2026届浙江省杭州求是高级中学数学高二第一学期期末达标测试试题含解析

2026届浙江省杭州求是高级中学数学高二第一学期期末达标测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等比数列中，，是方程的两个实根，则（）A.-1 B.1C.-3 D.32．若直线与圆相切，则（）A. B.或2C. D.或3．已知定义在上的函数的导函数为，且恒有，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.4．设命题甲：，命题乙：直线与直线平行，则（）A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件5．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，如.如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的“中国剩余定理”.执行该程序框图，则输出的i等于（）A.7 B.10C.13 D.166．“”是“直线和直线垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()A.31.6岁 B.32.6岁C.33.6岁 D.36.6岁8．已知双曲线的离心率，点是抛物线上的一动点，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为A. B.C. D.9．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.10．一动圆与圆外切，而与圆内切，那么动圆的圆心的轨迹是（）A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.双曲线的一支11．“”是“函数在上无极值”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12．等差数列x，，，…的第四项为()A.5 B.6C.7 D.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于A，B两点（点B在第一象限），与准线交于点P.若，，则____________.14．设数列的前n项和为，且是6和的等差中项，若对任意的，都有，则的最小值为________15．已知，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________.16．已知.若在定义域内单调递增，则实数的取值范围为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为与双曲线交于两点，求的面积.18．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）任意，恒成立，求的取值范围.19．（12分）已知，，（1）若，为真命题，为假命题，求实数x的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围20．（12分）如图，在多面体中，和均为等边三角形，D是的中点，.（1）证明：；（2）若，求多面体的体积.21．（12分）公差不为0的等差数列中，，且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为．若，求的取值范围22．（10分）圆经过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）求圆与圆的公共弦的长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由韦达定理可知，结合等比中项的性质可求出.【详解】解：在等比数列中，由题意知：，，所以，，所以且，即.故选：B.2、D【解析】根据圆心到直线的距离等于半径列方程即可求解.【详解】由圆可得圆心，半径，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理可得：，所以或，故选：D.3、D【解析】构造函数，用导数判断函数单调性，即可求解.【详解】根据题意，令，其中，则，∵，∴，∴在上为单调递减函数，∴，即，，则错误；，即，则错误；，即，则错误；，即，则正确；故选：.4、A【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的性质进行求解即可.【详解】当时，直线的方程为，直线方程为，此时，直线与直线平行，即甲乙；直线和直线平行，则，解得或，即乙甲；则甲是乙的充分不必要条件.故选：.5、C【解析】根据“中国剩余定理”，进而依次执行循环体，最后求得答案.【详解】由题意，第一步：，余数不为1；第二步：，余数不为1；第三步：，余数为1，执行第二个判断框，余数不为2；第四步：，执行第一个判断框，余数为1，执行第二个判断框，余数为2.输出的i值为13.故选：C.6、A【解析】因为直线和直线垂直，所以或，再根据充分必要条件的定义判断得解.【详解】因为“直线和直线垂直，所以或.当时，直线和直线垂直；当直线和直线垂直时，不一定成立.所以是直线和直线垂直的充分不必要条件，故选：A7、C【解析】先根据频率分布直方图中频率之和为计算出数据位于的频率，再利用频率分布直方图中求中位数的原则求出中位数【详解】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，所以，数据位于的频率为，前两个矩形的面积之和为，前三个矩形的面积之和为，所以，中位数位于区间，设中位数为，则有，解得（岁），故选C【点睛】本题考查频率分布直方图的性质和频率分布直方图中中位数的计算，计算时要充分利用频率分布直方图中中位数的计算原理来计算，考查计算能力，属于中等题8、B【解析】先根据离心率得，再根据抛物线定义得最小值为（为抛物线焦点），解得，即得结果.【详解】因为双曲线的离心率，所以，设为抛物线焦点，则，抛物线准线方程为，因此到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和等于，因为，所以，即，即双曲线的方程为，选B.【点睛】本题考查双曲线方程、离心率以及抛物线定义，考查基本分析求解能力，属中档题.9、C【解析】设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可【详解】设，由，因为，，所以，因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立故选：C【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值10、A【解析】依据定义法去求动圆的圆心的轨迹即可解决.【详解】设动圆的半径为r,又圆半径为1，圆半径为8，则，，可得，又则动圆的圆心的轨迹是以为焦点长轴长为9的椭圆.故选：A11、B【解析】根据极值的概念，可知函数在上无极值，则方程的，再根据充分、必要条件判断，即可得到结果.【详解】由题意，可得，若函数在上无极值，所以对于方程，,解得.所以“”是“函数在上无极值”的必要不充分条件.故选：B.12、A【解析】根据等差数列的定义求出x，求出公差，即可求出第四项.【详解】由题可知，等差数列公差d＝(x＋2)－x＝2，故3x＋6＝x＋2＋2，故x＝－1，故第四项为－1＋(4－1)×2＝5.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，然后根据抛物线的定义和三角形相似的关系可求得结果【详解】过点作，垂足为，过点作，垂足为，由抛物线的定义可知，，不妨设，因为，所以，因为∽，所以，即，所以，所以，因为与反向，所以.故答案为：14、【解析】先根据和项与通项关系得通项公式，再根据等比数列求和公式得，再根据函数单调性得取值范围，即得取值范围，解得结果.【详解】因为是6和的等差中项，所以当时，当时，因此当为偶数时，当为奇数时，因此因为在上单调递增，所以故答案为：【点睛】本题考查根据和项求通项、等比数列定义、等比数列求和公式、利用函数单调性求值域，考查综合分析求解能力，属较难题.15、【解析】由题意分别求出这三个平面的法向量，设直线的方向向量为，由直线与平面与的法向量垂直，得出，由向量的夹角公式可得答案.【详解】由，解得，即直线与平面的交点坐标为平面的方程为，可得所以平面的法向量为平面的法向量为，的法向量为设直线的方向向量为，则，即取，设直线与平面所成角则故答案为：16、【解析】将问题转化为在上恒成立，再分离参数转化为求函数的最值问题即可得到实数的取值范围【详解】因为，所以；因为在内单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为，所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由两条双曲线有共同渐近线，可令双曲线方程为，求出即可得双曲线的方程；（2）根据已知有直线为，由其与双曲线的位置关系，结合弦长公式、点线距离公式及三角形面积公式求的面积.【详解】（1）设所求双曲线方程为，代入点得：，即，∴双曲线方程为，即.（2）由（1）知：，即直线方程为.设，联立得，满足且，，由弦长公式得，点到直线的距离.所以【点睛】本题考查了双曲线，根据双曲线共渐近线求双曲线方程，由直线与双曲线的相交位置关系求原点与交点构成三角形的面积，综合应用了弦长公式、点线距离公式、三角形面积公式，属于基础题.18、（1）的递增区间为，递减区间为（2）【解析】(1)先求出函数的导数，令、解出对应的解集，结合定义域即可得到函数的单调区间；(2)将不等式转化为，令，利用导数讨论函数分别在、时的单调性，进而求出函数的最值，即可得出答案.【小问1详解】函数的定义域为，又当时，，当时，故的递增区间为，递减区间为.【小问2详解】，即，令，有，，若，在上恒成立.则在上为减函数，所以有若，由，可得，则在上增，所以在上存在使得，与题意不符合综上所述，.19、（1）；（2）【解析】(1)化简命题p，将m=3代入求出命题q，再根据或、且连接的命题真假确定p，q真假即可得解；(2)由给定条件可得p是q的必要不充分条件，再列式计算作答.【详解】(1)依题意，：，当时，：，因为真命题，为假命题，则与一真一假，当真假时，即且或，无解，当假真时，即或且，解得或，综上得：或，所以实数x的取值范围是；(2)因是的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件，于是得，解得，所以实数m的取值范围是20、（1）见详解（1）.（2）16【解析】（1）证线面垂直从而证线线垂直.（2）把面体看成两个锥体，由已知线面垂直得高，并进一步可求锥体底面边长，从而得解.【小问1详解】因为，所以共面，连接、,因为和均为等边三角形，D是的中点，所以，，，所以面平，平面，【小问2详解】因为，，四边形是平行四边形，和均为等边三角形，D是的中点，所以，,平行四边形是正方形形，，.21、（1）（2）【解析】（1）利用等比数列的定义以及等差数列的性质，列出方程即可得到答案；（2）