时，原不等式为解得3<x<1a，即不等式的解为⑤当a>13时，原不等式为解得1a<x<3，即不等式的解为综上可得：当a=0时，不等式的解为3,+∞当a<0时，不等式的解为−∞当a=1当0<a<13时，不等式的解为当a>13时，不等式的解为题型10题型10\t"/gzsx/zj135332/_blank"\o"一元二次方程根的分布问题"一元二次方程根的分布问题46．（24-25高一上·浙江·期中）关于x的方程x2+a−2x+5−a=0有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数A．{a|a<−5或a>−4} B．aC．aa<−5 D．【答案】C【解题思路】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解．【解答过程】设f(x)=x则由题意可知f(2)<0f(3)<0Δ=(a−2)2故实数a的取值范围是{a|a<−5}.故选：C．47．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程x2+m−2A．{m−5<m≤−4或m≥4} B．C．m−5<m≤−4 D．{m−5<m<−4【答案】B【解题思路】设关于x的方程x2+(m−2)x+5−m=0的两个根分别为x1,x【解答过程】设关于x的方程x2+(m−2)x+5−m=0的两个根分别为则由根与系数的关系，知x所以由题意知Δ>0即(m−2)解得−5<m<−4.故选：B.48．（24-25高一上·山西·期中）已知关于x的方程x2+ax+a+2=0有一正一负两个实数根，则实数a的取值范围是【答案】a【解题思路】由判别式和根与系数的关系得到不等式，解出实数a的取值范围.【解答过程】设方程的两根为x1则x1∴a<−2∴a<−2，故答案为：aa<−249．（24-25高一上·上海·期中）已知m∈R，关于x的方程mx(1)若方程有两个正实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程有两个整数根x1,x2，且【答案】(1)m≤−45(2)1或3【解题思路】（1）根据方程有两个正根列出不等式组求解；（2）根据根与系数的关系，结合根及m为整数，求出根即可得解.【解答过程】（1）因为关于x的方程mx所以m≠0Δ=9m解得m≤−45或（2）由方程有两个整数根x1所以m≠0且x1+x由x1,x2,m∈当m=1时，x1+x所以x1=0,x2=3当m=−1时，x1+x所以x1=1,x2=2综上，x1−50．（24-25高一上·上海浦东新·期中）函数f(1)若a=0，求fx(2)若关于x的方程fx=0只有一个根，求(3)关于x的不等式fx>4的解集为R，求实数【答案】(1)xx>−1(2)a=0或1；(3)∅【解题思路】（1）fx（2）分a=0和a≠0，结合根的判别式得到不等式，求出a的值；（3）ax2+a+1x−3>0【解答过程】（1）a=0时，fx>0⇒x+1>0，解得故fx>0的解集为（2）fx若a=0，x+1=0，解得x=−1，只有1个解，满足要求，若a≠0，Δ=a+12综上，a=0或1；（3）ax2+当a=0时，x−3>0，解得x>3，不合要求，当a≠0时，需满足a>0Δ综上，实数a的取值范围为∅.题型11题型11二次函数的图象分析与判断51．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式cx2+ax+b>0的解集为x−1<x<1A．

B．

C．

D．

【答案】B【解题思路】根据不等式的解集得到c<0，−1,12为cx2+ax+b=0【解答过程】由题意得c<0，−1,12为故−1+12=−y=ax2+bx−c开口向下，对称轴为x=−b故选：B.52．（24-25高一上·山西·期中）已知函数fx=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，则关于A．−12,1C．−∞,−2∪【答案】B【解题思路】分析可得a<0，b=−2a，c=a，利用二次不等式的解法解不等式cx【解答过程】由二次函数的图象可知，函数fx的图象开口向上，且该函数的图象与x轴相切，对称轴为直线x=1所以，fx=ax−12=ax2不等式cx2+ax+b≥0即ax2因此，不等式cx2+ax+b≥0故选：B.53．（24-25高一上·北京·期中）若二次函数y=fx图象关于x=2对称，且fa<f0<f【答案】−【解题思路】根据题意可判断二次函数的单调性，再结合对称性可解得a的取值范围.【解答过程】由题意得二次函数y=fx的对称轴为x=2因为f0<f1，所以函数y=f因此函数y=fx开口向下，在−∞,2因为fa<f0，所以a−2>0−2，即a−2>2，a−22故答案为：−∞54．（24-25高一上·新疆喀什·期中）已知二次函数f(x)=mx2+4x+1(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)的定义域为−1,2，作出函数f(x)图象并求其值域．【答案】(1)f(x)=−2x(2)作图见解析，(−5,3]．【解题思路】（1）由f(−1)=f(3)，列方程求出m，可得函数f(x)的解析式；（2）由二次函数的图象特征，作出函数f(x)图象，根据图象求值域．【解答过程】（1）二次函数f(x)=mx2+4x+1则有m−4+1=9m+12+1，解得m=−2，所以f(x)=−2x（2）函数f(x)的定义域为−1,2，函数图象如图所示，

由函数图象可知，函数f(x)的值域为−5,3.55．（24-25高一上·重庆万州·期中）已知函数fx(1)求fx(2)求fx在−2,2【答案】(1)−1,0(2)0,9【解题思路】（1）配方，可得二次函数的顶点坐标.（2）考虑函数在端点处的函数值与顶点的纵坐标，可得函数在给定区间上的值域.【解答过程】（1）fx=(x+1)2，则（2）当x=−1时，fx因为f−2=1,f2故fx在−2,2上的值域为0,9题型12题型12一元二次不等式恒成立问题56．（24-25高一上·四川成都·期中）不等式kx2+kx+1≥0对一切实数x都成立，则实数kA．−∞,0∪4,+C．0,4 D．0,4【答案】C【解题思路】对不等式的二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的性质进行求解即可.【解答过程】当k=0时，原不等式变为1≥0，显然对一切实数都成立；当k≠0时，由k>0Δ=k综上所述，实数k的取值范围是0,4.故选：C.57．（24-25高一上·江苏南通·期中）∀x∈−1,+∞,x2A．−∞,−1 B．−∞,0 C．【答案】D【解题思路】转化问题为k≤x2+x+1x+1对于【解答过程】由x2+1−k则问题转化为k≤x2+x+1又x2当且仅当x+1=1x+1，即所以k≤1，即实数k的取值范围为−∞故选：D.58．（24-25高一上·重庆·期中）当x≥0时，关于x的不等式x−a+2x2−a+a2x+【答案】0或1【解题思路】将不等式分解可得x−a+2x−ax−a【解答过程】由已知可得x−a+2x−a易知该不等式对应的三个根为x1=a−2<x由已知x≥0时，不等式x−a+2x则需满足（1）a2=0，解得（2）a2>0时，a=a2，综上可得a=0或a=1.故答案为：0或1.59．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数fx(1)若不等式fx≥0对一切实数x恒成立，求(2)解关于x的不等式fx【答案】(1)1,+(2)答案见解析【解题思路】（1）根据含参一元不等式的恒成立，分别讨论m+1=0，m+1≠0成立的条件，即可得m的取值范围；（2）先把二次不等式化为m+1x【解答过程】（1）由fx≥0，即m+1x当m+1=0时，m=−1，有2x−2≥0，即x≥1，不满足题意；当m+1≠0时，则满足m+1>0Δ≤0，即m>−1−3综上所述，m的取值范围为1,+（2）由fx得m+1x2−若m+1=0，即m=−1，上式可化为：x−1≤0，解得x≤1；若m+1<0，即m<−1，上式可化为：x−1x−1m+1若m+1>0，即m>−1，上式可化为：x−1x−当−1<m<0,0<m+1<1，所以1m+1>1，所以：x≤1或当m=0时，1m+1=1，所以：当m>0时，m+1>1，所以1m+1<1，所以：x≤1综上可知：当m<−1时，原不等式的解集为1m+1当m=−1时，原不等式的解集为−∞当−1<m<0时，原不等式的解集为−∞当m=0时，原不等式的解集为R；当m>0时，原不等式的解集为−∞60．（24-25高一上·湖南湘西·期中）已知函数f(1)若不等式fx≥−mx在R上恒成立，求实数(2)若fx≥0在0,1上恒成立，求实数【答案】(1)−2−2(2)−∞【解题思路】（1）移项后转化为x2−mx+2−m≥0在R上恒成立，利用（2）根据对称轴和区间0,1在数轴上的位置关系进行分类讨论，转化为最值问题即可解决.【解答过程】（1）fx≥−mx即为x2则Δ=−m2所以m的取值范围是−2−23（2）fx=x若0≤m≤1，函数在0,1先减后增，则fxmin=fm若m<0，函数在0,1单调递增，则fxmin=f0=2−m≥0若m>1，函数在0,1单调递减，则fxmin=f综上所述，实数m的取值范围是−∞题型13题型13一元二次不等式有解问题61．（24-25高一上·河北石家庄·期中）若存在x∈R，使得不等式4x−mx2−2x+3≥2成立，则实数A．m|m≥2 B．m|m<0 C．m|m≤2 D．m|m<2【答案】C【解题思路】把问题转化成“−m大于或等于2x2−4x+3【解答过程】因为x2所以4x−mx2−2x+3≥2⇒4x−m≥2x问题“存在x∈R，使得不等式4x−mx2−2x+3≥2成立”转化为“因为2x2−4x+3=2x−2所以−m≥−2⇒m≤2.故选：C.62．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在x∈12,3，使不等式x2−ax+1≥0A．−2≤a≤2 B．a≤C．a≤103 【答案】C【解题思路】令f(x)=x2−ax+1，将问题等价转化为fmax(x)≥0,x∈【解答过程】令f(x)=x2−ax+1若存在x∈12,等价于f(x)当a2≤12+32=因为(−∞,7当a2>74时，即a>7因为(72,+因为(−∞,10故选:C.63．（24-25高一上·重庆·期中）已知关于x的不等式x2−kx−k+3>0在区间0,2有解，则实数k的取值范围为【答案】−【解题思路】分离参数，然后将不等式有解转化为最值问题即可.【解答过程】法一：原不等式可化为k<x2+3x+1，因为不等式在令t=x+1∈1,3，则k<令ft=t+4t−2，易知ft在1,2单调递减，在法二：令fx=x由二次函数在闭区间上的最值可知，fx所以f0>0或f2>0，解得k<3或故答案为：−∞64．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数fx(1)当m<0时，解关于x的不等式fx(2)若存在x∈0,2，使得不等式fx≤【答案】(1)答案见解析(2)(−∞,【解题思路】（1）先把二次不等式化为m+1x（2）参变分离，把能成立问题转化为x+1x【解答过程】（1）由fx得m+1x2−若m+1=0，即m=−1，上式可化为：x−1≤0，解得x≤1；若m+1<0，即m<−1，上式可化为：x−1[x−1m+1若m+1>0，即−1<m<0，上式可化为：x−1[x−因为−1<m<0，所以0<m+1<1，所以1m+1所以：x≤1或x≥1综上可知：当m<−1时，原不等式的解集为[1当m=−1时，原不等式的解集为(−∞当−1<m<0时，原不等式的解集为(−∞（2）不等式fx≤x所以m(x因为x2−x+1>0恒成立，所以：问题转化为：存在x∈0,2，使得m≤x+1x设g(x)=x+1x2−x+1，令因为t+3t≥2t×3所以g(x)=x+1x2所以综上可知：m的取值范围为(−∞65．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）设函数y=−mx(1)若命题：∃x∈R,y>0是假命题，求m的取值范围；(2)若存在0<x<4，使得y≥−m+1x2【答案】(1)0≤m≤4(2)m≥4【解题思路】（1）根据命题∃x∈R,y>0为真命题，求出实数m的取值范围，从而可求出命题为假命题时，实数m的取值范围；（2）由题意对于x∈0,4，使x2−mx+4≤0有解，分离参数得m≥x2+4x【解答过程】（1）若命题：∃x∈R,y>0是真命题，则∃x∈R，不等式−mx当m=0时，−1>0，显然不成立；当m≠0时，函数y=−mx若−m>0即m<0，则∃x∈R,y>0，满足题意；若−m<0即m>0，则Δ=m2综上，m<0或m>4.所以命题：∃x∈R,y>0是假命题时，0≤m≤4；（2）存在0<x<4，使得−mx即对于x∈0,4，使x即m≥x2+4x=x+因为x+4x≥2x×4所以m≥4.题型14题型14一元二次不等式的实际应用66．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（

）A．25元 B．20元 C．10元 D．5元【答案】C【解题思路】根据题意，列出不等式，代入计算，即可求解.【解答过程】设每株多肉植物的售价为x元，则每天可以卖25+530−x由题意可得x25+530−x≥1250解得10≤x≤25，所以每株这种多肉植物的最低售价为10元.故选：C.67．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A