非线性分析中弧长法的简介

非线性分析弧长法的读书报告

L弧长法的原理

弧长法属于双重目标控制方法，即在求解过程中同时控制荷载因子和位移增

量的步长。其基本的控制方程为：

{△曷,{△]}+△万6{p}T{p}=A/2（1）

式中：

AA为荷载因子增量数值

。为荷载比例系数，用于控制弧长法中荷载因子增量所占的比重

△/为固定的半径

在求解过程中，荷载因于增量AA在迭代中是变化的，卜列非线性静力平衡

的迭代求解公式中存在〃个未知数，即

[K例）临意}=*{P}-加例）}/=0,1,2（2）

这样，在弧长法中一共存在〃+1个未知数，根据约束方程：

{A.{Ab}+A*2{P.{P}=A/2

即为附加的控制方程，问题才能得到解答，此时，可以根据“值的取值分为两种

弧长法，其中，〃工（）时的弧长法称为球而弧长法，〃=（）时的弧长法称为柱面弧

长法。

1.1球面弧长法

如下图所示，根据图中所示来说明弧长法的求解策略:

在第J步荷载增量第，次迭代分析中，结构的位移增量（5可3可由式（2）来

计算，即

—=[K⑹）『（北｛P｝-｛尸⑹）｝）

=[K⑹）「（矽P｝+必｛尸｝-｛尸（叩）｝）（3）

=TK⑹）『（｛〃©，）｝-四小P｝）

=-[K⑹）广似⑹）｝+砌MK⑹）「｛P｝

由于刚度矩阵不对称以及带宽被改变，通常情况下直接联立求解式（1）和

式（3）中〃+1个变量相当困难。通常，将式⑶中小分解为两个部分，即

｛数4｝=｛砂｝"+比"龙〃旖[4）

式中，｛数”儿=TK（R）『｛以e）｝[5）

说明｛数，上的第一项｛数，儿为采用荷载控制的标准切线刚度迭代求解的

结果；

｛必"｝!=[K（6/A7P（6）

说明｛数，儿的第二项｛万为考虑荷载（8下按当前结构刚度[K（叶）]计

算出来的位移增量。

至此，式（4）中仍有网x为未知量，现在只有借助控制方程（1）来求解。第，

次迭代结束后相应于迭代初始点（上图中/-1点）的位移增量｛△以J为

｛△“｝=｛的』+网讨）⑺

将(7)式代入控制方程(1)式，并考虑迭代前后弧长保持不变，故得到:

△『=0&}/{AN}+(AZ)2*{P『{P}={MG7{A%}+(A%"4{P}T{P}(8)

式中：

△力与△心分别为第i次迭代前后荷载因子相对于迭代初始点(上图中J-1

点)的增量，它们有如下关系：

△及1=八4+a3(9)

将(4)代入(9)中，可得：

B•a3+C=0(JQ)

式中：

4={网〃•{谢"/{〃}『{/"

8=2•{阳，}/({△&}+{㈱乩)+2・M”{p}，{p}

C=({A»}+⑶g}')T({A&}+)g}L)+(A2/)2版{p4{p}-A/2

由此，可通过解上述一元二次方程得到何在因子的增量解J从而进一步确

定当前的荷载水平和位移向量，即

%1=追+八％尸”+农篇(11)

{弘}=阂}+{△想J={苏}+四乙}(12)

1.2柱面弧长法

经过研究发现，荷载比例系数”对于最终分析结果的影响是有限的，尤

其是结构非线性成都较高时，这种影响甚微。令犷=0,从而减少程序中的

未知数和提高求解效率。于是把从原先所谓的“球面弧长法”简化为“柱面

弧长法”，结构的控制方程则简化成：

{△W{A*}=A/2(13)

同理可得：（10）中关于网"的一元二次方程式中的系数可以简化成:

人=｛的〃儿・｛附匕

5=2•｛阳〃｝/（｛△&｝+储8｝力）

C=（｛A/｝+｛数,儿）/（。6/｝+｛超8七）一■

由.1.式求解出两个根，从而得到两个位移增量，即：

向北=｛/｝+•%+（宓儿观%（14）

命比=,苏｝+故+⑻％.｛朋.（15）

为了保证迭代方向尽量保持一致，可以根据两次迭代结束时的位移增量

｛“，｝和｛△«｝的夹角最小准则来判断到底哪个更合适。

两个向量之间的夹角可以按照卜式确定：

cosa—｛△叩｝'｛△4｝_｛△»［（即，+您匕+%'匕）

2

—M一■A/（16）

将一元二次方程求出的两个解分别代入上式求出各自的夹角，夹角小的

的荷载因子增量为所求的值。可按照式（11）和（12）更新结构的荷载水平

和位移向量。

1.3弧长法的简化形式

上述弧长法的求解过程，需要求解一元二次方程，计算量大，因此，为简化

计算，提出了另一种控制方程，用垂直于迭代向量的平面代替圆弧，把弧长不变

的条件改为向量X与向量始终保持正交，即满足下列捽制方程：

叱•△“2=（）（z=l,2,3,...,n）（17）

写成矩阵形式为

｛△四｝「•囱J+%P『｛P｝=0

与前面的解法相同，可求解上述一元二次方程得

旎二｛“，｝7•3户｝，

―｛△—｛—十一”｛P｝/｛P｝

相比之下，用上式求解方力容易多了，其余步骤完全同上述相关内容。

1.4弧长法的求解步骤

（1）对于第1个增量步（j=l）第1次迭代（i=i）分析,选定参考荷载｛P｝,即

确定了初始弧长增量4。

（2）输入期望迭代次数〃。；如果采用球面弧长法，则输入荷载参与比例系

数―。

（3）存储结构初始切线刚度。

（4）在第/次增量步分析中，迭代流程如下。

①求解出｛△/｝。

②记录迭代次数加=1,对结构刚度矩阵进行三角分解或计算“当前刚度系

数”以判别矩阵是否正定。

③更新结构的变形向量（碎上计算结构的恢复力箱梁仍（四）｝和非平衡力向

量修（e）｝。

④如果采用切线刚度迭代技术，则要根据当前结构的变形向量更新结构刚

度矩阵；如果采用初始刚度迭代技术，则只需在每次增量分析中的初始

迭代中根据上一次增量结束时的结构位移向量来更新结构刚度即可，在

增量步中不用更新。

⑤计算和｛矽"若采用初始刚度迭代技术，｛矽以在整个增量步

迭代中为定值，不必重复计算。

⑥求解荷载因子增量法|。

⑦按式（4）计算｛明外，由式（11）、（12）更新当前的荷载水平/和位

移向量（戏JO

⑧收敛性判别。如果满足收敛准则，则终止当前增量步下的迭代进城.，记

录迭代次数进入步骤⑨；如果不满足收敛准则，则需要继续

迭代，记录迭代次数,“<=〃，+］，令iui+1，重复步骤④〜⑧

⑨判别当前荷载水平是否达到期望值或超过一定的增量步数。如是，则分

析结束，输出数据；如不是，则令/U/+I,更新结构切线刚度矩阵，

计算当前增量步中的弧长增量△，，返回步骤①。

2.弧长法的适用范围

弧长法适用性很强，收敛性和稳定性明显好亍其他处理负刚度问题的方法，

它既可以用于加工软化结构，也可以适用于加工硬化结构，在非线性程度较高的

体系应优先考虑采用该方法。但是该方法的计算量很大，对一般非线性问题，还

是建议选择其他简单的方法。

3.弧长法的评述

（1）弧长法属于双重目标控制方法，即在求解过程中同时控制荷载因子和位移

增量的步长，从理论上来说，任何方法都应在极值点附近存在刚度奇异的问题，

但是控制位移法和弧长法中，迭代点正好落在极值点附近的概率很小，在现实中

很难遇见，除非遇到非线性程度很高的结构体系。在分析混凝土开裂的加工软化

问题时，偶尔也会在运用弧长法时出现一些问题，如在应用球面孤长法时得不到

方程式的实数解，或应用柱面弧长法时在临界点附近发散，找不到交点。

（2）弧长法属于自动步长法，只要给出一些控制参数，步长由程序自动计算，

此方法为当前的主流计算方法。

（3）弧长法中的荷载二曾量预测因子只是初步控制当前荷载增量步的迭代过程，

不能完全准确估计结构迭代结束时的荷载水平，结构最终的荷载水平是迭代结束

后